ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE

Au sommet de la hiérarchie des sciences se placent les sciences de la mesure, les mathématiques, qui ne dépendent d'aucune autre, et dont toutes les autres ont besoin, dès qu'elles saisissent entre les phénomènes des rapports mesurables. Et parmi les mathématiques, Tarithmétique et l'algèbre sont logiquement premières, car elles ont pour objet, non des choses mesurables, comme l'espace et le mouvement, mais la quantité pure, expression de lamesure en général, qui peut être étudiée indépendamment des choses mesurables.

1. — Les mathématiciens ont coutume d'appeler leurs calculs arithmétiques ou algébriques, selon que les formules en sont numériques ou littérales. Cependant, aucun d'eux ne tient aujourd'hui pour profonde l'ancienne division à'algèbre nombreuse et d'algèbre spécieuse. Le fait d'employer des chiffres ou des lettres ne caractérise pas deux espèces scientifiques ; la distinction entre deux sciences ne saurait être une simple question d'écriture; elle est dans la nature des idées, non dans les conventions qui les expriment. De là une certaine hésitation, lorsqu'il s'agit de définir et de séparer l'une de l'autre l'arithmétique et Talgèbre.

A cet égard, l'embarras d'Augusle Comte est intéressant à remarquer. Il divise la science du calcul en calcul des valeurs, ou arithmétique, et calcul des fonctions^ ou algèbre, et celleci est pour lui antérieure à celle-là.

c La solution complète de toute question de calcul, depuis la plus élémentaire jusqu'à la plus transcendante, se compose nécessairement de deux parties successives dont la nature est

72 CLASSmCATION DES SaENGBS

essentiellement distincte. Dans la première, on a pour objet de transformer les équations proposées, de façon à mettre en évidence le mode de formation des quantités inconnues par les quantités connues ; c'est ce qui constitue la question algébrique. Dans la seconde, on a en vue d'évaluer les formules ainsi obtenues, c'est-à-dire de déterminer immédiatement la valeur des nombres cherchés, représentés déjà par certaines fonctions explicites des nombres donnés ; telle est la question arithmétique. Supposons, par exemple, qu'une question fournisse entre une grandeur inconnue x et deux grandeurs connues a et b l'équation :

ac* + 3 aa? = 2 6.

comme il arriverait pour la trisection d'un angle. On voit tout de suite que la dépendance entre x d'une part et a, b de l'autre est complètement déterminée ; mais tant que l'équation conserve sa forme primitive, on n'aperçoit nullement de quelle manière l'inconnue dérive des données. C'est cependant ce qu'il faut découvrir avant de penser à l'évaluer. Tel est l'objet de la partie algébrique de la solution. Lorsque, par une suite de transformations qui ont successivement rendu celte dérivation de plus en plus sensible, on est arrivé à présenter l'équation proposée sous la forme

^ ^ s/ b + y/rr+T* ^ y/TTTFr^

le rôle de l'algèbre est terminé ; et quand même on ne saurait point effectuer les opérations arithmétiques indiquées par cette formule, on n'en aurait pas moins obtenu une connaissance très réelle et souvent fort importante. Le rôle de l'arithmétique consistera maintenant, en partant de cette formule, à faire trouver le nombre x, quand les valeurs des nombres a et 6

, dans toute solution vraiment rationnelle, la étique suit nécessairement la question algés forme le complément indispensable, puisqu'il t connaître la génération des nombres cheréterminer leurs valeurs effectives pour chaque ^insi, le tei*me de la partie algébrique devient irt de la partie arithmétique *. »

on, 1. 1, p. 133.

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ARITHMÊnOUE ET ALGÈBRE 73

Dans le système d'A. Comte, les sciences positives forment ' une hiérarchie qui va des plus générales aux plus spéciales. Il en résulte que l'arithmétique doit suivre Talgèbre, qui est plus générale. Aussi proteste-t-il contre la définition de Newton, qui a si bien nommé Talgëbre V arithmétique universelley et il réduit le rôle de la science des nombres à effectuer les opérations indiquées dans les solutions des équations. Comme si un problème ne pouvait être posé de prime abord sous la forme numérique!

Puis, sentant instinctivement ce que cette vue a d'artificiel, il poursuit, et s'efforce, avec plus de raison cette fois, d'absorber l'arithmétique dans l'algèbre. Les évaluations ne sont que des « transformations des fonctions à évaluer, transformations qui, malgré leur but spécial, n'en sont pas moins essentielle' ment de la même nature que toutes celles enseignées par l'analyse. On pourrait donc ne voir dans les différentes opéra* tions de l'arithmétique que de simples cas particuliers de certaines transformations algébriques ». Ce qui le conduit, dans les lignes suivantes, à un véritable escamotage de l'arithmétique : (< Il résulte clairement de ce qui précède que la mathématique abstraite se compose essentiellement du calcul des fonctions... Tel sera donc désormais le sujet exclusif de nos considérations analytiques ^ »

C'est qu'A. Comte a mal démêlé, dans les mathématiques, deux points de vue qui y sont en effet constamment unis, le point de vue pratique et le point de vue théorique, Tart etia science, l'usage du calcul et les lois du calcul. Toutes les opérations qu'on peut faire sur les nombres et les quantités en général sont justifiées par des théorèmes établissant les pro- . priétés de ces nombres et de ces quantités, et c'est cet enchaînement de théorèmes qui constitue la science théorique. Mais ces opérations ont une fin, qui est la mesure. Au moyen de quantités données, on peut déterminer d'autres quantités qu'on ne peut pas ou qu'on ne veut pas mesurer directement. Le but constant des mathématiques, comme l'a fait observer Laplace, est de connaître le plus grand nombre possible de relations de quantité, avec le plus petit nombre de mesures expérimentales. Sans doute, dans l'ordre pratique, l'évaluation est la dernière transformation, et le rôle de l'arithmétique commence quand celui de l'algèbre est fini ; mais c'est le con-

(1) Quatrième leçon, I, p. 139.

traire dans Tordre théorique : Tarithmétique est le point de départ, la quantité numérique est un cas privilégié parmi les quantités en général, Talgèbre n'est que la suite, que le prolongement de Tarithmétique, et ne forme avec elle qu'une seule unité scientifique.

2. — Cette science, c'est la science de la Quantité considérée comme telle. La quantité en est la notion fondamentale spécifique. On la définit souvent : tout ce qui est susceptible d'augmentation ou de diminution. Il faut bien remarquer que ce n'est pas lèi une définition véritable, construisant une notion nouvelle avec des notions antérieures, capable de l'introduire dans un esprit qui ne l'aurait pas, car les idées d'augmentation et de diminution, ou mieux déplus ou de moins n'existeraient pas dans un esprit qui serait dépourvu de celle de quantité. Pourtant cette pseudo-définition n'est pas sans intérêt : elle met, dès le début, en évidence, deux notions essentielles immédiatement contenues dans celle de quantité. Il y faut en joindre une troisième, celle d'égalité. Egal, plus grand, plus petit : en ces trois notions se résout eelle de quantité, en sorte que ni celle-ci ne se conçoit sans celles-là, ni les premières sans la seconde.

Y ajouterons-nous les idées d*unité et de nomlrre f Pour quelques-uns, l'unité est une donnée immédiate de la conscience, en sorte que les mathématiques reposeraient en partie sur le sentiment intime de Vunité du moi. Mais Tunité mathématique n'a ni le sens psychologique, ni le sens métaphysique qu'on attache à ces mots. Soit une quantité quelconque ; supposons qu'elle s'accroisse d'une quantité égale à elle-même, puis^ encore d'une autre quantité égale, et ainsi de suite ; on aura par cette opération le nombre; la première quantité sera Vunité, et chacun des accroissements successifs sera pareillement une unité. L'unité mathématique n'est pas autre chose que le nombre un ; elle n'a de signification que relativement au nombre; elle se construit, de même que le nombre, sans autre secours que les idées de quantité et d'augmentation.

Le concept premier de la science du calcul est donc la Quan- TrrÊ, concept auquel se joignent immédiatement ceux d*égal, plus grand, plus petit, c'est-à-dire les deux notions les plus fondamentales de la pensée, le même et Vautre, considérées sous le rapport de la quantité.

ARITHIIÉTIOUE ET ALGÈBRB 75

3. — L'étude de la quantité pure, depuis Tarithmétique élémentaire jusqu'à l'algèbre supérieure, forme une seule et unique science, qu'il n'est possible ni de démembrer, ni de confondre avec aucune autre.

On pourrait avoir la pensée d'y distinguer une partie théo- • rique et une partie pratique. 11 y a deux sortes d'égalités : Ou bien deux opérations conduisent au même résultat, quelles que soient les quantités sur lesquelles on opère ; ces égalités sont des théorèmes qu'il s'agit de démontrer. Ou. bien certaines quantités étant données et les autres inconnues, l'égalité n'existe que pour une valeur ou un nombre uni de valeurs, ou des valeurs comprises entre certaines limites, de ces inconnues; ces égalités sont des équations qu'il s'agit de résoudre. On a souvent essayé un rapprochement entre la Logique et l'Algèbre K C'est que l'algèbre a le caractère d*une méthode ; c'est Vart de résoudre des problèmes. C*est en ce sens qu'elle a reçu historiquement et qu'elle mérite le nom d'Analyse; car, chez les anciens, Analysis est synonyme de Beso- IxUio : le mot latin est la traduction littérale du mot grec.

Avant de dédoubler ainsi l'étude de la quantité en une science et un art, il est bon de remarquer que tous les théorèmes relatifs au calcul arithmétique ou algébrique conduisent à des règles, que toutes les transformations d'équations sont justifiées par des théorèmes, en un mot, que la théorie et la pratique sont fondues ensemble et inséparables dans toute l'étendue de la science. II est aisé d'en apercevoir la raison. Pour qu'une connaissance ait une utilité pratique, il faut qu'elle révèle la dépendance d'une certaine fin par rapport à une opération de l'homme. Le sulfate de quinine guérit la fièvre, or il est au pouvoir de l'homme d'administrer du sulfate de quinine. Toutes les connaissances humaines ne sont pas ainsi immédiatement utilisables. La comète d'Herschel reviendra en telle année ; ce retour n'est lié à aucune action humaine. Mais la science de la quantité a précisément pour objet des opérations de l'esprit; toutes ses propositions consistent à établir que deux opérations plus au moins complexes conduisent au même résultat ; il est donc toujours possible de substituer lune à l'autre, et c'est en cela que consistent les transformations algébriques. On conçoit que la pratique y soit partout

(1) Herbert Spencer met la logique formelle à côté de l'algèbre ; Boole et Whately ont essayé d'introduire en logique des notations analogues à. celles des algébristes.

76 CLASSIFICATION DES SCUSICGBS

inséparable de la théorie, et que le calcul soit à la fois une science et un art.

« Qu*est-ce, en eflTet, que l'analyse et la synthèse au sens ancien de ces mots ? Duhamel Ta exposé en des termes irréprochables. € Lorsqu'on aura à trouver la démonstration d'une proposition énoncée, on cherchera d'abord si elle peut se déduire comme conséquence nécessaire de propositions admises, auquel cas elle devra être admise elle-même, et sera par conséquent démontrée. Si l'on n'aperçoit pas de quelles propositions connues elle pourrait être déduite, on cherchera de quelle proposition non admise elle pourrait l'être, et alors la question sera ramenée à démontrer la vérité de cette dernière. Si celle-ci peut se déduire de propositions admises, elle sera reconnue vraie, et par suite la proposée : sinon, on cherchera de quelle proposition non encore admise elle pourrait être déduite, et la question sera ramenée à démontrer la vérité de cette dernière. On continuera ainsi jusqu'à ce que l'on parvienne à une proposition reconnue vraie, et alors la vérité de la proposée sera démontrée.

c On voit donc que cette méthode, que l'on appelle Analyse^ consiste à établir une chaîne de propositions commençant à celle qu'on veut démontrer,, unissant à une proposition connue, et telles qu'en parlant de la première, chacune soit une conséquence nécessaire de celle qui la suit ; d'où il résulte que la première est une conséquence de la dernière, et par conséquent vraie comme elle.

< L'analyse n'est donc autre chose qu'une méthode de réduc-tion^, 9

S'il s'agit d'un problème à résoudre, on cherche de même à le réduire à un autre plus simple, celui-ci à un troisième, jusqu'à ce qu'enûn on arrive à un problème qu'on sache résoudre. < Comme dans le cas des théorèmes, l'analyse ramène la démonstration du proposé à une suite d'autres, jusqu'à ce que l'on parvienne à un théorème connu. Cette identité de marche pour les deux genres de questions constitue une seule méthode qui ne pouvait être désignée que par une seule dénomination *. »

< La synthèse ne diffère de l'analyse que par le renversement de l'ordre des théorèmes ou problèmes, terminés d'une part au

(1) Duhamel. Dea Méth, dans les se, des rais., I, v, 25.

(2) /éirf., ï, V, 28.

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ARTTHMÉTIOUE ET ALGÈBRE 77 .

proposé, et de l'autre à quelque chose de connu... Cette méthode consiste à partir de propositions reconnues vraies, à en déduire d'autres comme conséquences nécessaires, , de celles-ci de nouvelles, et ainsi de suite jusqu'à ce que Ton parvienne à la proposée, qui se trouve alors reconnue ellemême pour vraie. Elle n'est donc autre chose qu'une méthode de déduction. D'où l'on voit que, si l'on connaissait la démonstration analytique d'un théorème, on en obtiendrait immédiatement la démonstration synthétique en ^renversant Tordre des propositions ^ »

Ainsi les vérités d'une science constituée forment une chaîne qu'on peut parcourir dans les deux sens. L'ordre analytique est le seul qui convienne à la recherche d'une démonstration ou d'une solution; mais dans Texposition de la science, le savant a le choix entre l'ordre analytique et Tordre synthétique. On peut partir des conditions du problème et arriver à la solution, ou partir de la solution et montrer qu'elle satisfait aux conditions du problème. On choisira, selon les cas. Tordre le plus clair, le plus favorable au maniement des formules, ou simplement le plus attrayant. C'est ainsi que le calcul infinitésimal n'a pas toujours mérité le nom d'Analyse. C'est Lagrange qui a imaginé de commencer par démontrer la possibilité de développer toute fonction en série par la formule de Taylor, tandis que ce théorème formait auparavant, dans l'enseignement usuel, la conclusion générale du calcul différentiel. < C'est à lui (Lagrange) principalement qu'est due la substitution, dans l'enseignement, de la méthode analytique à la méthode synthétique. Avant lui, toute théorie s'établissait par la superposition de théorèmes, résultant chacun d'une combinaison d'autres théorèmes précédemment établis, dont Tordre^ savamment combiné par le maître, ne pouvait être justifié devant l'élève, puisqu'il aurait fallu, pour qu'il en comprît le motif, qu'il pût apprécier le but qu'il s'agissait d'atteindre. Lagrange, quelle que soit la théorie qu'il veuille exposer, prend toujours pour point de départ la relation la plus générale parmi toutes celles que cette théorie peut comprendre, et c'est de cette relation générale que découlent, par éliminations, par restrictions, par spécialisations, toutes les relations précises qui constituent les théorèmes proprement dits. Cette méthode a le double mérite d'épargner à l'élève les difficultés

(1) Duhamel. Des méth. dans les se. de rais., I, vi, 38,59.

78 CLASSIFICATION DBS SCIENCES

les pltts rebutantes, et, en môme temps, de respecter son indépendance. Elle exige, il est vrai, de la part du maître, plus de talent; mais le souvenir des démonstrations de Lagrange à l'Ecole normale et à TEcole polytechnique est resté dans la mémoire de tous et a obligé ses successeurs à renoncer aux formes commodes, mais barbares de renseignement magistral *. .

Ainsi un grand esprit peut imprimer la marque de son génie même aux plus impersonnelles de toutes les sciences, mais la liaison rationnelle des vérités est indépendante de lui, et son originalité se révèle seulement dans le sens qu'il a choisi pour en pareottrir la ehaîne.

Revenons à des^ exemples plus familiers. On peut indifféremment ou bien poser Téquatroa du second degré

ax^ + hx + c z=^o

et, par les transformations que l'on sait, arriver à Ih sotation ; c'est la méthode analytique, et^ ici, c'est le caractère pratique de la science qui ressortira le mieux, et Talgèbre semblera un art; ou bien démontrer ce théorème que la formule

satisfait à l'équation; c'est la méthode synthétique, la plus propre à mettre en relief le caractère théorique de l'algèbre.

4. — La science de la Quantité étant le type le plus achevé d'une science parfaite, il convient d'en examiner attentivement la structure.

Elle débute par l'étude spéciale du nombre, qui est un cas privilégié entre toutes les espèces de quantités. Puis d'autres notions de nlus en plus générales y sont successivement intro-

les définitions qui se font toujours à l'aide des

nentaires et indéfinissables de la quantité : égal,

3lus petit.

lombre peut être formé d'une infinité de manières.

gai à 8 -h 1 ou à 5 + 4 ou à 6,3 + 2,7 ou à ^

8Ï7 ou èi une infinité d'autres combinaisons. Un s de formation, le plus simple, a été choisi pour

Hist. des Math., t. IX, p. 155.