ARITHMÉTIQUE ET AL6ÈBKB

le définir. C'est, pour chaque nombre, ropération, intelligible pour tous, qui consiste à ajouter Tunité au nombre précédent. Toutes les opérations ultérieures de Tarithmétique consistent à affirmer ou à nier V identité dénombres obtenus par des combinaisons différentes. On définit d'abord ces combinaisons, ou opérations, puis on les ramène d'une manière plus ou moins indirecte à l'opération fondamentale qui a servi à définir les nombres. Enoncer ce théorème 2 -h 3 = 5, c'est dire que 2 -+-

3 = 4-4-1, qui est la définition de 5. Dire que 4 x 3 = 12, c^est dire d'après la définition de la multiplication, que 4x3 =

4 + 4 + 4.0r4+4z=4 + 3 + l = 7 + l = 8, et8+4=r8. + 3 + 1 = 11 +1, qui est la définition de 12. Toutes les opérations sont ainsi ramenées, en définitive, à l'opération première qui s'appelle cowipicr.

Certaines opérations ne sont équivalentes que pour des nombres déterminés, et, pour cette raison, il est juste de les nommer arithmétiques. D'autres sont équivalentes, quels que soient les nombres sur lesquels on opère. Dès lors, il est avantageux de substituer aux nombres des symboles qui les repré* sentent en général. Au lieu de dire : c Le carré de la somme de ' deux nombres est égal à la somme de leurs carrés plus leur double produit ; » on dira, avec la brièveté et la clarté de la notation algébrique

Est-ce à dire qu'on ait passé d'une science à une autre, quitté Tarithmétique pour entrer dans Palgèbre ? Ce dernier théorème n'est-il pas tout à fait de même nature que les précédents ? La notation littérale n'est qu'un langage approprié à la généralité des propositions ; elle s'introduit nécessairement, même dans l'arithmétique élémentaire, sans qu'on voie apparaître avec elle ni un concept nouveau ni une forme nouvelle de raisonnement.

5. — La notion de /'onc^ton marque une étape bien plus importante du progrès de la pensée. Jusque-là, on a considéré des quantités fixes, soit complètement déterminées, les nombres, soit quelconques. Chaque symbole peut recevoir une infinité de valeurs différentes, mais une seule valeur pour un seul problème concret. Si l'on vient à considérer que, quand la valeur d'un symbole varie, celle d'un autre symbole varie aussi et que Téquation représente précisément la loi de cette variation^

80 GLASSmCATION DES SCIENCES '

puisque, pour chaque valeur de la variable indépendante, elle permet de découvrir la valeur correspondante de Tautre variable, on dira que Uune est fonction de Tautre. L'algèbre devient ainsi un moyen de découvrir et de représenter, non seulement les relations des quantités, mais les relations de leurs variations. Gardons-nous de penser qu'en élargissant ainsi son domaine, l'algèbre perde jamais son caractère distinclif et devienne autre chose que la science de la quantité pure. L'erreur n'est peutêtre pas très rare, qui consiste à croire que l'algèbre peut avoir par elle-même une signification géométrique ou mécanique, que l'équation

par exemple, représente ou signifie un cercle. L'algèbre n*est pas une science occulte, ses formules n'ont point de vertus mystérieuses ; elles ne signifient que ce qu'elles expriment. L'équation citée définit les valeurs de y pour toutes les valeurs de la variable indépendante x. Si l'on a fait cette convention que X eiy représentent des longueurs mesurées à partir d'un •point origine sur des coordonnées rectangulaires, il est vrai que l'équation définit un cercle, mais elle aura une tout autre signification, si l'on convient, par exemple, que les variables et la constante représentent des poids, des vitesses, des quantités de chaleur, etc.

L'introduction en analytique des fonctions circulaires donne lieu à une remarque analogue. Dans l'état actuel de la science, nous pouvons concevoir de dix manières différentes la relation simple entre une variable indépendante a? et une variable corrélative y :

somme.

ysza — x

différence.

y^ax

produit.

quotient.

y = ar»

puissance.

racine.

fonction exponentielle.

y=:lx

fonction logarithmique.

y = sin X

fonction circulaire directe.

y = arc sin x

fonction circulaire indirecte.

Ces dix espèces de fonctions forment cinq couples, tels que dans chacun d'eux on passe de la fonction directe à la fonction

ARITHMÉTIQCE ET ALGÈBRE 81

inversé et réciproquement par un simple changement de. variable. Les combinaisons des dix fonctions simples peuvent donner lieu à une infinité de fonctions composées. Hais ces fonctions simples ne sont que relativement simples : la puis* sance se ramène au produit, le produit à la somme.

Les quatre premiers couples sont formés de notions purement quantitatives et se définissent par des opérations arithmétiques. Il n'en est pas de même des. fonctions circulaires qui reposent sur des données géométriques. On pourrait croire que la ligne de démarcation entre Talgèbre et la géométrie est ici franchie, et que ces deux sciences, distinctes dans leurs éléments, se rejoignent et se fondent dans la suite de leur développement. Il n'en est rien.

La trigonométrie proprement dite est une partie de la géométrie : elle a pour objet principal la résolution des triangles, mais plus généralement, elle est Fart de mesurer des angles par rapport à des lignes et réciproquement. L*expression des lois géométriques ainsi découvertes a conduit à des notations concises qu'il est commode d'introduire dans les formules analytiques pour les abréger. Toutefois, il est à remarquer que ces notations perdent par là même leur signification géométrique. Si Ton fait cette convention que les fonctions circulaires représentent des relations entre des lignes trigométriques, les équations où elles entrent donneront des résolutions de triangles. Mais les lois du calcul sont indépendantes des objets concrets que Ton compte ou que Ton mesure, et les fonctions circulaires, introduites dans une équation pourront bien signifier autre chose que des rapports entre des lignes et des angles. Ainsi, Bin Xy cas x ne sont rien de plus, en analyse, que des abréviations ; ce sont, par exemple, des expressions développables en série de la manière suivante :

aî«

sm x = ar •

ou des synonymes de formules complexes :

GOBLOT.

83 GULSSinGATIOIC DBS SCIENCBS

.et ce sont ces séries ou ces formules qui les déOuisseot*. Leur histoire est très comparable à celle des fonctions puissance et racine, qui sont aussi d'origine géométrique. Les algébristes antérieurs à Descartès ne semblent pas s'être jamais complètement affranchis de l'idée que a' et a' représentent la surface d'un carré et le volume d'un cube ; ils avaient quelque répugnance à se servir des exposants supérieurs à 3, parce qu'ils ne les supposaient susceptibles d'aucune interprétation. Descartes a élargi le champ de Talgèbre en généralisant l'usage des exposants ; l'introduction des fonctions circulaires est une généralisation analogue ; comme les carrés et les cubes, elles deviennent des fonctions analytiques, à condition de pouvoir être interprétées sans le secours d'aucune intuition géométrique.

6; -:- Avec les notions d'inSni et de limite, l'analyse mathématique prend encore un nouvel essor, et les développements du calcul infinitésimal sont si riches et si grandioses qu'on pourrait être tenté d'y voir une espèce scientifique nouvelle, d'autant que l'infini a été souvent considéré comme une des catégories de la pensée, au même titre que la quantité.

Mais l'infini des mathématiciens n'est pas une notion première : il se définit, c'est-à-dire qu'il se construit, par les notions élémentaires de la quantité. Il n'y a aucune notion mathématique qui ait moins le caractère d'une intuition.

D'ailleurs, le concept fondamental du calcul infinitésimal n'est pas précisément Tinfini.

Le calcul des fonctions, tel qu'il se pratique avec les méthodes de l'algèbre élémentaire, exige une condition qui est rarement remplie, c'est l'existence d'un rapport commensurable entre les inconnues et les données. Or, en général, deux grandeurs définies ne sont pas commensurables ; il peut n'exister aucun nombre, ni entier, ni fractionnaire, qui soit à la fois sous-multiple de l'une et de l'autre ; la commune mesure est l'exception. L'algèbre élémentaire ne s'applique donc qu'à des quantités très spéciales ; le calcul infinitésimal en est la généralisation. Quand il est impossible de trouver directement les équations entre les grandeurs que l'on considère, parce qu'elles ne sont pas mesurables au moyen d'une même unité, on a recours à des quantités auxiliaires liées aux premières suivant une certaine loi déterminée, et de la relation desquelles on remonte ensuite

(1) Voy. Hermite. Cours (Vanalyse de V Ecole Polytechnique, p. 36.