CHAPITRE PREMIER

LE DUÀUSME LOGIQUE

Les savaDts semblent se répartir as^ez naturellement en trois groupes, selon qu'ils font leur spécialité des mathématiques, des sciences physiques et naturelles ou des sciences morales, niysiciens et naturalistes se rapprochent beaucoup moins des psychologues, historiens, économistes que des mathématiciens; ils ont avec ceux-ci plus d*idées communes ; ils leur empruntent des méthodes ; ils rivalisent avec eux pour la précision et la solidité de leur savoir ; ils siègent dans les mêmes académies ; surtout, ils ont reçu, pour la plupart, une culture générale semblable, tandis qu'on s'achemine vers Tétude des sciences morales, chez nous du moins, par une éducation presque exclusivement littéraire. Moralistes et naturalistes restent ainsi étrangers les uns aux autres, ayant peine à se comprendre et ne parlant pas la même langue. D'autre part^ mathématiciens, physiciens et biologistes se considèrent volontiers comme les seuls vrais titulaires du domaine scientifique, se refusant à donner le nom de science à des inventaires de faits sans lois, comme l'histoire, à des spéculations éloignées des faits, comme la plupart des philosophies.

Tout cela tient visiblement à l'infériorité présente des sciences morales. Bien que leurs principaux problèmes aient préoccupé les esprits dès l'antiquité, elles sont pauvres de résultats acquis; elles n'ont encore fixé ni leurs objets, ni leurs principes, ni leurs méthodes. Mais toutes s'efforcent de devenir positives, de s'affranchir des métaphysiques et de prendre rang parmi les sciences de la nature. La psychologie est aujourd'hui à peu près

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dans la situation où étaient Tastronamie avec Tycho-Brâhé, la physique avec Cardan, la chimie avec Stahl. Elle commence à se dégager des théories aventureuses, à se créer une méthode d'observation et môme des instruments et une technique ; elle semble mûre pour l'avènement d*un Kepler, d'un Galilée ou d'un Lavoisier. La différence entre les sciences naturelles et les sciences morales est que celles-ci sont moins avancées. Il serait aussi peu raisonnable de s'en tenir à cette division que si un zoologiste, ayant à classer les animaux du Jardin des Plantes, considérait, non leurs caractères spéciflques et génériques, mais leur taille, leur poids ou leur âge.

Les sciences « morales », plus complexes dans leurs objets, plus hésitantes dans leurs méthodes, plus indécises dans leurs résultats, prétendent néanmoins à devenir de vraies sciences. La psychologie veut être une histoire naturelle de Vâme^ la sociologie une histoire naturelle des sociétés humaines. Le système total du savoir humain ne se divise pas en trois embranchements profondément distincts. Se divise-t-il même en deux : les mathématiques, sciences de raisonnement, déductives et abstraites, et les sciences d'observation et d'expérience, inductives et concrètes ?

Nous discuterons plus loin le vrai caractère et la position systématique de la logique et nous examinerons s'il y a lieu, comme le veut Herbert Spencer, de la réunir aux mathématiques sous la désignation commune de Sciences c abstraites ». les autres connaissances étant au contraire c concrètes >. Ce point réservé, on se trouve en présence d'une division de toutes nos connaissances en deux embranchements; les unes ont pour objet les faits ; les autres sont indépendantes des faits, et n'ont pas besoin, pour être vraies, que leurs objets soient réels.

L'hydrogène, brûlant dans une éprouvette, engendre de la vapeur d'eau qui se condense sur les parois du verre ; — le fémur de l'homme est maintenu dans la cavité cotyloïde par la pression atmosphérique. Nous savons qu'il en est ainsi parce que des expériences, toujours faciles à répéter, le prouvent. C'est vrai parce que c'est réel.

La somme des angles d'un triangle est égale à deux angles droits. Ceci n'a pas besoin d'être vérifié expérimentalement, et d'ailleurs, ne peut l'être, car l'expérience prouvera seulement que c'est vrai sensiblement, mais le mathématicien veut dire que c'est vrai absolument. Ce serait encore vrai quand même ce ne serait pas réel. Ce n'est peut-être pas réel, car je

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^ ne sais pas s'il existe des triangles ; je n'en connais pas, je n'en ai jamais vu. La figure tracée sur le tableau n'est pas une sur* face plane, et les traits de craie ne sont pas des lignes droites, ni des lignes. Mais il suffit qu'on puisse concevoir et définir le

. triangle pour que les propositions qu'on en démontre soient vraies. ^

Stuart Mill impose aux définitions mathématiques une condi- lion à laquelle elles ne sont nullement assujetties. Dans ces définitions, dit-il, « il est sous*entendu que quelque chose telle que le défini existe réellement ou peut se trouver dans notre expérience ». Cela n'est pas exact; on définit une asymptote, on définit des parallèles ; or notre expérience ne peut pas nous présenter des lignes indéfiniment prolongées. On définit des quantités négatives, imaginaires, infiniment grandes ou petites; or toute quantité donnée dans l'expérience est positive, réelle et finie. Les définitions purement verbales (un dragon est un serpent qui souffle des flammes) ne peuvent, selon Mill, servir de principe à aucun raisonnement. C'est une erreur ; on pourra tirer d'une telle définition un grand nombre de conséquences, par exemple qu'un dragon est dangereux, qu'il est bon de le détruire, etc. Hais comme l'objet défini n'est pas un objet réel, aucune des propriétés ainsi déduites n'est la propriété d'un objet réel. De même aucune définition mathématique n'est la définition d'une chose réelle. Ce qui est sous-entendu, ou plutôt, ce qui doit être démontré, si ce n'est pas évident immédiatement, c'est que la notion définie est possible, que l'esprit peut réellement la concevoir, que le mot dont on détermine la signification a vraiment une.signification ; ce qui s'entend assez, . puisque la définition a pour but de déterminer justement cette signification.

Si je fais abstraction de la totalité des faits, à la place de cette nature que ma pensée supprime, je puis imaginer une infinité d'autres natures, inventer une infinité de faits et de combinaisons de faits. Ma fantaisie n'est cependant pas libre de toute loi. Il m'est impossible par exemple de concevoir un tout qui serait plus grand ou plus petit que la somme de ses parties, un cercle dont le diamètre et la circonférence auraient une commune mesure. Affranchi de la nécessité de me mettre d'accord avec l'expérience, je suis encore obligé d'être d'accord avec moi-même. Ces lois de la concevabilité seraient précisément l'objet des sciences abstraites ; les sciences de la nature ont pour objet les lois de l'existence.

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le CLASSIFICATION DES SaEMGES

Cette division semble embrasser la totalité du savoir positif. Oa ne voit pas qu'aucune vérité générale présentement établie, ni même qu'aucune acquisition future, puisse être autre chose qu'une loi de l'esprit ou une loi des choses, une connaissance c abstraite > ou une connaissance c concrète >, une vérité de droit ou une vérité de fait. II y a là, semble-t-il^ plus qu'une différence profonde : c'est une opposition radicale.

Mais comment se fait-il que l'astronomie dont l'objet est réel, qui est une science de la nature, soit rangée par A. Comte parmi les diverses branches des mathématiques; qu'il y ait une optique géométrique ^ une physique mathématique, que la mécanique semble à quelques-uns avoir un caractère mixte ou intermédiaire?

• L^opposition n'est donc pas aussi radicale qu'on pourrait le croire. Quand une classification est suffisamment étudiée, toutes les lignes de démarcation doivent être parfaitement nettes, et il ne doit pas rester de genres indécis comme les sciences c abstraites-concrètes > d'H. Spencer.

Les mathématiques sont purement idéales et indépendantes de la réalité de leurs objets. Pour démontrer les propriétés du triangle, le géomètre ne se demande pas s'il existe quelque triangle. Il est même fort raisonnable de penser que les objets de la géométrie ne sont réalisés nulle part. Toutes les figures que la nature présente sont irrégulières et complexes ; le savant ne les détermine et ne les calcule qu'à la condition de les rectifier et de les simplifier.

L'orbite d'une planète n'est pas une ellipse véritable, car l'astre subit d'autres attractions que celle du soleil; ce n'est même pas une courbe plane, car ses axes ont ordinairement des mouvements comme la nutation ou la précession des équinoxes. Puis la planète n'est pas un point; le point qui décrit une orbite à peu près elliptique, le centre de gravité, ne peut être déterminé que grossièrement, car il ne coïncide avec le centre de figure que dans un corps homogène. Si Ton veut pousser les choses à la dernière rigueur, — et il le faut bien, — le centre de gravité est tout à fait indéterminable, car il varie, et ses variations sont impossibles à suivre : en général, quand un corps change de forme, il change de centre de gravité ; tout homme qui marche déplace le centre de gravité de la terre.

Mais il importe peu que les objets des mathématiques soient ou non réalisés, il suffit qu'on les conçoive et qu*on les défi-

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nisse. Si le monde cessait d'exister, la valeur des déia^onstralions subsisterait tout entière.

Il s*en faut que le caractère idéal des mathématiques soit, universellement reconnu. Ampère les définit « les sciences qui ne considèrent dans les phénomènes naturels que les rapports de quantité >. Il s'élève contre c l'idée absolument dénuée de fondement, que les vérités dont se composent les mathématiques n'ont aucune réalité extérieure et se rapportent uniquement à des vues de l'esprit, comme si les lois mathématiques du mouvement des astres ne réglaient pas ce mouvement depuis que le monde existe, et bien avant que Kepler les eût découvertes* ».

L'exemple, au moins, est mal choisi. Quand les lois naturelles découvertes par l'expérience ont assez de précision pour qu'on puisse y appliquer le calcul, elles ne sont pas pour cela des vérités mathématiques. Il y a loin des conditions de la mesure en général aux rapports mesurables que l'observation a pu saisir dans les faits. Une science n'est pas mathématique parce qu'elle fait des calculs; autant vaudrait faire des mathématiques elles-mêmes une branche de la Logique ou de la Linguistique parce motif que les géomètres raisonnent ou qu'ils s'expriment.

Ampère veut établir que les mathématiques ne sont pas < noologiques » mais c cosmologiques > ; et après lui beaucoup de mathématiciens se sont attachés à soutenir qu'elles expriment non des lois de Tesprit, mais des lois des choses, c Ce qu'on croit ou ce qu'on nie par les lois des mathématiques, dit M. 6. Mouret, ce sont des relations entre des objets du monde extérieur^ et, pour arriver à une connaissance positive de ces lois, il convient de les examiner dans leurs termes co>2cra/s, qui sont les corps ou les phénomènes* *• .

Je ne sais si, en les examinant dans leurs termes concreits, on en aura une connaissance plus c positive >, mais je vois bien qu'avant de les examiner dans leurs termes concrets, c'està-dire avant d'effectuer des mesures, de calculer des effets naturels, par exemple les mouvements des astres, il faut démontrer les lois du calcul et de la mesure, et que ces lois, sous leur forme abstraite, ne supposent la considération d'aucune chose effectivement mesurée. Ampère dit, avec plus de raison, qu'elles s'appliquent à tous les mondes possibles :

(1) Philosophie des sciences^ t. I, p. 195.

(2) L'Égalité mathématique, Rev. philosophique, août 1891.

GOBLOT. 2

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c Quant & ceux qui ont fait de Tarithmologie et de la géométrie un groupe de sciences distinctes pour placer la mécanique et Turanologie dans les sciences physiques, il me parait qu'ils ne prenaient pas le mot mécanique dans le sens que lui donnent les mathématiciens. La mécanique n*est pas une science qui s'occupe seulement des mouvements que présentent les corps que nous pouvons, sur notre globe, soumettre à Texpérience, ou des machines dont nous aidons notre faiblesse. Telle que l'ont conçue les Euler, les Lagrange, les Laplace, etc., la mécanique donne des lois, comme Tarithmologie et la géométrie, à tous les mondes possibles... î L'uranologie elle-même c s'applique à tous les mondes qui peuvent exister dans Tespace, tandis que rien ne s'oppose à ce que, dans les globes différents du nôtre, les propriétés des corps, soit inorganiques, soit organisés, fussent toutes différentes de celles que les autres sciences cosmologiques étudient dans les corps qui nous en* tourent* ».

C'est le caractère mathématique de l'uranologie qui a égaré Ampère. A. Comte aussi, tout en la considérant, comme une branche de la physique abstraite, — ce qui n'est pas tout à fait exact — ne peut s'empêcher de lui donner une place à part, à cause du grand fait de la gravitation. Les transformations si rapides et si complètes de la science des astres étaient bien faites pour frapper l'esprit des savants. Encore empirique et superstitieuse au xvi* siècle, elle devient expérimentale Vavec Galilée, et presque aussitôt le génie de Newton la transforme en mécanique céleste. A ce moment, la mécanique générale ne s'est point entièrement dégagée de l'expérience ; ce n'est qu'avec d'Alembert et Lazare Carnot qu'elle achève d'éclaircir ses notions fondamentales et de formuler ses principes. Aussi les progrès de la mécanique rationnelle et ceux de la mécanique céleste sont-ils étroitement connexes, leurs problèmes fréquemment confondus. Même les problèmes de géométrie et d'analyse, dans les travaux des Bernouilli, d'Euler, de d'Alembert, se posent souvent, à l'occasion des mouvements des astres, et sous la forme concrète d'orbites ou de vitesses à déterminer. L'astronomie est en avance ; elle est obligée d'attendre, pour interpréter ses propres observations, les progrès de la mathématique pure. Il en résulte que le problème

(1) PhU,des Se, t. I, p. 198.

(2) Preuve du mouvement de la Terre.

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abstrait 8*umt et se fond avec le problème concret et qu'on ne distingoe clairement ni le caractère idéal des mathématiques, ni le caractère expérimental de Tastronomie.

Sans doute, la loi des aires était vraie bien avant que Kepler l'eût découverte. On peut en dire autant de toutes les^lois natu* relies. Les lois astronomiques expriment Tordre réel des faits et sont prouvées par les faits. Si Kepler a découvert la 6gure elliptique des orbites et la variation de vitesse des astres, c'est qu'il avait entre les mains les observations excellentes auxquelles son maître Tycho*Brahé avait consacré sa vie ; c'est qu'il observa lui-même et construisit par points Torbite de Mars. Il ne prouva pas a jn^iori que tout astre possible et imaginable devait obéir à la loi des aires ; mais il ht voir qu'en fait ainsi se comportent les planètes du système solaire.

Newton a donné la raison de' cette loi empirique ; il en a fait la conséquence mathématique d'une loi plus générale. Mais la méthode qu'il a suivie peut être citée comme un modèle de raisonnement expérimental. Il a fait cette hypothèse de génie que la composante invariable qui retient un astre dans son orbite est de même nature que la pesanteur terrestre. Or, les lois de la pesanteur avaient été déterminées expérimentalement par Galilée ; en les appliquant à son hypothèse. Newton . retrouva la loi des aires, que Ton savait conforme aux faits. Ainsi, la grande loi de la gravitation, bien que le raisonnement contienne de longs calculs, bien que le résultat soit une formule (il en est de même de toutes les lois précises), n'est pas une loi mathématique, mais une loi expérimentale. Elle ne s'applique pas c à tous les mondes qui peuvent exister dans l'espace », car je conçois très bien un monde où tous les corps s'attireraient selon une loi différente, ou même ne s'attireraient pas du tout. La notion A' attraction a paru longtemps inadmissible. Huyghens et tous les cartésiens la repoussèrent ; on voit par les écrits de Fontenelle dans quelle perplexité les jetait cette puissance occulte, cette influence inintelligible, et pourtant conforme aux faits. Et ce n'est pas l'évidence rationnelle, seule admise en mathématiques, c'est l'évidence expérimentale qui désarma les derniers adversaires.

On ne saurait trop répéter combien est inexacte cette idée d'Ampère et de tant d'autres, qu'une science est mathématique parce qu'elle emploie les mathématiques, et l'idée de A. Comte, qui en est le corollaire, ou l'exagération, que toutes les sciences doivent se ramener aux mathématiques, de sorte que le progrès

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SO GtASSIFIGAnON DES SGtENGES

de la science, au lieu d'être Textension du savoir, en serait en quelque sorte la résorption .

Dans Tétat actuel de nos connaissances, rien ne s*opp6se à ce que, dans un monde différent du nôtre, les propriétés phy- .siques, chimiques, organiques des corps, y compris la gravitation, soient autres que celles que nous connaissons. Mais il ne peut être faux, dans aucun monde réel ou imaginable, que 3 et 2 font 4, parce que tout autre total contredirait la définition de 2, celle de 4, ou celle de l'addition. Cette proposition serait donc encore vraie, quand même aucune expérience ne présenterait un groupe de deux objets qu'on puisse joindre à un autre groupe de deux objets, quand même il serait impossible de considérer < dans leurs termes concrets » ni deux, ni quatre, ni l'addition.

Pour bien comprendre le caractère idéal de la mathématique, il faut soigneusement distinguer deux questions : 1^ le problème psychologique de la formation dès notions et vérités fondamentales ; 2^ le problème logique de la nature des connaissances et des raisons de leur certitude.

La première question ne se rapporte pas au débat. Les notions mathématiques élémentaires sont-elles d*origine empirique? Les vérités fondamentales, les axiomes dérivent-ils par généralisation de notre commune expérience ? Ou bien, au contraire, existe*t-il des notions et des vérités antérieures à toute expérience ? On peut disputer sur l'origine des idées d'espace et de temps ; la genèse de l'idée de nombre est sans doute une opération fort compliquée. Compter est au-dessus de l'intelligence de tous les animaux et même de quelques hommes, s'il est .vrai que certains sauvages ne peuvent dépasser trois. Mais l'arithmétique et la géométrie s'adressent à des esprits pour qui ces idées sont parfaitement claires, pour qui les axiomes ne sauraient faire l'ombre d'un doute. C*est l'affaire des psychologues de rechercher comment ces notions nous sont venues, pourquoi nous sommes persuadés de ces vérités ; les mathématiques n'en peuvent recevoir aucun supplément de clarté ni de certitude. On ne peut ni tout déCnir ni tout démontrer : il y a des notions immédiatement claires qui servent à définir les autres, des propositions immédiatement évidentes qui servent > démontrer tout le reste. Quand la science a trouvé ces notions et ces propositions, elle a trouvé son véritable commencement.

La deuxième question est donc seule en cause : les vérités mathématiques sont-elles des lois de la nature ?

LB DCAUaiB lOaiOOB SI

Ooi, en ce sens qu'aneun fait ne sera jamais donné qni les contredise. Elles sont des conditions de possibilité de tonte notre expérience sensible ; elles régissent ainsi tout le possible, ou mieux, tout le concevable. En quoi elles semblent se distinguer profondément des lois expérimentales. Celles-ci ont )K>nr objet le réel ; elles consistent à exprimer les faits dont se compose l'univers et à en rendre compte. Le mathématicien peut, à l'occasion, demander à Texpérience une vérification et un contrôle, mais jamais une démonstration ; et si quelque lot, ainsi qu'il arrive souvent, lui est suggérée par une généralisation des faits, et il ne la considère jamais comme définitivement acquise, tant qu'elle a le caractère d'une connaissance empirique. Il procède à priori ; sa méthode est la définition abstraite et la démonstration déductive. Elle a d'ailleurs une rigueur que l'expérience ne comporte pas, et qui justifie la qualification usuelle de sciences exactes. — Au contraire, l'expé* rience est le seul terrain solide sur lequel s'édifient les sciences de la nature. Elles se défient des théories et des systèmes, et n'admettent que des généralisations établies sur les faits, et confirmées par les faits. Leur méthode est l'observation, la classification et l'induction. Il en résulte qu'elles ne peuvent prétendre qu'à une exactitude relative, subordonnée au degré de précision dont nos sens et nos instruments sont capables, et ne sont que sensiblement vraies ^

Ainsi, les mathématiques expriment à priori les conditions de l'intelligibilité en général, et sont elles-mêmes le type de la science parfaitement intelligible et certaine ; mais elles ne sont la connaissance d'aucune partie de la nature. Les sciences expérimentales ne sauraient donner à l'esprit une satisfaction aussi complète — du moins il le semble — mais en revanche elles seules nous révèlent le monde oii nous sommes. .

Enfin notre division en deux embranchements trouve une sorte de confirmation dans les habitudes d'esprit et les tendances toutes contraires de savants trop exclusivement adonnés à leurs études spéciales. La pratique ordinaire du mathématicien est de prendre pour point de départ un petit nombre de données précises, et, sans s'embarrasser d'aucune considération étrangère, d'en tirer un système cohérent de conséquences. Dans la vie pratique, ou dans les autres sciences dont il s'oc-

(1) Voir V. Egger, art. Induction, dans le DicL encycL desic» méd^ de Dechambre.

cupe accidentellement, il lui arrive de procéder d'une manière analogue. Il cherche à éliminer tout ce qui n'est pas totalement intelligible. Au lieu de considérer les faits tels qu'ils sont, avec leur complexité indéfinie, leurs nuances inexprimables, leurs dessous mystérieux, leurs perspectives perdues, il en extrait un nombre limité de données entièrement saîsissables, entièrement claires, et il en fait la base de ses théories. Les conséquences, si elles sont bien déduites, sont vraies abstraitement. Elles pourront néanmoins être démenties par les faits, à cause des circonstances cachées ou obscures systématiquement écartées. Le savant a bien résolu le problème qu'il avait posé ; seulement ce n'est pas tout à fait celui que posait la réalité.

Tout autre est ordinairement Tespritdu naturaliste. L'investigation expérimentale est si féconde en surprises, les constructions prématurées ont essuyé tant de démentis, qu'il faut toujours s'attendre à de l'inattendu. Quelle préface d'un livre de Biologie ne répète ce lieu commun : « Défions-nous des théories et des systèmes ! Gardons-nous de raisonner à priori ! Des faits, rien que des faits ! » L'excès de cette disposition de l'esprit serait de réduire la science à un catalogue, à un journal de laboratoire, d'en bannir le raisonnement et les idées, c'est-à-dire, en somme, de méconnaître sa tâche essentielle, qui est de rendre la nature intelligible.

Il semble donc que la Science soit double, que la mathématique et la science de la nature, partant, pour ainsi dire, des deux pôles extrêmes de la connaissance, marchent en sens inverse et aillent à la rencontre l'une de l'autre. L'une analyse et développe les lois de l'esprit pour les rendre applicables à la diversité et à la complexité des faits ; l'autre rassemble les faits et les coordonne en des conceptions de plus en plus conformes aux lois de l'esprit. Et Ton suppose que, les lois mathématiques une fois formulées avec un détail suffisant, les faits une fois notés et classés avec assez de précision et de méthode, cette forme et cette matière s'adapteront exactement l'une à l'autre. Et tel serait le terme, — sans doute inaccessible — du pro- . grès indéfini de la science.

On peut appeler dualisme logique cette opposition radicale des sciences de raisonnement et des sciences d'observation. Il n'est pas sans analogie avec les autres dualismes. La raison et l'expérience, l'idéal et le réel, le possible et l'être, le droit et le fait, l'esprit et la matière, c'est toujours sous des formes