ARITHMÉTIQUE ET ALGÈBRE S

à celle des grandeurs primitives. Ces quantités auxiliaires sont les < éléments infiniment petits, les différentielles de divers ordres, si on conçoit cette analyse à la manière de Leibniz ; ou les fluxions^ les limites des rapports des accroissements simultanés des quantités primitives comparées les unes aux antres, ou plus brièvement les premières et dernières raisons de ces accroissements, en adoptant la conception de Newton ; ou bien enfin, les dérivées proprement dites de ces quantités, c'est-à-dire les coefficients des différents termes de leurs accroissements respectifs, d'après la conception de Lagrange^ > Dans tous les cas, la loi de la variation est exprimée par le rapport des accroissements infiniment petits de la variable et de la fonction. Ces accroissements infiniment petits permettent d'éluder la question de la commensurabilité..

Dans Talgèbre élémentaire, la nécessité d'une commune mesure ne permettait de saisir que d'intervalles en intervalles les valeurs corrélatives des variables. Le calcul infinitésimal seul peut saisir et exprimer la continuité des variations. Et comme toutes choses peuvent être considérées Au point de vue de la quantité, comme, d'autre part, toutes les variations obéissent à des lois, la mathématique ainsi généralisée devient applicable à l'universalité des choses. En présence de ces merveilles, on comprend cette parole de Halley, au sujet de l'un des inventeurs du calcul infinitésimal, que < nul mortel ne s'est approché plus près de la, divinité >.

7. — La science du calcul repose donc tout entière sur un seul concept fondamental, qui en est l'unique objet. Ce concept ne se définit pas. Tous les autres concepts successivement introduits par les définitions ne sont que les formes et relations de la quantité, en sorte que la science s'accroît indéfiniment sans franchir jamais les limites de son domaine. On commence par des notions très spéciales, le nombre, et parmi les nombres, le nombre entier; puis on en introduit successivement de plus générales, chacune d'elles étant un cas privilégié à l'égard de celles qui suivent. C'est là ce que Descartes appelle prendre Vescalier, plutôt que de vouloir s'élancer d'un bond au faîte de l'édifice.

Ces notions successivement introduites ne sont pas toutes également fécondes. Quelques-unes font apparaître tout à coup

(1) A. Comte, I, p. 143.

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des perspectives infinies. Tel un voyageur, à mesure qu*il avance, voit reculer peu à peu son horizon ; mais parfois, s'il a gravi quelque sommet ou doublé quelque promontoire, de vastes contrées se révèlent tout entières en un instant. Ces notions remarquables marquent les grandes divisions de la science. L'étude de la quantité présente ainsi trois grandes étapes principales, qui ne soi^t pas trop inexactement désignées par les noms usuels d'arithmétique, algèbre et analyse, pourvu qu'on en précise un peu la signification. Dans la première il s'agit de relations entre des quantités, numériques ou non, mais fixes; la seconde, grâce à l'idée de fonction, exprime grossièrement, et d'une manière discontinue, les variations corrélatives des quantités; avec Tanalyse, la science est enfin adéquate à son objet, et parla notion.de différentielle, devient capable de saisir la continuité de ces variations.