CHAPITRE lî GÉOMÉTRIE

i. — La géométrie a pour objet les formes, les grandeurs * et les situations. VEspace est la possibilité iadéflnie des formes, grandeurs et situations. Ceci n'est pas une définition, mais une pseudo-défînition, analogue à celle de la Quantité, et présentant le même défaut et le même avantage K

La situation d'un point se détermine par rapport à d*autres points avec lesquels il fait une figure ; déterminer cette situation, c'est tracer ou se représenter cette figure, et ensuite la mesurer. Toutes les propositions concernant les situations se ramènent donc à des propositions concernant des formes et des grandeurs.

On peut considérer la grandeur indépendamment de la forme, mais alors elle n'a plus rien de géométrique. Une grandeur qui n'est pas en même temps une forme est une quantité pure, Ainsi, deux surfaces équivalentes sont deux surfaces qui ont même mesure, qui ne sont comparables qu'au point de vue de la quantité, de la mesure .

On peut considérer la forme indépendamment de la grandeur. Des figures égales ont même forme et même grandeur. Des figures semblables ont même forme, et si les grandeurs absolues de leurs éléments sont différentes, les grandeurs relatives sont les mêmes. Ces grandeurs relatives peuvent varier aussi, quelque chose cependant subsiste, qu'on peut définir, dont on peut démontrer diverses propriétés, c'est la forme. Deux formes

(1) Les mots grandeur et quantité s'emploient indistinctement. Je propose de consen er au mot quantité toute son extension, et de réserver celui de grandeur à la quantité spatiale. L'abondance des mots n'est une richesse que s'ils correspondent à des idées différentes. Les synonymies, surtout dans le langage scientifique, sont un encombrement.

(2) Voy. p. 74.

86 ClASSmCÂTlON DES SOENGES

sont hétérogènes quand on ne peut passer de l'une à l'autre par une variation continué ; dans le cas contraire, elles sont des déformations les unes des autres. Deux triangles égaux ont même forme et mêmes grandeurs absolues; deux triangles semblables ont même forme et mêmes grandeurs relatives de leurs côtés ; deux triangles quelconques sont des variétés d'une même forme. Toutes les sections coniques s'obtiennent par déformation de Tune d'entre elles.

Végalité géométrique (c'est-à-dire l'idenlité), la similUudey les déformations sont les résultats de la comparaison des figures au point de vue de la forme. Il existe des modes de correspondance plus généraux encore, entre des figures hétérogènes, quand on peut passer des unes aux autres par un artifice quelconque. Par exemple, la géométrie de Monge démontre de nombreux théorèmes en passant d'une figure plane à une figure dans l'espace dont elle est une projection, puis de la figure dans l'espace, à une autre figure plane qui en est la projection sur un autre plan. Lk dualité tiVhomographiCy dans la géométrie de Chasles, sont aussi des méthodes de transmutation des figures.

La forme est donc Tobjet propre de la géométrie; dans l'étude des grandeurs, on ne peut faire complètement abstraction de la forme sans sortir du domaine de la géométrie, tandis qu'on peut concevoir une forme en faisant abstraction tant des grandeurs absolues que des grandeurs relatives de ses éléments.

Les figures ont donc deux sortes de propriétés, suivant que l'on considère leurs relations descriptives ou leurs relations métriques. Deux tendances différentes se manifestent parmi les géomètres, les uns s'attachant de préférence à la considération dés formes, les autres à celle des grandeurs. Il y a deux sortes de problèmes : des problèmes de consti^uction et des problèmes de mesure ; il y a une géométrie de la règle et du compas, conduisant à des solutions graphiques, et une géométrie des rectifications, quadratures et cubatures, dont la fin est de ramener toutes les évaluations géométriques à la mesure de la ligne droite.

Pourtant, il n'y a qu'une seule géométrie, car les deux points de vue sont le plus souvent étroitement unis. Les formes se déterminent ordinairement par des relations métriques de leurs éléments. Ces relations ne s'introduisent pas d'ailleurs, toutes à la fois, mais une à une, et la connaissance d'une

GÉOUÉTRIfi «7

figure reste inachevée tant qu'on n*a pas épuisé toutes ses propriétés taut métriques que descriptives. La grande invention de Descartes, qui a si fort accru la puissance de la géométrie, est une manière plus méthodique et plus uniforme de saisir les rapports entre les formes et les grandeurs. Il détermine la position des points, — et par suite toutes les figures, — ^^ par leurs distances à de certaines lignes ; la mesure devient ainsi un procédé de construction, d'un usage beaucoup plus général que les procédés purement graphiques, surtout grâce à la fécondité des méthodes analytiques inventées depuis Descartes^ C'est du moins Tun des mérites de la doctrine des coordonnées ; nous verrons plus loin qu'elle a une bien autre portée.

La distinction des propriétés descriptives et des propriétés métriques se trouve déjà daus la plus élémentaire des notions géométriques. La ligne droite a joui longtemps du privilège regrettable d'avoir deux définitions. Pour les modernes, qui ont surtout en vue la mesure et la construction par la mesure, c'est le plus court chemin^ la plus courte distance^ ou simple^ ment la distance entre deux points, c'est-à-dire une grandeur. Pour les anciens, qui songeaient peut-être davantage aux problèmes de la règle et du compas, la ligne droite était une certaine forme. La notion de quantité n'intervient pas dans la définition d'Euclide. La ligne droite est a celle qui est identiquement placée par rapport à ses points, VjTiç è; ïaou toÏç ècp' iauTîj; cTjfxetoi.; xeiTai >..€ Cette définition, dit M. Renouvier, à qui j'en emprunte la traduction, semble obscure parce qu'elle est concise ; mais comment exprimer plus exactement la forme d'une direction pure dans l'espace ? On ne pourrait en développer l'idée que par des tautologies comme celle-ci : une longueur pure, étendue en une seule dimension sans dévier, ou qui ne se déplace jamais en son cours de façon à s'étendre en une direction nouvelle par rapport à ses propres points déjà déterminés de position*. > On peut encore concevoir la ligne droite d'après un axe de révolution : c'est la ligne qui, dans une figure tournant autour de deux de ses points, conserve dans, l'espace une position invariable. Pour Platon, c'est la ligne dont tous les points sont couverts ou ombragés les uns par les autres. Toutes ces définitions, dont la rédaction est plus ou moins heureuse, sont au fond équivalentes : elles expriment l'idée de direction. Elles sont, il est vrai, tautolo-

(1) Philos, de la règle et du compas, l'Année philos., 1891>p. 8.

83 CLASSinCATtON DES SCIENCES

giques. La ligne droite, c'est la ligne qui ne dévie pas, qui est tout entière contenue dans une seule dimension de l'étendue, qui ne s'infléchit pas vers une autre dimension ; mais comment aurait-on l'idée de ce qui s'infléchit ou dévie, si Ton n'avait pas l'idée de la direction ? Et qu'est-ce qu'une dimension, sinon la direction suivant laquelle une distance peut être comptée?

Quoi qu'il en soit, on a longtemps considéré dans la ligne droite deux propriétés comme également fondamentales : l'une qualitative, la direction; l'autre quantitative, la distance. La recherche de la définition essentielle dont toutes les autres se déduisent avait échoué, puisqu'on arrivait à deux propriétés essentielles, selon qu'on avait en vue des problèmes de construction ou des problèmes de mesure, des théorèmes relatifs aux relations de position, ou des théorèmes relatifs aux relations de grandeur. Comment sait-on que ces deux propriétés sont inséparables, et caractérisent une seule et même chose, que là ligne qui ne s'infléchit pas est en même temps la plus courte possible ? C'est pour M. Renouvier un postulat, le postulat de la droite comme distance, analogue à celui des parallèles S une proposition indéniable, et pourtant indémontrable, en somme une imperfection de la science, car l'esprit humain se voit impuissant à achever ici son œuvre de réduction. Aujourd'hui, cette proposition est considérée comme démon* trahie'; elle résulte d'une chaîne assez longue de théorèmes, par laquelle, sans faire usage d'aucune propriété métrique des lignes, on démontre que la droite est la plus courte de toutes les lignes qui ont les mêmes extrémités. Mais alors, elle n'a plus de définition du tout, car les géomètres semblent avoir renoncé à définir la direction.

2. -^ Quelle que soit, en géométrie, l'importance de la notion de quantité, avec Tidée d'Espaqe, nous entrons dans une science nouvelle, irréductible à 1^ précédente ; pour la seconde fois, nous rencontrons un premier commencement, c Les éléments des mathématiques présentent, dit M. Hermite, deux divisions bien tranchées : d'une part l'arithmétique et l'algèbre, de

(1) Voy. notamment, /. c, p. 11.

(2) Cette proposition est en fait au nombre de celles pour lesquelles Descartes dit que « l'induction doit suffire », car il semble avoir en vue, dans ce passage, des questions de maxima et do minima (Requise, Voir plus haut, p. 32).

GÉOMÉTSIE 89

Tautre la géométrie* Rien de plus différeut à leur début que les considérations et les méthodes propres à ces deux parties d'une même science, et bien qu'associées dans la géométrie analytique, elles restent essentiellement distinctes, si loin qu*on les poursuive, et paraissent se rapporter à des habitudes et à des tendances intellectuelles spéciales ^ » L'algèbre et la géométrie seraient ainsi les deux branches principales d'une science unique, les mathématiques ; parfois même on a voulu que l'objet de la géométrie fût encore la quantité, mais la quantité continue ou espace, par opposition à la quantité discrète ou nombre. Hais nous avons vu que la quantité en général n'est pas nécessairement discontinue, et que le nombre n'en est qu'une espèce ; en outre la continuité n'est pas un caractère propre de l'étendue, et l'étendue n'est pas par elle-même une quantité ; l'espace, comme d'ailleurs le temps, le mouvement, l'énergie, etc., n'est une quantité que quand il est mesuré.

Même dans la géométrie analytique, l'algèbre et la géométrie restent distinctes. Déterminer une figure, c'est en déterminer tous les points ; or la situation d'un point peut être définie par un système de quantités, et si la figure est un lieu géométrique, la propriété commune à tous ses points s'exprimera par une équation. Hais les quantités qui composent ce système ou cette équation sont des longueut% ou des distances ^ qui doivent être comptées selon certaines directions, à partir d'une certaine origine. Une construction géométrique, par exemple le tracé de coordonnées rectangulaires, est nécessaire pour mettre le problème en équation ; l'équation résolue, une nouvelle construction est nécessaire pour interpréter la solution, la traduire en langage géométrique. Puisque les opérations sur les nombres et les transformations des formules sont légitimes quelle que soit la nature concrète des quantités considérées, — sans quoi la science du calcul serait impossible ; — dès qu'une équation admet une interprétation géométrique, toutes ses transformations pourront être interprétées de la même manière. L'esprit se débarrasse ainsi momentanément de la considération des figures « qui ne peut, dit Descartes ', exercer l'entendement sans fatiguer beaucoup l'imagination ». Le géomètre abandonnera donc légitimement la géométrie pour l'algèbre, sûr qu'il a le droit de revenir ensuite à la géométrie ; mais

(1) Cours d'analyse de V Ecole Polyt. Introd. {t)Méth. III.

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jamais le point de vue algébrique et le point de vue géométrique ne se trouvent confondus.

3. — - La géométrie ne peut être, dans Tordre rationnel des science», antérieure à la science de la quantité, mais elle doit ▼enir immédiatement après. Parmi tous les objets de la pensée humaine, l'espace est précisément celui qu'on doit considérer le second ; aucun autre ne peut être connu, sinon par des voies empiriques ou expérimentales, antérieurement à celui-là. Pourquoi ? Je n'y vois pas d'autre raison que eelle-ci : l'espace est la seule chose directement mesurable.

La mesure d'une grandeur concrète se compose de deux opérations. La première est le choix d'une unité. Là où il n'existe pas d'unités discrètes, comme les grains d'un tas de blé, les soldats d'un régiment, il faut en établir d'artificielles, comme les kilomètres d'une route, les heures d'une révx)lution sidérale, les volts d'un courant électrique. Pour cela, il faut que la chose à mesurer soit homogène. L'espace remplit évidemment cette condition ; mais beaucoup d'autres choses la remplissent éga* lement, ou peuvent la remplir. Le temps est'aussi homogène que l'espace, pourtant il n'est pas directement mesurable.

La seconde opération, la comparaison de la grandeur à mesurer avec l'unité choisie, ne peut être effectuée directement que pour les grandeurs étendues, et, parmi celles-ci, que pour les longueurs. On ne peut pas porter une heure successivement sur les diverses parties de la journée pour, savoir combien de fois elle y est contenue, auner une durée comme une pièce de drap. Une horloge est nécessaire, c'est-à-dire un instrument qui substitue la mesure de l'espace à la mesure du temps. En dehors de ce qui est nombrable, tout ce qui est mesurable se mesure au moyen de l'espace. Tous les instruments de mesureconsistent à substituer aux grandeurs à mesurer des grandeurs étendues dont les rapports sont les mêmes, de sorte que l'opération se ramène à la lecture d'une règle graduée ou d'uncadraa divisé.

La possibilité matérielle d'appliquer une longueur sur une autre longueur; une surface sur une autre surface pour les comparer, est le fait fondamental auquel la géométrie doit son rang parmi les sciences. Néanmoins la géométrie est la science^ de Vétendue et non pas, comme on Ta dit, de la mesw^e de l'étendue. Elle a pour objet les propriétés des figures ; ces propriétés ne sont pas seulement des propriétés métriques ; celles-

ci ne peuvent même avoir de signiBcation que si des propriétés descriptives sont déjà données. Avant de définir la perpendiculaire petr Y égalité des deux angles adjacents, le cercle par Y égalité des rayons, etc., il faut avoir idée de lignes droites ou courbes, d'angles, etc. Une notion quantitative intervient déjà dans presque toutes les définitions, mais quelques-unes en sont exemptes, celles de Tangle, des parallèles, etc. .

4. — Si nous considérons maintenant la structure, intérieure de la science géométrique, nous verrons que le point de vue pratique n*y est plus aussi intimement uni au point de vue théorique que dans la science de la quantité. C'est que les figures ne sont pas des opérations humaines comme l'addition et la soustraction. Toutes les propositions de la géométrie consistent à affirmer que d'une certaine relation de position ou de grandeur résulte une certaine autre relation de position ou de grandeur. Pour arriver à des conséquences pratiques, il faut montrer que le tracé et la mesure de certaines figures se ramènent à des tracés et à des mesures exécutables par des moyens connus. Nous savons décrire une ligne droite à l'aide d'une règle, une circonférence au moyen d'un compas, mesurer une distance ou un angle en y appliquant une règle ou un cercle divisés. Il résulte souvent des démonstrations que dés opérations plus complexes se ramènent k ces opérations faciles ; mais tel n'est pas le but unique de la théorie, et même quand des chaînes de théorèmes sont dirigées vers quelque conséquence pratique, la plupart des propositions intermédiaires n'ont d'utilité qu'en vue des démonstrations ultérieures. — Au contraire, dans la science de la quantité toutes les propositions expriment immédiatement la possibilité d'exécuter un calcul.

Cependant, le souci des applications a beaucoup contribué à donner à la géométrie sa physionomie. Les chercheurs qui ont procédé par analyse sont généralement partis d'un problème pratique. Par synthèse, on peut de propositions admises déduire une infinité de conséquences, mais on ne mentionne et on ne conserve que celles qui ont quelque importance ; or cette importance consiste en ce qu'elles conduisent, soit directement, soit par l'intermédiaire d'autres conséquences, k des résultats pratiques. Le but immédiat de la démonstration, c'est rinteiligibilité, mais l'application en est presque toujours le but plus ou moins éloigné.

92 GLASSIFlGAnON DES SCIENCES

En dirigeadt ainsi leurs recherches vers quelque connaissance utilisable, les savants ont constitué, au sein de la géométrie, des systèmes partiels assez bien délimités, qu'on expose dans des traités distincts, qu'on serait tenté de considérer comme des sciences indépendantes, et qui doivent leur unité,à la fin commune vers laquelle s'acheminent toutes leurs déductions. Telles sont la trigonométrie, la géométrie descriptive, sans parler de sciences dont le caractère pratique est plus manifeste encore, la perspective, la stéréotomie, la géodésie, l'arpentage.

5. — On ne retrouve plus, dans la géométrie, la chaîne simple et presque unilinéaire, de propositions que nous avons remarquée dans la science de la quantité. Tout le calcul des quantités fixes semble conduire au calcul des fonctions.; tout le calcul des fonctions semble conduire au calcul infinitésimal. On dirait qu'on est emporté par le courant des déductions dans une direction bien déterminée et toujours la même. Eu géométrie les séries déductives se bifurquent et se ramifient en mille manières. Il est toujours possible, par des combinaisons nouvelles, de faire naître de nouveaux problèmes; il suffit d'une hypothèse comme la section d'un cône par un plan, la rencontre d'une figure quelconque par une transversale, ou sa projection sur un plan donné, pour orienter les recherches dans une voie nouvelle et illimitée. L'algèbre est une grande route où chacun s'efforce d'aller le plus loin possible, sans pouvoir s'écarter beaucoup ni à droite ni a gauche ; la géométrie est un domaine où chacun choisit et trace lui-même sa voie. Aussi iaisse-t-elle une plus grande place à l'initiative, et partant a l'originalité ; l'inspiration y a plus de part ; la marche de l'algébriste est plus sûre, le géomètre est plus artiste.

Nous allons pourtant retrouver, dans l'enchaînement des démonstrations géométriques, une gradation analogue à celle que nous avons observée dans la science de la quantité.

La démonstration des propriétés les plus générales repose sur des propriétés plus spéciales qui en sont des cas priviligiés. Les propositions fondamentales de la géométrie plane sont nécessaires pour démontrer toutes celles de la géométrie dans l'espace, qui sont plus générales, car les premières y sont contenues : un cercle est un cylindre ou un cône dont la hauteur est nulle ; et, en général, une figure plane est une figure dont la troisième dimension est nulle. Dans la géométrie à

GÉOHÉTRIB 93

deux dimensions, le cercle est un cas privilégié entre toutes les courbes^ le triangle entre toutes les figures rectilignes^ et même entre toutes les figures, puisque' les propriétés des courbes se tirent de celles des lignes polygonales. Il n*est d'ailleurs ni nécessaire, ni possible d'épuiser les propriétés du triangle, du cercle, des figures planes, avant de passer à celle des autres figures à deux ou à trois dimensions.

Les géométries supérieures inventées par les modernes, supposent toutes les géométries élémentaires, qu'elles étendent et généralisent. Souvent ces méthodes nouvelles permettent d'efFacer de la géométrie élémentaire des propositions dont elles fournissent des démonstrations plus rapides, moins artificieuses ', et surtout plus générales. On les conserve, dans les livres d'étude, à titre d'exercices, ou pour les élèves qui n'étudieront jamais les hautes mathématiques, mais elles ne sont plus nécessaires à l'enchaînement des déductions, puisque, sans leur secours, on s'élève à des propositions qui les contiennent. Il y aura pourtant toujours une géométrie élémentaire, indispensable pour fournir les principes des géométries supérieures.

La géométrie élémentaire est. l'étude de figures fixes comme l'arithmétique et l'algèbre élémentaires sont l'étude de quantités fixes, c La figure est décrite, jamais on ne la perd de vue ; toujours on raisonne sur des grandeurs, des formes réelles et existantes, et jamais on ne tire de conséquences qui ne puissent se peindre à l'imagination ou à la vue par des objets sensibles ; on s'arrête dès que ces objets cessent d'avoir une existence positive et absolue, une existence phy-. sique. La rigueur est même poussée jusqu'au point de ne pas admettre les conséquences d'un raisonnement établi dans une certaine disposition générale des objets d'une figure pour une autre disposition également générale de ces objets, et qui aurait toute l'analogie possible avec la première ; en un mot, dans cette géométrie restreinte, on est forcé de reprendre toute la série des raisonnements primitifs dès l'instant où une ligne, un point ont passé de la droite à la gauche d'un autre '. » Or il est possible de dégager la géométrie de la considération

(1) « On a vraiment lieu de s*étonner que, dans les éléments, on fasse si peu usage de la considération des projections pour simplifier à la fois les énoncés et les démonstrations de ceilains théorèmes ». (Poncelet. Propr, projectivesj Introd.)

(2) Poncelet. Propriétés projectives, Intr.

9i CLASSIFICATION DES SQENCES

des figures définies, comme la science du calcul peut s'afFranchir de la considération des nombres. On peut c faire abstraction de la figure et se dispenser de la décrire. » c Considérons une figure quelconque, dans une position générale, et en quelque sorte indéterminée, parmi toutes celles qu'elle peut prendre sans violer les lois, les conditions, la liaison qui subsistent entre les diverses parties du système ; supposons que, d*après ces données, on ait trouvé une ou plusieurs relations ou propriétés, soit métriques^ soit descriptives^ appartenant à la figure, en s'appuyant sur le raisonnement explicite ordinaire, c'est-à-dire par cette marche que, dans certains cas, on regarde comme seule rigoureuse. N'est-il pas évident que si, en conservant ces mêmes données, on vient à faire varier la figure primitive par degrés insensibles, ou qu'on imprime à certaines parties de cette figure un mouvement con> tinu d'ailleurs quelconque, n'est-il pas évident que les propriétés et relations trouvées pour le premier système, demeureront applicables aux états successifs de ce système, pourvu toutefois qu'on ait égard aux modifications particulières qui auront pu y survenir, comme lorsque certaines grandeurs se seront évanouies, auront changé de sens ou de signe, etc., modifications qu'il sera toujours aisé de reconnaître a priori, et par des règles sûres?... Or ce principe est ce qu'on peut nommer le principe ou la loi de continuité des relations mathématiques de la grandeur abstraite et figurée. »

Cauchy, dans son rapport sur le Traité de Poncelet, dit que le principe de continuité n'est qu'une c forte induction^ à . l'aide de laquelle on étend des théorèmes établis à la faveur de certaines restrictions, aux cas où ces mêmes restrictions n'existent plus ». Mais Poncelet a soigneusement distingué le principe de continuité de Vanalogie et de VindtÂCtion. < En effet, l'analogie et l'induction concluent du particulier au général, d'une série de faits isolés, sans liaison nécessaire, en un mot discontinus, à un fait général et constant : la loi de continuité veut, au contraire, que l'on parte d'un état général et en quelque sorte indéterminé du système, c'est-à-dire tel que les conditions qui le régissent ne soient jamais remplacées par des conditions plus générales encore. >

Grâce à la loi de continuité, il est possible de traiter en général de propriétés communes à des figures très diverses, qui peuvent être envisagées comme des transformations les unes des autres ; on démontrera alors des théorèmes qui seront

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les lois de ces transformations. Cette extension du domaine de la géométrie, ce coup d*aile par lequel elle s'élève tout à coup dans des régions supérieures, est tout à fait comparable à celui par lequel l'algèbre passe de l'étude des relations entre quantités fixes à celle des fonctions de variables.

En algèbre, pour faire abstraction des valeurs numériques, on représente les quantités par des lettres; de même pour € faire abstraction de la figure et se dispenser de la décrire >, il faut considérer sa relation avec une autre figure^ qu'on prendra très simple et toujours la même. Au lieu d'examiner ses relations intrinsèques, ce qui oblige à la déterminer, on examinera la relation de ses éléments avec des éléments extrinsèques^ arbitrairement définis. La diversité des méthodes commence avec le choix de ces éléments.

La première en date et la plus admirable de ces méthodes est celle de Descartes. C'est par leurs distances à des axes rectangulaires qu'il détermine la position de tous les points d'une figure. Les variables x, y, z sont déterminées en direction, car elles doivent se compter sur des axes de coordonnées ou sur des parallèles à ces axes, mais leurs longueurs et leurs sens dépendent des valeurs et. des signes qu'on leur attribuera. Leurs variations de longueur et de sens sont liées par une certaine loi; il était naturel d'exprimer cette loi par une équation, puisque tel est précisément le rôle des équations entre des variables. Dans la géométrie cartésienne, c'est à l'algèbre qu'on demande le procédé de généralisation qui n'existe pas encore dans la géométrie pure. Descartes c emprunte tout le meilleur de l'analyse géométrique et de l'algèbre, et corrige tous les défauts de l'une par l'autre *. » L'algèbre vient au secours de la géométrie et supplée à son insuffisance.

Les géomètres modernes se sont demandés s'il n'était pa possible d'arriver au même résultat par les seules ressources de la géométrie pure. Déjà Desargues, contemporain et ami de Descartes, avait tenté de considérer diverses figures comme des transformations les unes des autres, sans s'astreindre à les considérer une à une. Il ne semble y avoir réussi, — nous en verrons bientôt la raison, — que pour des questions de transversales, de perspective et de sections coniques.

Le premier, il considéra les parallèles comme des droites con-

(1) Méth. IL

Digitizèd byVjOOQlC

96 CLASSmCATIOIV DBS SCIENCES

courantes à rinfini ^ et eut l'idée d'appliquer aux lignes droites les propriétés des lignes courbes*; Pascal, qui le tenait en haute estime, ^ et le loue ^ d'avoir traité des sections coniques en prenant arbitrairement les plans sécants, c sans se servir du triangle par l'axe* ». Le même esprit se retrouve dans son traité de perspective' que nous connaissons par Bosse ^. Il est l'inventeur de beaux théorèmes, qui lui permettaient d'établir rapidement des propositions très générales, dont les cas spéciaux ou particuliers se déduisaient sans peine. Il faut citer surtout celui de Vlnvolution de six points, sur lequel repose toute sa théorie des coniques, et qui a été utilisé par tous ceux qui se sont occupés des transversales, — et ce théorème : Si deux triangles ont leurs sommets placés deux à deux sur trois droites concourantes, leurs côtés se rencontrent deux à deux en trois points situés en ligne droite, et réciproquement, théorème qui est le fondement de sa perspective. Poncelet a appelé ces deux triangles homologiques, et la droite déterminée par les

(1) « Pour votre façon de considérer les lignes parallèles comme si elles s'assemblaient à un but à distance infinie, afin de les comprendre sous le mùmo genre que celles qui tendent à un point, elle est fort bonne. ■ (Descartes. Lettres, 1639, t. VIII. p. 69 [Cousin]).

(2) « La façon dont il commence son raisonnement, en l'appliquant ensemble aux lignes droites et aux courbes, est d'autant plus belle qu'elle est plus générale, et semble être prise de ce que j'ai coutume de nommer la métaphysique de la géométrie, qui est une science dont je n'ai point remarqué qu'aucun autre se soit jamais servi, sinon Archimède. » (Lettre au P. Mersenne, 1639, t. VIII, p. 81 [C.]).

(3) « Entre autres ce qu'il a fait imprimer des sections coniques, dont une des propositions en comprend bien, comme cas, soixante de celles des quatre premiers livres des coniques d'Apollonius, lui a acquis l'estime des savants, qui le tiennent pour avoir été l'un des plus naturels géomètres de notre temps, entre autres la mer\'ei]le de notre siècle, feu M. Pascal. » A. Bosse, graveur, disciple de Desargues. Pratiques géométraies et perspectives.

(4) « Je veux bien avouer que je dois le peu que j'ai trouvé sur cette matière en ses écrits, et que j'ai tâché d'imiter, autant qu'il m'a été possible, sa méthode sur ce sujet, qu'il a traité sans se servir du triangle par l'axe, en traitant généralement de toutes les sections du cône. » Pascal, Essai pour les coniques, 1640.

(o) « Desarguesius primus sectiones conicas universali quadam ratione tractare, propositiones multas sic enuntiare cœpit, ut quœcumque sectio subintelligi posset ». (Acta erud., anno 1685, p. 400.)

(6) Manièi*e univei*selle de M. Desargues pour pratiquer la pei^spective par petit-pied, comme le géomitral, par A. Bosse, 1648.

(7) Méthode universelle de metti*e en pei*spective les objets donnés réellement, ou en devis, avec leurs proportions, mesures, éloignements, sans employer aucun point qui soit hors du champ de l'ouvrage, par G. D. T //^,___j -nsargues, Lyonnais), Paris, 1030.

intersections de leurs côtés axe cThomologie et en a fait le point de départ d'une des plus belles théories de la géométrie moderne*.

A partir du xvii* siècle, beaucoup de géomètres ont cherché à comprendre un grand nombre de propriétés spéciales dans des propriétés plus générales ; c*est là Tesprit de la géométrie moderne. Newton, dans son Enum-eraiio linearum tertii ordiniSj met en évidence une relation curieuse. On savait que toutes les courbes de second ordre sont des projections de l'une d'entre elles. Ainsi l'ellipse, l'hyperbole et la parabole peuvent être obtenues par }'ombre d'un cercle présenté à un point lumineux, c'est-à-dire par la perspective, ou la projection, de ce cercle, ce qui est évident, puisque ces courbes sont des sections coniques. Newton montra que les courbes du 3® ordre peuvent de même être obtenues par les ombres ou projections des cinq paraboles divergentes. Tous les travaux faits sur la théorie des points de concours et sur celle des transversales, notamment ceux de Lazare Camot, ont contribué à donner à la science de l'étendue cette haute généralité qui en augmente la puissance et en multiplie les applications. Hais le .génie de Monge lui a fait accomplir le pas le plus considérable. - D'abord destinée à faciliter les arts, la géométrie descriptive a pour objet de représenter sûr une aire plane toutes les Ggures dans l'espace, au moyen de deux plans rectangulaires dont l'un est rabattu sur l'autre; les opérations graphiques qu'il est impossible d'exécuter dans l'espace sont ainsi ramenées à des constructions planes. Ainsi entendue, la géométrie descripti\^ est une science pratique, un art.

Mais en même temps cette corrélation constante entre les figures ^ trois dimensions et les figures planes est un moyen de recherche et de démonstration en géométrie rationnelle, c et, par ses procédés, qui sont en géométrie pratique ce que les quatre règles de l'arithmétique sont dans la science du calcul, elle fournit un moyen de solution a priori dans des

(1) Les ouvrages de Desargues sont perdus, sauf une mauvaise rédaction de ses sections coniques, le Bt^ouillon projet cTune atteinte aux événements des rencontres du cône avec un plan. Nous connaissons ses idées par des lettres de Descartes, par l'Essai pour les coniques de Pascal, par une lettre critique assez malveillante de Beaùgrand, par des ouvrages de perspectives des graveurs Bosse, Grégoire Huret, etc.

C'est Ponceletqui a remis ce géomètre longtemps oublié & sa véritable place (Introd. du Traité des propriétés projectives) ; d'autres lui ont rendu depuis le plus éclatant hommage, surtout Chasles (Aperçu histoHque sur les méthodes en GéométHe).

GOBLOT. T

9S CLASSIFIC4TI01f DES SCIENCES

questions où la géométrie de Descartes, toute-puissante en tant d'autres circonstances, se trouvait arrêtée par les bornes que rencontrait Talgèbre elle-même. Monge nous donna, dans son Traité de géométrie descriptive, les premiers exemples de l'utilité de râlliance intime et systématique entre les Qgures à trois dimensions et les figures planes. C'est par de telles considérations qu'il démontra, avec une élégance rare et une évidence parfaite, les beaux théorèmes qui constituent la théorie des pôles dans les courbes du second degré ; la propriété des centres de similitude de trois cercles pris deux à deux lesquels centres sont trois à trois en ligne droite ; et diverses propositions de géométrie plane ^ > .

Les élèves de Monge ont découvert un grand nombre de démonstrations analogues, si bien c qu'il n*est presque point d'épuré de géométrie descriptive qui n'exprime un théorème de géométrie plane ». De là une nouvelle méthode de géométrie rationnelle, qui consiste à introduire dans la géométrie plane des considérations de géométrie à. trois dimensions. Chasles lui a donné le nom de méthode de c Transmutation des figures ».

Monge a aussi introduit dans la géométrie une autre méthode de démonstration qu'on a appelée depuis principe des relations contingentes. < Une figure peut présenter dans sa construction la plus générale deux cas différents : dans le premier, certaines parties (points, plans, lignes ou surfaces), dont ne dépend pas nécessairement la constrution générale de la figure, mais qui en sont des circonstances contingentes ou accidentelles, sont réelles et palpables; dans le second cas, ces mêmes parties n'apparaissent plus, elles sont devenues imaginaires; et cependant les conditions générales de la construction de la figure sont restées les mêmes. Par exemple, si Ton dit de tra* cer dans l'espace une surface du second degré et une ligne droite, qui aient entre elles toute la généralité possible de position, cette question comportera deux cas : celui où la ligne droite rencontre la surface, et celui où elle ne la rencontre pas; et ces deux cas offriront la même généralité parce que dans chacun d*eux la ligne droite sera tirée arbitrairement sans que l'on ait égard à la position déjà donnée de la surface du second degré; ils différeront en ce que les deux points d'intersection de la ligne droite et de la surface sont réels dans le premier

(1) Chasles. Apfr^u hUtor'qu\ p. 191.

■ .. ■ Digitteedby VjOOQIC

cas et imagiaaires dans le second. Nous dirons qfne ces deux points sont une des relations contingentés ou accidentelles de la surface et de la droite ^ »

Ces relations contingentes peuvent parfois être utilisées pour démontrer diverses propriétés, et ces propriétés sont vraies même pour les pas où les relations contingentes ne se rencontrent plus. C'est qu'il faut distinguer les relations contingentes des cas particuliers ^^ comme ceux ou plusieurs points, lignes, surfaces viennent à se confondre, ou à s'évanouir, parce que certaines valeurs deviennent égales, nulles ou infinies. Il est évident qu'alors une démonstration est nécessaire pour passer du cas particulier au cas général. Mais quand, au moyen des relations contingentes on arrive à des théorèmes concernant les parties intégrantes et permanentes de la figure, celles qui appartiennent à sa construction générale et qui sont toujours réelles, ces théorèmes sont indépendants des parties secondaires ou contingentes et accidentelles de la figure, qui peuvent être indifféremment réelles et imaginaires sans en changer les conditions générales de construction '.

6. — De Descartes à Monge, la géométrie a étendu considé* rablement son domaine, mais c*est toujours à l'analyse algébrique qu'on a eu recours pour exprimer les variations corrélatives des éléments des figures, grâce au pouvoir qu'ont les équations d'exprimer les lois des variations quantitatives. Après Monge, la géométrie est mûre par un nouveau progrès, et c'est surtout dans le Traité des propriétés projectives des figures de Poncelet qu'il semble s'accomplir. C'est là que la géométrie pure trouve en elle-même, et sans emprunter le secours du calcul, les ressources nécessaires pour exprimer non seulement des relations aussi générales qu'on voudra, entre des figures fixes, mais les lois mêmes des variations ou transformations des figures, en sorte qu'elle devient c la rivale de lanalyse algébrique* »-

(1) Chasles, l, c, p. 199.

(2) n vaudrait mieux dire cas spéciaux ou cas singuliers, mais il faut respecter le langage des géomètres.

(3) Voy. Chasles, L c, p. 200.

(4) Poncelet. Propr. projectives. -Introd. Ce n'est point à Poncelet seul qu'il faut rapporter toute la gloire de cette extension du domaine de la géométrie ; mais c'est lui qui a rapproché les diverses recherches dirigées dans ce sens, qui en a vu l'unité, les a ramenées à un principe ' commun, et comprises dans une théorie négérale. On peut certainement

Les propiHéiés projectives des figures sont celles qui, étant indépendantes des dimensions attribuées aux éléments de ces figures, subsistent quand on les projette sur de nouveaux plans, au moyen de droites, soit parallèles, soit concourantes. Une figure peut se déformer indéfiniment en conservant la même projection; réciproquement la projection d'une figure fixe peut se déformer indéfiniment si Ton fait varier le plan (ou la droite), et le centre de projection. Mais la projection variable d'une figure fixe, la figure variable qui a une projection fixe, conservent à travers leurs déformations certaines propriétés invariables. .

L'énoncé d'une de ces propriétés est tout à fait comparable à une équation entre deux variables, car l'hypotbèse et la conséquence de cet éaoncé sont des variables corrélatives; seulement c'est par dfis méthodes purement géométriques qu'on passe de l'hypothèse à la conséquence; de la donnée à la construction.

Quelle est, en efi*et, < celte influence, celte puissance en quelque sorte extensive de l'analyse algébrique? Pourquoi la géométrie ordiLaire ou ancienne en est-elle naturellement privée, et quel moyen pourrait-on mettre en usage pour l'en faire jouir?.. S'il était possible d'y appliquer le raisonnement implicite, si seulement il était permis d'y appliquer les conséquences de ce genre de raisonnement, cet état de choses n'existerait pas, et la géométrie ordinaire, sans pour cela employer les calculs et les signes de l'algèbre, se montrerait, à bien des égards, la rivale de la géométrie analytique ^ > Poncelet a été frappé de ce fait, que toutes les grandes généralisations qui caractérisent la géométrie moderne depuis Descartes ont été obtenues en considérant, non les figures elles-mêmes, mais leurs relations avec d*autres figures arbitrairement choisies ; or toutes ces relations ne sont en somme que les de projection. « En réfléchissant attentiveit le principal avantage de la géométrie desméthode des coordonnées, à ce qui fait que ts mathématiques offrent le caractère d'une

l'une géométrie qui n'aurait presque plus rien à envier

ilgèbre.

!tion du Traité des propriétés projectives serait una-

ée comme une des grandes dates de l'histoire de la

lent Poncelet était un écrivain de la valeur de Laplace

véritable doctrine, dont les principes, peu nombreux, sont liés et enchaînés d*une manière nécessaire et par une marche uniforme, on ne tarde pas à reconnaître que cela tient uniquement à Tusage qu'elles font de la projection ^ En eflet, la méthode des coordonnées rapporte les objets décrits dans un plan ou dans Tespace, à deux axes ou k trois plans fixes au moyen de deux ou trois systèmes de droites abaissées des différents points de la figure parallèlement à ces axes ou à ces plans, ce qui revient proprement à faire la projection de ces points sur les axes et les plans dont il s'agit. La géométrie descriptive considère également les projections des flgures dans l'espace, mais seulement sur deux plans coordonnés, ce qui est un degré de simplification >. »

L'originalité des modernes dans Tétude des sections coniques est de les avoir étudiées, non plus en elles-mêmes, comme les anciens l'avaient fait, mais comme des moyens de démontrer des théorèmes ou de résoudre des problèmes où elles n'interviennent pas comme hypothèses ou comme données. Or les sections coniques sont des projections, et c'est à ce titre qu'elles sont ainsi utilisées. La perspective n'est aussi qu'une espèce de projection. La théorie des transversales, qui n'est, ainsi que l'a remarqué Carnot, que la théorie des coordonnées prise sur une mêmedroite, est encore unevariété de la méthodedes projections.

« Voici donc quel est l'avantage de ces différentes méthodes : par la projection des figures planes sur des droites, on réduit l'examen des relations de ces figures à celui des relations beaucoup plus simples entre les distances comprises sur les axes de projection ; au lieu de deux dimensions, on n'en a souvent plus qu'une à considérer, ou, si l'on en a deux, elles sont toujours mesurées dans des directions parallèles ou sur les mêmes droites ; des réflexions analogues sont applicables aux coordonnées dans l'espace. D'ailleurs la théorie des lignes proportionnelles et la proposition de Pythagore, qiii sont les bases de la géométrie, sufûsent dans tous les cas pour repasser de ces relations particulières aux relations générales qui subsistent entre les objets mêmes de la figure; de là doit donc résulter à la fois uniformité et simplicité dans la méthode'. >

(1) C'est pour cette raison que les généralisations de Desargues se rapportent aux transversales, aux sections coniques et à la perspective, c'està-dire à des propriétés projectives.

(2) Ibid.

(3) Ibid.

c Comme les propriétés projectives doivent, sans contredit, compter parmi les plus générales que l'on connaisse..., sous rindétermination même qui leur est propre, elles enveloppent implicitement et comme corollaires immédiats toutes les propriétés particulières des figures ^ >

On voit que les projections jouent, dans la géométrie moderne, à peu près le même rôle que les symboles littéraux dans Talgèbre. Elles laissent à la.figure le degré d'indétermination, et par suite de généralité que l'on veut. Les points, lignes, surfaces ne sont déterminés ni en grandeur ni en position, ils sont seulement assujétis à se trouver sur les droites de projection ; mais, par leurs propriétés projectives, leurs grandeurs et positions sont des fonctions les unes des autres. Les théorèmes relatifs à ces propriétés expriment les lois des variations des propriétés soit descriptives soit métriques des figures. Ces beaux résultats ont été rendus à la fois plus généraux et plus systématiques par les travaux de Chasies. Toutes les méthodes de projection qui permettent de suivre les déformations des figures ont été ramenées par lui à un seul principe qui est le principe d* homographie, « principe qui nous parait, dit-il, offrir une doctrine nouvelle d'une grande portée, et d'un usage facile et plus étendu que celui de ces diverses méthodes. Cette doctrine reposera sur un seul théorème de géométrie, que nous regardons comme la dernière généralisation, et pour ainsi dire comme l'origine des principes qui donnaient lieu à ces méthodes. Nous ajouterons que toutes les autres méthodes semblables, qu'on pourrait découvrir dans la suite, pour convertir les figures en d'autres du même genre, ne seront aussi que des déductions de ce seul et unique théorème *. »

c Une figure de forme quelconque étant donnée dans l'espace,

on peut toujours concevoir une seconde figure du même

genre,, et jouissant des mêmes propriétés descriptives que la

ire qu'à chaque point, à chaque plan, à

L première figure, correspondront, dans la

un plan, une droite.

['infini dans la première figure, correspononde, des points situés tous sur un même L des faisceaux de droites parallèles, apparue figure, correspondront, dans la seconde,

GÉOMÉTRIE i03

des faisceaux de droites concourant en des points situés tous . sur un mémo plan.

c Les deux figures auront entre elles des relations de graur deur, consistant en ce que :

c i^ Le rapport anharmonique de quatre points situés en ligne droite, dans la première figure, sera égal au rapport anharmonique des quatre points homologues, dans la seconde figure;

c 3^ Le rapport anharmonique de quatre plans de la première figure, passant par une même droite, sera égal au rapport anharmonique des quatre plans homologues dans la seconde figure*. »

Ainsi, dans tout système de déformation, les figures corrélatives ont mêmes relations descriptives ; les relations métriques peuvent se déduire de régalité de leurs rapports anharmoniques. -

Voici ce que Chasies entend par rapport anharmonique de quatre points ou de quatre plans :

a, 6, c, d étant quatre points quelconques d'une même droite, le rapport anharmonique de ces points est le rapport des distances de l'un d'eux à deux autres, divisé par le rapport du quatrième aux deux mêmes :

ca , 'dâ TU ' HE

A, B, C, D étant quatre plans quelconques passant par une même droite, le rapport anharmonique de ces plans est le rapport des sinus des angles que forme l'un d'eux avec deux autres, divisé par le rapport des sinus des angles que forme le quatrième avec les deux mêmes :

fin, C, A , siri, D, A

sin. C. B * gin, D, B

Outre les lois de déformation des figures, il est d'autres relations de correspondance que Chàsles appelle les lois de transformation. Il s'agit alors du passage d'une figure à une autre figure non plus du même genre, mais de genre différent. -Les lois de ces transformations sont fondées sur diverses théories dont la plus célèbre est celle it^ polaires réciproques.

(1) Aperçu historique. Mémoii^es de giotnéirie, p. 696.

104 CLASSinCATlON DES SCIENCES

.Chasles les comprend toutes en un principe général qu'il appelle principe de dualité :

t Etant donnée une figure dans l'espace : que, d'un point fixe, pris arbitrairement, on mène à tous les points de cette figure des rayons, et que sur ces rayons (ou bien sur leurs prolongements au delà du point fixe), on porte des lignes qui leur soient respectivement proportionnelles ; que, par les extrémités de ces lignes, on mène des plans perpendiculaires aux rayons ; tous ces plans envelopperont une seconde figure qui sera la transformée de la proposée, comme on l'entend dans le principe de dualité. C'est-à-dire qu'aux plans de la figure proposée, correspondront des points dans la nouvelle figure, et quand ces plans passeront par un même point, ces points seront sur un même planV. > A quatre points en ligne droite, de lune des deux figures, correspondent dans la seconde

' quatre plans, se coupant suivant une même droite, et le rapport anbarmonique des quatre points est égal au rapport anbarmonique des quatre plans. Ce qui est caractéristique des déformations, c'est donc l'égalité des rapports anharmoniques :

c a da (f a' ^ d' a'

cb ' db '^ d b' ' d' b'

sin, C, A sin D, A sin C, A ^ sin D\ A^ siny C, B ' sin 0,3"" sin C, B' * sin D', B'

tandis que les transformations sont caractérisées par l'égalité des rapports anharmoniques :

nin C, A , sin D, A ca ^ da

sin C, B * «in D, B "" c 6 * d b

A toute propriété d'un point ou d'un plan dans la figure primitive correspond une propriété d'un plan ou d'un point dans la figure déformée ou transformée ; à toute variation d'une relation descriptive ou métrique dans la figure primitive, correspond une variation d'une relation descriptive ou métrique dans la figure déformée ou transformée. Enfin, la déformation étant un cas de la transformation, le principe d'homographie se tire du piHncipe de dualité : c II suffit de concevoir une figure A' corrélative de la proposée A, c'est-à-dire sa transformée par le principe de dualité ; puis de former une autre figure A'' corrélative de A', il est clair que A" sera du même

(1) Chasles. Aperçu hUtorique, p. 225.

genre que A (c'est-à-dire une déformation) et que les deux figures auront entre elles toutes les dépendances contenues dans l'énoncé du principe*. • ,

Le principe de dualité est donc une propriété tout à fait générale, à laquelle.se réfèrent toutes les lois tant des relations fixes que des relations variables des figures. Comme il ne détermine aucune des circonstances de construction par lesquelles on obtient les déformations et transformations, il embrasse et comprend toutes les méthodes particulières qui ont été antérieurement employées et toutes celles qu'on pourra découvrir par la suite, en sorte que ce principe qui se démontre par un seul théorème, « dont il n*est que l'expression et la traduction dans toute sa portée, » paraît être c une propriété inhérente aux formes de l'étendue •.

7. — Une autre extension curieuse du champ delà géométrie consiste à considérer l'espace, dit euclidien, à trois dimensions rectilignes, comme un cas de Tespace en général. Supposons un plan, — par exemple une feuille de papier sans épaisseur, — et dans ce plan des habitants absolument plats, et incapables de rien percevoir en dehors des deux dimensions d'eux-mêmes et de leur milieu ; supposons encore qu'ils soient capables de raisonner comme nous et se livrent à l'étude de la géométrie. Ils ne dépasseront pas la géométrie a deux dimensions, et si l'un d'eux vient à supposer qu'il existe peut-être une troisième dimension, inaccessible à ses sens, et par suite à son imagination, ses semblables le traiteront de rêveur chimérique. Peut-être sommes-nous dans une situation analogue à l'égard . d'une quatrième, d'une cinquième, d'un nombre quelconque, fini ou infini, de dimensions de l'espace. .

Supposons encore que cet espace à deux dimensions n'ait pas la forme d'un plan, par exemple que la feuille de papier s'enroule en cylindre. Ses habitants plats ne pourront pas s'apercevoir de sa courbure ; les lignes droites qui, pour nous, sont devenues des arcs de cercle ou d'hélice, continuent pour eux à être des lignes droites, à moins qu'ils ne puissent les parcourir sur une assez grande étendue pour les voir devenir parallèles à elles-mêmes, ou se rejoindre par leurs extrémités opposées. Qui sait si notre espace à trois dimensions n'a pas, lui aussi, une courbure propre, s'il ne s'infléchit pas vers une quatrième

(1) Mém, de géom., p. 696.

106 CLASSinCATIOlC DES SCIENCES

dimension que nous ne pouvons ni percevoir ni imaginer? Sans doute il ne nous arrive jamais, en suivant une ligne droite toujours dans le même sens, de revenir au point de départ, mais cela tient peut-être à ce que nous ne pouvons parcourir nos lignes droites qu*en des segments très limités.

Les géométries non euclidiennes ont été vivement attaquées, et pourtant les mathématiciens y sont constamment revenus. Qu'il existe un autre espace que l'espace euclidien, que nous importe, leur dit-on, puisque c'est dans Tespace euclidien que se placent toutes nos perceptions et toutes nos images ? Mais les métagéomëtres ne disent pas qu un autre espace existe ; ils disent qu'une infinité d'autres espaces sont également pos^ sibles, et par là ils entendent que nos perceptions et nos images pourraient également s'y placer. Il suffit de supposer, pour l'espace à n dimensions, que toutes les dimensions supérieures À la. troisième sont inac^cessibles à notre sens, et, pour l'espace à dimensions non rectilignes, que la courbure essentielle de l'espace réel est suffisamment petite pour échapper à notre expérience. Une infinité d'espaces non euclidiens peuvent alors rendre compte également bien des faits de l'intuition sensible.

^Tous avons défini l'espace la possibilité indéfinie des formes, des grandeurs et des situations. Mais la conception des formes des grandeurs et des situations est assujettie à certaines lois, subordonnée à certaines hypothèses. Les hypothèses qui définissent l'espace euclidien nous semblent évidentes par suite d'habitudes invétérées ; elles ne sont pourtant pas logiquement nécessaires. Considérons seulement, pour plus de simplicité, la géométrie à deux dimensions ou géométrie plane.

« Nous connaissons déjà trois géométries à deux dimensions :

1^ La géométrie euclidienne, où la somme des angles d'un triangle est égale à deux droits;

3^ La géométrie de Riemann, où cette somme est plus grande que deux droits;

3*^ La géométrie de Lobatchevski, où elle est plus petite que deux di«oits.

« Ces trois géométries reposent sur les mêmes hypothèses fondamentales, si Ton excepte le postulatum d'Euclide, que la . première admet et que les autres rejettent. De plus, le principe d'après lequel deux points déterminent complètement une droite, comporte une' exception dans la géométrie de Riemann et n'en comporte aucune dans les deux autres.

c Qoand OQ se borne à deux dimensionsy la géométrie de Riemann est susceptible d'une interprétation très simple : elle ne diffère pas, comme on le sait, de la géométrie sphérique, pourvu que l'on convienne de donner le* nom de droites slûx grands cercles de la sphère.

c La géométrie de Lobatchevski est plus générale. Les figures peuvent y être considérées comme tracées sur une surface de second ordre quelconque. On convient de donner le nom de droites aux sections planes diamétrales de cette surface, et le nom de circonférences aux sections planes non diamétrales. > Il reste à définir ce que Ton doit entendre par Tangle de deux droites qui se coupent ou par la longueur d un segment de droite.

c Par un point pris sur la surface, faisons passer deux sections planes diamétrales (que nous sommes convenus d'ap«, peler droites). Envisageons alors les tangentes à ces deux sections planes et les deux génératrices rectilignes de la surface qui passent par le point envisagé. Ces quatre droites (au sens ordinaire du mot) ont un certain rapport anharmonique. L'angle que nous cherchons à définir sera alors le logarithme de ce rapport anharmonique si les deux génératrices sont réelles, c'est-à-dire si la surface est un hyperboloïde à une nappe; dans le cas cont raire, notre angle sera ce même logarithme divisé par v^ — 1.

(C Considérons un arc de conique faisant partie d'une section plane diamétrale (c'est ce que nous sommes convenus d'appeler un segment de droite). Les deux extrémités de l'arc et les deux points à l'infini de la conique ont un certain rapport anharmonique comme tout système de quatre points situés sur une conique. Nous conviendronis alors d'appeler longueur du segment considéré le logarithme de ce rapport si la coniq ue est une hyperbole, et ce même logarithme divisé parV — 1 si la conique est une ellipse.

« Il y aura, outre les angles et les longueurs ainsi définis un certain nombre de relations, qui constitueront un ensemble de théorèmes analogues à ceux de la géométrie plane.

c Cet ensemble de théorèmes peut prendre le nom de géométrie quadratique^ puisque notre point de départ a été la considération d'une quadrique ou surface du second ordre fondamentale. >

Il y a plusieurs géométries quadratiques, car il y a plusieurs espèces de surfaces du second ordre. < Il y en a trois

principales, correspondant aux trois espèces de surfaces du second ordre à centre; dans la géométrie de Riemann, la surface fondamentale est un ellipsoïde, dans celle de Lobatchevski c'est un hyperboloïde à deux nappes. Celle d'Euclide est un cas limite entre les deux cas précédents.

, c Gomment se fait>il que la géométrie de Thyperboloîde à une nappe ait jusqu'ici échappé aux théoriciens? C'est qu'elle entraine les 'propositions suivantes :

< 1^ La distance de deux points situés sur une même génératrice rectiligne de la surface fondamentale est nulle.

c 2" Il y a deux sortes de droites, correspondant, les premières aux sections diamétrales elliptiques, les autres aux sections diamétrales hyperboliques; il est impossible, par aucun mouvement réel, de faire coïncider une droite de la première sorte, avec une droite de la seconde;

« 3^ Il est Impossible de faire coïncider une droite avec ellemême par une rotation réelle autour d'un de ses points, ainsi que cela a lieu dans la géométrie d'Euclide, quand on fait tourner une droite de 180*^ autour d'un de ses points.

c Tous les géomètres ont implicitement supposé que ces trois propositions sont fausses, et vraiment ces trois propositions sont trop contraires aux habitudes de notre esprit, pour qu'en les niant, les fondateurs de la géométrie aient cru taire une hypothèse et aient songé à renoncer. >

En dehors des gcométries quadratiques, d'autres géométries sont encores possibles, mais on peut les éliminer toutes en faisant l'hypothèse suivante :

c Quand une ûgure plane ne quitte pas son plan et que deux de ses points restent immobiles, la figure tout entière reste immobile. »

Nous avons encore à choisir entre les diverses géométries quadratiques ; nous pouvons exclure celle de l'hyperboloïde à une nappe par les deux hypothèses suivantes liées l'une à l'autre.

< La distance de deux points ne peut être nulle que si ces deux points coïncident. >

< Lorsque deux droites se coupent, on peut faire tourner l'une d'elles autour du point d'intersection de façon à la faire coïncider avec l'autre. »

EnGn cette dernière hypothèse :

« Deux droites ne peuvent se couper qu'en un point », exclut la géométrie sphérique.

Les trois dernières propositions sont d^ailleurs impliquées dans le postulat d'Euclide, qui équivaut, en somme, à cette proposition :

c La somme des angles d*un triangle est une constante. > Poser ces hypothèses, c'est choisir entre tous les. espaces possibles, Tespace euclidien. Quelle est la raison de ce choix, puisque plusieurs autres espaces rendraient également bien compte de notre expérience ? C'est parce qu'il est le plus simple, et, selon la très juste expression de M. Poincaré, le plus c eom* mode ». Nous le choisissons « comme nous choisissons trois axes de coordonnées pour y rapporter une figure géométrique..., et Ton ne peut pas plus dire que la géométrie euclidienne est Traie et la géométrie de Lobatchevski fausse, qu'on ne pourrait dire que les coordonnées cartésiennes sont vraies et les coordonnées polaires fausses'. »

Les tentatives des métagéomètres ont rendu cet éminent service de faire comprendre le vrai caractère des hypothèses fon* damentales de la géométrie euclidienne. Si ces hypothèses c étaient des jugements synthétiques a priori, ou, à plus forte raison, des jugements analytiques, il serait impossible de s'y soustraire », et les géométries de Riemann et de Lobachevski n'auraient pu être construites. Elles ne sont pas non plus des faits d'expérience, car Texpérience s'accommode tout aussi bien d'hypothèses contraires, sous les conditions ci-dessus indiquées. « C'est cependant l'observation de certains phénomènes physiques qui les fait choisir parmi toutes les hypothèses possibles > parce qu'elles se prêtent plus simplement que toutes les autres à la représentation et à la mesure de tous les corps et de tous les mouvements, tels qu'ils .sont ou peuvent être donnés dans notre expérience. La métagéométrie semble appelée, d'ailleurs , à rendre d'autres services. Elle fait songer à ceux qu'a rendus en algèbre le calcul des quantités négatives et imaginaires. L'emploi des symboles littéraux doit nécessairement conduire à l'indication d'opérations impossibles. Le calcul algébrique peut néanmoins s'achever, parce que les opérations n*y sont qu'indiquées, mais le calcul arithmétique correspondant serait arrêté ; on admet qu'il est légitime de le poursuivre, parce que ses solutions pourront, dans tous les cas, être interprétées. On se demande si la métagéométrie n'est pas suscep-

(1) H. Poincaré : Sur les hypothèses fondamentales de la géométrie, Bull. Soc. Math, de France XV, p. 203. Séance du 2 nov. 1887.

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110 CUSSmCATIOIT DES SaENCBS

tible d'interprétations analogues. Il semble, en effet, possible d*établir entre les éléments déûnis dans les géométries non euclidiennes et le& éléments de Tancienne géométrie une corres* pondance telle que tout résultat relatif aux premiers pourra se traduire par un résultat relatif aux seconds.

C*est ce qu'on réalise par un vocabulaire de convention qui fait correspondre les éléments des figures non euclidiennes avec ceux des figures euclidiennes qui peuvent en être considérées comme des cas limites. Le plan euclidien, par exemple, peut être envisagé comme une surface sphérique ou ellipsoïdale (plan Riemann) dont la courbure est nulle, la droite Riemann est un arc de grand cercle ou d'ellipse, elle devient une droite euclidienne, si le rayon est infini, c'est-à-dire si la courbure est nulle. Si la courbure est négative on obtient alors la surface et la droite Lobatcbevski. Nous avons vu plus haut les définitions générales de V angle et de la longueur â!un segment de droite dans les géométries quadratiques. Si l'on exprime les relations entre les éléments des figures à deux dimensions, sans spécifier sur quelle surface fondamentale on les étudie, les formules seront susceptibles d'autant d'interprétations qu'on pourra imaginer de surfaces. Si la surface considérée est un ellipsoïde, les éléments des figures (d'après M. Poincaré, /. c.) sont liés par les relations qui caractérisent la géométrie de Riemann. On est conduit à la géométrie de Lobatcbevski, si la surface est un hyperboloïde à deux nappes, à la géométrie euclidienne si c'est un paraboloïde. Hais il y a encore une autre surface du second ordre, l'hypérboloïde à une seule nappe ; et enfin il y a d'autres surfaces que celles du second ordre ; il est donc possible de faire naître constamment de nouvelles interprétations. Klein, Beltrami, Sophus Lie, ont fait des travaux en ce sens. Peutêtre y a-t-il là une extension possible des ressources de la géométrie ; mais il serait téméraire à moi d'insister sur ce point.