RÉSUMÉ

1. — L'Espace est la possibilité indéfinie des formes, grandeurs et situations. Les situations sont déterminées par les formes et les grandeurs ; les grandeurs perdent toute signification géométrique si elles sont considérées indépendamment des formes; au contraire, la forme des figures peut être étudiée abstraction faite des grandeurs tant absolues que relatives de leurs éléments.

GÉOMÉTRIE lli

2. — Elle donne lieu à des notions très simples qui sont un second point de départ de chaînes dédactives. Elle est Tobjet original d*une science irréductible.

3. — Dans la hiérarchie des sciences, la géométrie ne peut occuper que le second rang : elle ne peut occuper le premier, car elle relève de la science de la quantité pure pour l'étude des propriétés métriques, qui en est une application ; elle seule peut occuper le second, car Tétendue seule est directement mesurable, et la mesure de toute autre chose se fait par réduction à la mesure de Tétendue.

4. — Les problèmes, pratiques étaient nécessairement confondus' avec les problèmes théoriques dans la. science de la quantité, parce que toutes ses propositions concernent des opérations de Tesprit (calculs) ; il n*en est plus de même en géométrie. Cette science ne devient pratique que quand elle établit la possibilité d*une construction ou d'une mesure, exécutable par des procédés connus, avec des instruments simples tels que la règle et le compas. Quand de longues séries de déductions sont dirigées vers quelque but pratique, il en résulte des systèmes partiels, tels que la trigonométrie, la descriptive, et leurs applications, qui ne sont pas des sciences indépendantes, mais des parties intégrantes de la géométrie.

5. — Comme la science de la quantité, la géométrie commence par des propositions très spéciales, qui sont des cas privilégiés, et démontre par leur moyen des propositions de plus en plus générales. Ainsi, la géométrie plane est plus spéciale que la géométrie dans l'espace ; les géométries supérieures des modernes sont des généralisations de la géométrie élémentaire des anciens. Au lieu de considérer la figure en elle-même, les grands géomètres modernes. Descartes, Monge, Poncelet, Chasles ont considéré son rapport avec une autre figure très simple. Cet artifice permet de traiter en général des propriétés communes à des figures très diverses, qui peuvent être envisagées comme des déformations ou des transformations les unes des autres; L*esprit peut alors sjusir et suivre dans leur continuité les variations des formes et des grandeurs. Ce progrès de la géométrie est tout à fait comparable à celui par laquelle Talgèbre passe des relations entre quantités fixes aux relations entre quantités variables.

It2 CLASSinCATIOIf DES SCIENCES

5. — De Descartes allonge, la géométrie emprunte le secours de l'analyse algébrique pour exprimer les variations corrélatives des éléments des figures. Avec Poncelet et Chasies, elle parvient à de semblables généralisations par ses propres ressources, grâce aux propriétés projectives, et surtout grâce au principe de dualité, que Chasies considère comme « une propriété inhérente aux formes de Tétenduè », à laquelle se réfèrent toutes les lois, tant des relations fixes que des relations variables des figures.

7. — Enfin,, l'espace euclidien à trois dimensions rectilignes, peut être envisagé comme un cas spécial de l'espace, cas privilégié qui permet de s'élever à de nouvelles généralisations. Si nous ne pouvons ni percevoir, ni imaginer, nous (Pouvons concevoir et définir des espaces à n dimensions ; nous pouvons, en outre, supposer des espaces dont les dimensions ne sont pas rectilignes. Les postulats, ces résidus des réductions antérieures, apparaissent alors sous un jour nouveau : ils sont les déterminations de l'espace euclidien. Entre tous les espaces concevables, nous choisissons celui-ci comme le plus commode, parce qu'il est le plus simple parmi tous ceux dans lesquels peut se placer notre commune expérience. Nous le définissons par ses propriétés fondamentales ; ce sont les postulats. Le postulat de la ligne droite, celui des parallèles, et les autres, beaucoup plus nombreux qu'on ne le croyait autrefois, servent à exclure les espaces non euclidiens. Ils ne peuvent ni ne doivent être démontrés, puisqu'ils sont de simples conventions, faites' pour fixer l'objet qu'on étudie. Ces curieuses tentatives sont des généralisations plus vastes et plus hardies encore que les précédentes. On a reproché bien à tort aux métagéomètres de s'appuyer sur la géométrie euclidienne ; ils pouvaient et devaient le faire, car l'espace euclidien est un cas déterminé de l'espace en général, et un cas privilégié. Ils n'ont fait en cela que suivre la méthode ordinaire de la géométrie et de toutes les sciences ; et on peut dire avec vérité que la science de l'étendue devait en arriver là par son développement naturel et nécessaire^

Nous retrouvons donc, d'un bout à l'autre de la géométrie, comme nous avons trouvé dans toute la science de la quantité, cette méthode constante qui s'élève aux plus hautes générall* sations par l'analyse des cas spéciaux privilégiés. Voilà bien, contrairement à l'opinion commune, la caractéristique de la méthode déductive, et la forme de la science achevée.