CHAPITRE II

LOI COMMUNE DU DÉVELOPPEMENT DE TOUTES LES SCIENCES L'INDUCTION EN MATHÉMATIQUES

1. — Oq peut — sinon démontrer — du moins prouver par induction les vérités mathématiques. En mesurant au rapporteur les angles à la base de plusieurs triangles isocèles, on se convaincra que ces angles sont toujours égaux. En mesurant les côtés de plusieurs triangles rectangles de proportions très diverses, on pourra s'assurer que le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de Tangle droit. On verra de même que, dans un triangle, si un angle est aigu, la somme des carrés de ses côtés est plus petite que le carré du troisième côté, qu'elle est plus grande s'il est obtus. La proposition sera ainsi prouvée par la méthode de Concordance, puis par celle de Différence. On saura qu'il en est ainsi, mais on ne saura pas pourquoi. Aucun mathématicien ne se contenterait d'une telle preuve. Un enfant qui, jouant avec un compas, trace la figure bien connue de la rosace à six branches, et remarque qu'il revient exactement au point de départ, prouve empiriquement, c'est-à-dire inductivement, que le côté de l'hexagone régulier inscrit est égal au rayon. C'est une preuve, ce n'est pas une démonstration.

Une théorie mathématique consiste à relier les unes aux autres, par des relations dont la nécessité est aperçue par F esprit, les diverses propriétés d'une même notion. Alors elles se déduisent toutes d'une seule propriété, qui en est la définition. Ainsi toutes les propriétés du triangle se déduisent de la définition du triangle ; non pas que la définition les contienne, et qu'on les en tire analytiquement (le raisonnement par lequel on les déduit a été nommé par les. anciens ^j^n/Aé^t^t^^), mais ces propriétés sont liées à celle de la définition de telle façon qu'on peut en apercevoir le lien nécessaire.

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Une définition, au sens le plus général, est une proposition qui exprime l'extension et la compréhension d'un concept. £lle doit convenir omni et soli deflnUo ; c'est donc une universelle affirmative susceptible de se convertir simplement, une ioUhtotale. En d'autres termes, c'est l'énoncé d'une propriété caractéristique.

Toute propriété caractéristique peut servir à définir. On oppose à la définition qui n'est que caractéristique (tô tSiov) la définition essentielle (tôt{ Iuti). Cette définition de l'essence a, pour Aristote et les scolastiques, une signification métaphy* sique. Elle contient quelque chose de plus que les qualités du défini, et nous fait pénétrer dans l'être intime des choses. Une telle pensée n'est plus à discuter aujourd'hui. Mais on peut conserver la distinction scolastique en la dépouillant de sa signification ontologique. Un même concept peut être défini de beaucoup de manières, par beaucoup de propriétés (ou ^sternes de propriétés) caractéristiques; mais toutes ces définitions n'ont pas la même valeur. Quelques-unes seront à peu près inutiles : on n'en pourra rien tirer ou presque rien ; d'autres seront plus ou moins fécondes : on en déduira d'autres propriétés, ayant une liaison nécessaire avec la première, qui en sera la raison démonstrative. On pourrait définir le triangle : un polygone dont la somme des angles est égale à deux angles droits ; mais on ne pourrait démontrer ni qu'un tel polygone est possible, ni combien il a de côtés et d'angles. Au contraire, de ce qu'un polygone a 3 côtés et 3 angles, on déduit que la somme de ses angles est égale à 2 angles droits. On pourrait définir le cercle : une ellipse dont l'excentricité est nulle, ou là surface maxima que puisse enfermer un périmètre .donné ; — le plan une surface dont la courbure est nulle. Mais il n'est pas évident, à priori, que de tels concepts soient possibles, et sans doute il serait fort difficile d'en dériver toutes les propriétés du cercle ou du plan.

Il y a donc des définitions qu'on peut appeler essentielles^ en ayant soin de n'attacher à ce mot aucun sens ontologique. Toutes les propriétés d'un même concept sont liées logiquement les unes aux autres, car si elles se répartissaient, par exemple, en deux groupes ou systèmes indépendants l'un de l'autre, elles ne formeraient pas un, mais deux concepts. De ces propriétés, les unes sont communes, les autres propres ou caractéristiques.

Parmi les propriétés caractéristiques, il en est une, ou quelques-unes, qui sont logiquement antérieures aux autres et peuvent servir à les démontrer. Je les appelle propriétés

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essentielles. Tout ce qu*oa sait du triangle se déduit plus ou moins directement de ce qu'il est limité par trois lignes droites. Tout ce qu'on sait du cercle découle de ce qu'il est une âgure plane et que ses rayons sont égaux.

Les vérités d'une même théorie présentent un ordre, font une chaîne (qui n'est pas nécessairement linéaire, ou plutôt unilinéaife : il y a des bifurcations dans les séries déductives), et les géomètres grecs ont distingué deux méthodes pour en suivre l'enchaînement : la synthèse va de la définition essentielle k des propriétés de plus en plus éloignées ; Vanalyse va des propriétés à la définition essentielle. La synthèse et l'analyse consistent à parcourir le même chemin, mais dans les deux sens : l'une montre qu'une certaine propriété se déduit de la définition, l'autre qu'elle s'y réduit.

On conçoit qu'on ne peut pas espérer tomber du premier coup sur la définition essentielle, et que les relations nécessaires ne peuvent apparaître qu'après la découverte de nombreuses relations constantes. Les démonstrations mathématiques n'ont été trouvées, leur enchaînement méthodique n'a été construit que dans un état relativement avancé de la science. En d'autres termes, les mathématiques ont dû être inductives avant d'être déductives.

2. — C'est précisément ce qu'établissent les recherches les plus récentes sur les origines de ces sciences.

La science pure est une création du génie grec, et en particulier de Pythagore. On lui attribue la distinction de la logis^ tique, art du calcul, et de Varithmétique, science abstraite desnombres. Le calcul est assurément beaucoup plus ancien que la science ; pour démontrer les théorèmes les plus élémentaires de l'arithmétique, il fallait dégager la notion abstraite de. nombre; on a sûrement compté des objets avant de faire de& opérations abstraites. Un grand progrès dans Pabstraction consista à compter sur ses doigts, puis avec des jetons ou des. cailloux : c'était en effet séparer la considération des nombresde celle des objets à nombrer.

L'art du calcul fut longtemps empirique ; nous savons, par une scolie sur le Charmide de Platon, qu'on a longtemps, enseigné côte à côte, pour la multiplication, deux méthodes i l'égyptienne et l'hellénique. L'hellénique fut sans doute aussi semblable à la nôtre qu'elle pouvait Têtre avec le système de numération écrite des Grecs. Ils avaient des signes spéciaux

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poar ions les ordres d'unités, n*ayaiki jamais eu cette idée si simple de représenter chaque ordre d'unités par le rang qu*occnpe chaque chiffre dans le nombre. Leurs opérations étaient à peu près semblables à celles que nous faisons quand nous avons affaire à des nombres composés, par exemple, de degrés, de minutes et de secondes, — de livres, de shillings et de pence. Mais cette méthode fondée sur la numération écrite des Grecs ne peut être antérieure à cette numération, c'est-à-dire au commencement de l'époque d'Alexandrie*

Quant à la méthode égyptienne \ elle effectuait directement la duplication, et avait recours à divers subterfuges pour quelques autres multiplications. Pour multiplier par 3, on ajoutait le multiplicande li son double; pour multiplier par 7 on ajoutait le multiplicande à son double, puis encore au double de cette somme. Le fait qu'on n'eut pas trouvé de procédés plus généraux et plus simples ne peut s'expliquer que par l'absence . complète de raisonnements théoriques.

Pour l'arithmétique, cette science des nombres, dont l'invention et le nom même, selon M. P. Tannery, appartiennent à Pythagore, elle semble bien, à l'origine, sinon empirique, du moins inductive, pour la plus grande part.

Laissons de côté les croyances et les pratiques superstitieuses qui se mêlèrent à l'arithmétique naissante, comme l'astrologie à l'astronomie. C'est par des essais que Pythagore semble avoir découvert les propriétés curieuses de certains nombres et de certaines séries de nombres. Ainsi il a trouvé que la somme des nombres impairs consécutifs est toujours un carré parfait. La somme des nombres entiers consécutifs el celle des nombres pairs ont aussi des propriétés générales. Aujourd'hui, nous les écririons ainsi :

i + 2 + 2 + ,.. + n =. iLlîLtlI