DYNAMIQUE

Avec la dynamique, entrons-nous dans une science nouvelle? Ou bien la cinématique et la dynamique sont-elles deux-stades' du progrès de la pensée dans une seule et même science ? Pour le savoir, il faut examiner ce que l'on entend en dynamique par une force.

. 1 . — La force, a-t-on dit souvent, c'est la cause du mouve* ment. Mais le mot cause est ambigu. En un sens, la cause, c'est l'antécédent nécessaire. Antécédent nécessaire, cela veut dire soit Tantécédent tel que, s'il est donné, il est absurde de supposer que le conséquent ne le soit pas, soit l'antécédent tel que, toutes les fois qu'il est donné, l'expérience nous apprend que le conséquent l'est aussi. Dans les deux cas, la cause est un fait antécédent, observable comme le fait conséquent. Or les forces ne sont pas des faits. Elles ne sont jamais données à titre d'antécédents, observables en eux-mêmes, des mouvements. On n'àppéllé jamais forces, en mécanique, les conjonctures dans lesquelles le mouvement se produit.

LA MÉCANÎQUB " 117

Aussi a-*l-on dit soaveDt que la force est la cause inconnue en elle-même du mouvement, quelque chose d'inobservable, de caché, en quelque sorte, sous les apparences sensibles des êtres, et qu'il est nécessaire de supposer pour en expliquer les mou^ vements. Tantôt on a voulu que la force fût distincte de Tètre d'où elle émane, et transmissible d'un être à un autre, tantôt au contraire, on a conçu la force comme identique à l'être, et produisant toutes ses manifestations, sensibles. Une telle notion métaphysique ne saurait avoir de place da.ns la science positive. Comment admettre que l'objet d'une science où tout est intelligible soit une chose inconnaissable ?

La force n'est donc ni l'antécédent expérimental, ni la cause inconnue du mouvement. La plupart des dynamistes évitent aujourd'hui de la définir; ils se bornent à faire appel à l'expérience la plus commune ; un ressort, un poids,. un cheval qui tire un chariot peuvent en donner l'idée. Mais un poids, un ressort, un cheval sont, en même temps que des forces, des corps, avec toutes leurs propriétés physiques et autres ; ce que le dynamiste considère en eux, c'est seulement la propriété de mouvoir. Une force est une propriété, c'est-à-dire une abst]$A0tion.

C'est même quelque chose de plus abstrait encore qu'une propriété ; car une propriété réside en un être ; or, quand on dijt qu'un point matériel est sollicité par une force, on ne s'inquiète pas de savoir si cette force est représentée par un poids, un ressort, un cheval, un homme, ni même si elle est repré* sentée par quelque chose. Il n'est besoin, pour la concevoir, de songer à aucun être réel autre que le point matériel où elle est appliquée. Une force n'est donc autre chose, pour le dynamiste, que la possibilité d'un mouvement. ,

L'expression c cause de mouvement > est d'autant plus inexacte que souvent le corps auquel une force est appliquée n'est pas en mouvement. C'est même précisément pour cela qu'il est nécessaire, après les problèmes relatifs au mouvement, d'étudier ceux relatifs aux forces. Il ne suffit pas, pour com* prendre, par exemple, les machines, de considérer exclusivement les mouvements qui s'y produisent : ces mouvements eux-mêmes ne peuvent pas être expliqués entièrement les uns par les autres. Ce fut l'erreur des cartésiens de croire que le mouvement était l'unique objet de la mécanique, que sa quantité était constante, et que tous les problèmes mécaniques pouvaient être résolus par des transformations ou composi*

118 CLASSlFICATIOff D|£S SCIENCES

iioBS de'inouTeménts. II fallut recourir à une notion plus générale, considérer non seulement les mouvements réels, mais aussi les mouvements possibles, ceux que prendrait un corps jsi quelques circonstances étaient changées, c'est-à-dire les forces auxquelles il peut être soumis, même s'il n'est pas en mouvement.

. En cinématique, il ne s'agit que de mouvements réels. Un passager marche sur le pont d'un bateau, qui se déplace sur une rivière. Si le passager marche de l'avant à l'arrière avec une vitesse précisément égale à la vitesse du bateau, il est en repos par rapport aux rives* Mais son mouvement est réel par rapport au bateau, et celui du bateau est réel par rapport aux rives.

. En dynamique, on tient compte des mouvements possibles. Un bateau à l'ancre flotte sur l'eau. Il est en repos, mais il se mouvrait de bas en haut si on le déchargeait; il tomberait au fond de la rivière, si on supprimait l'eaul Le poids et la poussée représentent, non des mouvements réels puisque le corps est en repos, mais des mouvements possibles. L'équilibre d'un corps résulte de ce qu'il len(2 simultanément à se mouvoir avec des vitesses égales et directement opposées.

Lorsqu'un corps est en repos, on peut concevoir qu'il se mettrait en 9iouvement si l'on supprimait quelqu'une ou quelques-unes des circonstances. Ainsi un corps étant posé sur un appui ou suspendu à un fil, je puis supprimer l'appui ou le JBl : le corps tombe. J'appelle mouvement possible, ce mouvement qui peut être déterminé par .la seule suppression de quelque circonstance.

. Lorsqu'un corps est en mouvement, on peut concevoir que son mouvement serait chapgé par la suppression de quelque circonstance. Un corps tombe dans Tair, il tomberait dans le vide avec une vitesse plus grande. Une bille roule sur un plan incliné ; sa chute serait verticale si Je plan n'existait pas. Ce mouvement actuel peut être considéré comme composé de mouvements qui n'existent pas, mais pourraient exister par la suppression de quelque circonstance. Ces mouvements compo* sants sont encore des mouvements possibles.

Mais si un mouvement ne peut être déterminé par aucune suppression, même idéale, mais seulement par l'addition de quelque circonstance, on ne dira pas que ce mouvement était possible. Le mouvement était possible dans l'hypothèse précédente, puisqu'il pouvait être déterminé sans aucune addition ;

. : LA mécanioub: : il»

il ne r.est plus dai^s celle-ci, puisque àucùDc ' suppression ne peut le déterminer. . ' : . : . ..

' La circonstance dont Taddition ou la suppression détermine un changement mécanique n*est pas une forcé, c'est ua agent ;c'est quelque chose de concret, tandis que la force .est une simple abstraction. On peut donc formuler ainsi la définitibB générale. Une force est la possibilité d'un changéiment dans Tétat de mouvement ou de repos d'un corps parla suppression de quelque circonstance.

2. — La direction et le sens de la force sont la direction et le sens du mouvement qu'elle imprimerait à un point auquel elle . serait seule appliquée. Qu'appelle-t-on grandeur ou intensité de la force?

yDeux forces sont dites égalés quand elles représeîiteht la possibilité d'un mém'è mouvement :.si deux corps, successive* ment suspendus à un même ressort/ le font fléchir de la méine quantité, les poids àe ces deux corps représentent des forces égales. - i . . ' A

Cette définition, ne suffit pas pour rendre possible la mesuré des forces, car si deux forces égales, par exemple deux poids égaux, au lieu d'être suspendus successivement à un même ressort, agissent sur lui simultanément, rien ne prouve qu'ils le fléchiront d'une quantité double. '

Nous dirons donc que deux forces sont égales quand, sépa-. rément appliquées à un même point matériel, on peut faire équilibre à chacune, d'elles par une même force. Deux corps placés successivement dans le même plateau d'une balance: représentent des forces égales, si le mouvement qu'ils rendent possible peut être empêché par un même poids placé dans l'autre plateau.

Une force est dite somme de plusieurs autres, quand, appliquée seule à un point matériel, elle représente la possibilité' du même mouvement que toutes les autres appliquées simultanément au même point matériel dans la même direction et dans le même sens.

Une fois définies l'égalité et l'addition des forces, toutes les. relations de. grandeur des forces se trouvent par là même définies, puisque l'égalité et l'addition suffisent à définir toutes les opérations du calcul. . . '

On peut aussi définir la grandeur des forces par la vitesse des mouvements ; mais pour cela il faut distinguer le cas d'une

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12a CUSSIFICATI09 DBS SCIENCES

force instantanée et celui' d'une force continue. Une force ins* tantanée, agissant sur un point matériel au repos, est la possibilité d*un certain mouyement, déterminé en vitesse, direction et sens. Dire qu'à partir de ce moment aucune autre force n'intervient plus, c'est dire qu'aucun .changement dans l'état mécanique de ce point n'est possible; une force instantanée peut donc être définie la possibilité d'un mouvement rectiligne et uniforme. La vitesse de ce mouvement est la mesure de la forcé : deux forces égales sont, pour un même point matériel, des possibilités de vitesses égales ; la somme de plusieurs forces dé même direction est, pour un même point matériel, la possibilité d'une vitesse égale à la somme algébrique des vitesses éorrespondantes à ces forces.

L'action continue d'une force n'est autre c)iose que la possibilité d'un accroissement continu de vitesse, c'est-à-dire, pour chaque instant indivisible, la possibilité d'une nouvelle vitesse qui se compose avec la vitesse antérieure. Une force continue peut donc être définie la possibilité d'un mouvement accéléré, une force constante en grandeur et en direction est la possibilité d'un mouvement uniformément accéléré. On pourra donc prendre pour mesures des forces continues les accélérations qu'elles communiquent à un même point matériel.

3. — Jusqu'à présent, la comparaison de la grandeur des forces exige cette condition qu'elles soient appliquées à un même point matériel. Rien ne prouve en effet que tous les corps se comportent de la même manière sous l'action des mêmes forces. Bien au contraire l'expérience nous apprend qu'il en est autrement. Une même force instantanée ne communique pas une même vitesse, une même force continue ne communique pas une même accélération à des corps différents.

Ge principe, ïXnestpas besoin de le demandera l'expérience^ car il est négatif. Sans doute, si la dynamique n'avait pas été expérimentale avant d'être déductive, on ne serait peut-être jamais arrivé à la notion de masse. On aurait peut-être implicitement supposé qu'une même force est toujours la possibilité d'une même accélération quelle que soit la nature du point matériel auquel elle est appliquée. C'est par l'analyse des faits qu'on parvient aux notions élémentaires, aux définitions essentielles des sciences abstraites. Hais ici l'expérience ne nous a pas instruits d'une loi naturelle, elle nous a seulement préservés d'une hypothèse gratuite et injustifiée.

LA MÉCANIOUIS 121

On peut concevoir que des corps différents sont successive-^ ment placés dans les mêmes conditions, soumis aux mêmes agents, et par suite aux mêmes forces. Si Fun d'eux reçoit d'une force donnée F une certaine accélération y, les autres pourront recevoir de la même force des accélérations différentes. Il existera donc pour chacun d'eux un certain coefficient tel que Ton ait dans tous les cas d'une .même force :

Ce coefficient m, c'est la masse du corps.

Avec la notion de masse, nous rencontrons pour la première fois une de ces constantes physiques, dont nous parlerons dans le chapitre suivant. La loi dont dépendent les masses des corps est complètement inconnue. La physique, sur ce point comme sur beaucoup d'autres, n'a pas encore achevé son œuvre. Le coefficient m ne peut encore être remplacé dans les calculs par aucune combinaison d'autres quantités, c'est toujours une donnée. Elle est nécessaire toutes les fois qu'il s'agit de comparer la grandeur dé forces appliquées à des points matériels différents.

, 4. — La grandeur d'une force peut se représenter par une quantité numérique ou littérale et le sens par le sign& de cette quantité. Il était naturel, pour faire profiter la dynamique de toutes les ressources de l'analyse, de chercher une expression analytique de la direction. Tel est le but de la théorie des moments.

Le moment d'une force, par rapport à un point donné, est le produit de la force par la distance du point donné à sa direction. Le moment d'une force peut toujours être tiré de sa direction et réciproquement. On démontre que le moment de la résultante de deux forces complanes par rapport à un point pris dans leur plan est égal à la somme des moments des composantes. Ce théorème et ceux qui en dérivent permettent d'in- .troduire dans les calculs des expressions qui contiennent implicitement la détermination des directions des forces.

Par un artifice analogue, les théorèmes relatifs aux projec* tions des forces permettent de faire profiter la dynamique de toutes les ressources de la géométrie supérieure.

5. — Ainsi se trouve défini l'objet de la dynamique. Elle est donc une extension de la cinématique, c'est-à-dire qu'elle eit

Digitjzed.by

13^ CtASSIFICATION DBS. SGIENCISS

aussi Pétudô du; moiiyemeDt, ou* plus exactement des vitesses ; mais au lieu de coasidérer seulementles vitesses données, oa y considère aussi les vitesses possibles: En cinématique^, ou cherche de quelle manière certains mouvements ou éléments des mouvements {trajectoires i. vitesses i accélérations) ,. sont déterminés en fonction d^ autres mouvements ou éléments de motivements donnés. Il suffit de rendre cette formule un peu plus générale pour y comprendre la dynamique. En mécanique, on cherche de quelle manière certains mouvements ou éléments de mouvements réels ou possibles sont déterminés en fçnction d'autres friouvements ou éléments de mouvements donnés soit COMME REELSySOiT COMME POSSIBLES. Toute la cinématique semblé tendre à élucider la notion d'accélération, .qui est nécessaire pour définir la grandeur des forces; on passe ainsi à la dyna^ mique sans solution de continuité. Aucun concept nouveau n'est introduit qui ne se définisse et ne se construise dans l'esprit, soit avec des notions antérieurement définies, soit avec des notions antérieures à toute science et nécessaires .à toute science. * : •

6. — Hais les trois c principes fondamentaux » ou t postulats 9 de la dynamique ne mettent-ils pas un fossé entre les deux sciences. Ces principes, il est d'usage de les considérer comme des vérités d'expérience. Si tel était vraiment leur caractère, la dynamique ne serait pas purement abstraite et dédùctivè, et elle se trouverait séparée de la cinématique, non seulement par des notions nouvelles, mais par des affirmations nouvelles.

Il est bien vrai que les trois principes de la dynamique ontété puisés dans l'observation des faits; mais il en est de même des vérités fondamentales de l'arithmétique et de la géométrie. Ce ne sont pas des axiomes, car ils ont pu être mis en doute. lia fallu des hommes de génie, pour les démêler dans les phénomènes mécaniques de la terre et du ciel. On les a admis comme des postulats, à cause de l'exactitude des conséquences qu'on en déduit. Ils ont ainsi conduit à élucider la notion de force. La définition que j'en ai donnée, si elle ne se rencontré pas encore dans les traités de dynamique, est conforme à r:esprit de ces traités et à la pensée intime de tous les savants. depuis Newton. Or, .avec cette définition, les trois principes cessent d'être des postulats; ils cessent d'avoir besoin de la confirmation des faits, car ils deviennent des jugements analytiques. ^. . . .'., .. ^ .. • .. ..'.:■.,. -,

LA HiCANIOOB 1.23

La force étant la possibilité d'^aa mouvèmenf ou d'un chan-'. gementde mouvement, aucune expérience n'est nécessaire pour afSrmer que chaque fois qu'un mouvement commence: ou se modiQe, il y a intervention d'une force. Le principe (Finertte est un reste de la période de formation de la dynamique, période où cette science était en grande partie expérimentale et se confondait avec la physique. Les forces n'étaient pas alors distinguées des agents naturels; une forcé était un res« sort, un cheval, un homme, quelque chose qui pousse ou qui tire. Si on se représente la force comme une chose, et le mouvement comme une autre chose , si la conception de l'un n'est pas impliquée dans la conception de l'autre, si ce sont deux termes également donnés, l'expérience et Tinduction sont évidemment nécessaires pour affirmer qu'il existe entre eux des relations invariables. En ce sens, le principe d'ijoertie n'appartient pas à la mécanique, mais à la physique : en faii^ un corps ne commence jamais à se mouvoir, ne change jamais de mouvement sans l'intervention d'une cause^ qui est elle-pième un fai.l concret et observable, un apen^ naturel. C'est le principe même du déterminisme dans le cas du mouvement : Un corps est en. repos; si aucune ctrcons/ane^ n'est changée^ aucun changement ne peut survenir dans son état de repos; un corps est en mouvement; si aucune circonstance n'est changée, aucun changement ne peut survenir dans son mouvement; il est donc rectiltgne et uniforme. En. d'autres termes, la matière, telle que le physicien l'observe, la chose qui se voit, se touche, se manie, est inerte; elle n'a pas de spontanéité; elle ne possède pas, par exemple, cette source interne d'énergie que les partisans du libre arbitre attribuent à la volonté humaine, ni même le mouvement spontané, capricieux, imprévisible de l'animal. Incapable de sortir par elle-même de son repos, elle Test aussi de modifier d'elle-même la vitesse ou la direction de son mouvement. C'est bien l'observation qui a révélé cette vérité de fait, contraire à Topinion instinctive et commune, car l'observation superficielle des mouvements naturels les plus usuels conduirait à penser, si l'on n'y prenait pas garde, que le mouvement s'épuise de lui-même, qu'un corps lancé par une force quelconque, se ralentit progressivement jusqu'à ce qu'il se réduise au repos.

Mais en mécanique, il ne s'agit pas de la matière qui se voit, se touche et se manie, il s'agit de points matériels et de systèmes de points matériels. Le corps, pour le dynamiste, ne

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s'observe pas, il se définit. De même la force n'est pas l'agent, c'est son action. Elle n'est pas donnée en dehors du mouvez ment ; elle se définit par le moavement. Le dynamiste ne cpn* sidère dans le corps que la propriété d'être mobile ; cette propriété, c'est la possibilité de tous les mouvements concevables, une force, c'est la possibilité d'un mouvement déterminé. Si les mots corps et force sont ainsi entendus dans leur sens abstrait, le principe d'inertie n'est plus qu'une tautologie : un changement mécanique n'est pas possible sans la possibilité d'un changement mécanique . .

Il en est de même du principe de l'indépendance des effets des forces. Si une force communique un mouvement à un point qui est lui-même en mouvement, ce nouveau mouvement est précisément le mouvement absolu qu'elle lui communiquerait si le point était au repos. Il en résulte que, pour avoir le mouvement absolu du point dans l'espace, il suffit de composer, comme on Fa enseigné en cinématique, son mouvement antérieur, avec son nouveau mouvement. Mais en définissant la force la possibilité d'un changement de mouvement, nous l'avons définie la possibilité d'un nouveau mouvement qui se compose avec le mouvement antérieur. Le principe de l'indépendance des effets des forces est donc encore une tautologie.

La conception concrète des forces avait conduit à admettre-, dans les cas où on ne voyait pas l'agent, l'existence d'un agent invisible. Les. cartésiens écartèrent ces puissances occultes, inaccessibles à la science, mais ils ne surent pas introduire la vraie notion de la force. Ils ne distinguèrent pas la cinématique de la dynamique, et voulurent que le mouvement fût l'unique objet de la mécanique. Tout mouvement leur semblait dû à un moteur qui est lui-même en mouvement; le mouvement est essentiellement transmissible, il passe du moteur au mobile ; ce qui conduisit à penser que sa quantité est invariable. Toute la mécanique avait donc pour objet les lois de la communicaf tion des mouvements. Les cartésiens résistèrent à Newton qui leur sembli^it réintroduire les puissances occultes en parlant d'attraction. Un corps immobile ne pouvait pas, d'après leurs principes, être un moteur, surtout il ne pouvait pas l'être à distance. En réalité. Newton introduisait la conception abstraite de la force, et bien que les expressions soient restées longtemps défectueuses, en fait, les savants ont généralement, depuis Newton, conçu la force comme une abstraction, telle que je l'ai définie. Cette conception, il suffit de la formuler en termes con

LA HÉCAN10UU 125

veûables pour que le principe d^inertie et le principe de Tindé* pendance des effets des forces soient manifestement des juge* ments analytiques.

Reste le principe de Tégalité, de l'action et de la réaction. - On ne fait aucun usage de ce principe tant qu'on traite de Téquilibre et du mouvement d'un point matériel libre. Il ne trouve son application que^ dans le cas de points matériels assujettis à ne se mouvoir que d'une certaine manière, ou ce qui revient au même, dans le cas de systèmes de points entre lesquels on imagine des liaisons.

Soit un point M, assujetti à se mouvoir selon une direction fixe xy. qu'il ne peut quitter. Il est soumis à une force F, son poids par .exemple.

On peut décomposer cette force en deux autres, l'une /'qui est la possibilité d'une certaine vitesse selon la direction xy^ la seule possible par hypothèse ; l'autre f perpendiculaire

, à xy. Comme, la force f n'a pas de composante selon xy^ seule direction possible du mouvement du point M, elle ne déterminera aucun mouvement. Or, V impossibilité d'un mouvement^

. quand il existe une force tendant à le produire, c'est l'existence d'une autre force f* égale et directement opposée ; en d'autres termes, c'est la possibilité simultanée de deux vitesses dontja résultante est nulle. Admettre que le point M ne peut quitter la ligne xy, c'est donc admettre que toute force normale à cette ligne est équilibrée par une autre force égale et directement opposée. Cette force est Isl réaction de la ligne a;y sur le point H. En même temps que. le point M tend à se mou* voir suivant H/", à déprimer ou à pénétrer la ligne xy, la ligne exerce sur lui une impulsion ou une pression égale, c'est-àdire ne se laisse pas déprimer ni pénétrer. La réaction est donc une hypothèse qu'on introduit, par le fait même qu'on suppose le mouvement du point H assujetti à une condition. C'est cette condition même. On pourrait dire : nous faisons cette conven-

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IM CLASSIFIGATIOS DES . SaENCES

tioa» que .toute force normale à a?y est constamment équilibrée par une force égale et directement opposée; c'est exactement ce que signifie cette expression : le point M est assujetti à se mouvoir suivant a;y.

. Un- cheval tire un charioU La traction qu'il exerce est la possibilité^ pour la masse du chariot, d'un certain mouvement, déterminé en vitesse, direction et sens, mouvement que le chariot prendrait en effet, s'il n'était soumis à aucune autre force. Je puis, par la pensée, réduire le cheval à un point,' le chariot à un autre point, et supposer invariable la longueur du trait, c'est-à-dire la distance des deux poinjts. Supposer cette distance invariable, c'est supposer que toute force qui tend à la faire varier est équilibrée par une force égale et directement opposée. Or, quand le cheval se déplace, il tend à s'éloigner du chariot, à allonger le trait ou à le rompre. Cette force est, par hypothèse, constamment équilibrée par une force égale et directement opposée, qui maintient invariable la longueur du trait, et. qui s'appelle la réaction du chariot sur le cheval.

Les réactions sont donc des notions introduites conventionnellement; elles font partie de l'hypothèse. Il n'est nullement besoin d'avoir recours à l'expérience, ce qui d'ailleurs serait impossible, pour affirmer que l'action et la réaction sont égales, puisque, par définition, la réaction est la force égale et directement opposée qu'on convient d'admettre toutes les fois que certaines forces entrent: en jeu. Le principe de l'égalité de l'action et de la réaction. est donc, comme les précédents, une tautologie* .

. Comme on le voit, une définition .convenable de la force permet d'éliminer de la mécanique rationnelle les trois principes . fondamentaux qu'on considère ordinairement comme empiriques. - - " ' .

• 7. — L'histoire de la mécanique nous la montre confondue longtemps avec la physique et l'astronomie, expérimentale' et inductive comme elles. Le calcul y tient dès l'origine une grande place, mais il s'y applique, comme en physique,, à des lois expérimentalement établies. Progressivement, lainécanique'se dégage de l'expérience et se fait de plus en plus* c. rationnelle ». Aujourd'hui l'évolution est accomplie. Une trace de l'empirisme originel subsiste encore : l'usage de demander à l'expérièhce là notion de force et les trois principes de la dynamique, mais, e'estlà une imperfection qu'il est possible et. qu'il est temps-

LA HÉGAK10UB ' iS7

de faire disparaître, en introduisant une définition abstraite du concept de force;

Gomme la science de la quanti té, comme celle de retendue, la mécanique rationnelle commence par établir des propositions spéciales, et procède par généralisations successives. En cinématique, oh ne considère que les vitesses actuelles ; la dyna* mique introduit la notion de force qui çst plus générale, puisque c'est la notion d*une vitesse Rcinelïe ou possible ; beaucoup de théorèmes de dynamique sont de simples généralisations de théorèmes de cinématique. La statique, qui est la partie la plus élémentaire de la dynamique, est Tétude du cas privilégié de réquilibre. Il n*est pas une proposition de statique qui ne puisse se tirer par syllogisme d'une proposition" de dynamique, en faisant tes résultantes nulles; mais ces cas spéciaux ont le privilège de pouvoir être démontrés par des raisonnements plus courts, et il faut passer par eux pour s'élever aux cas gêné raux. C'est toujours la même méthode de généralisation, non pas expérimentale et inductive, mais abstraite et déductivë.