h... +2h znnin + i

C'est évidemment par une observation généralisée que les pythagoriciens avaient remarqué que ces nombres expriment, les premiers des triangles rectangles tels que Tun des côtés de l'angle droit dépasse l'autre d'une unité, d'où leur nom de nombres triangulaires; les seconds des carrés, d'où leur nom

(1) Voyez P. Tanner}'. Science Hellène, p. 61.

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28 CLASSmCATION DBS SOENCES

de nombres carrés; les troisièmes des rectangles dont un côté dépasse l'autre d*uoe unité ; ce sont les nombres hétéromèques. Ils distinguaient aussi des nombres par/'ails, déficients et abondants. Le nombre parfait est égal à la somme de ses diviseurs, par exemple

1+2+3=6 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28, etc.

le nombre déficient est plus petit, le nombre abondant est plus grand que la somme de ses diviseurs.. Ils ont appelé analogies ou médiétés des groupes de trois nombres tels que le rapport de deux différences formées avec eux soit égal au rapport de deux d*entre eux. Ces médiétés sont : Arithmétiques. Ex.

g— »ffl a m — 6 "" a

m est alors moyen arithmétique entre a tib.

Géométriques. Ex.

m est moyen géométrique entre a et 6.

Harmoniques. Ex.

Nous disons encore aujourd'hui, dans ce cas, que m est moyen harmonique entre a et 6. Par exemple 6, 8 et 12 sont des nombres harmoniques. Cette dénomination s'explique ainsi : si on donne à une corde de la lyre la longueur 12, les longueurs de la quinte et de l'octave seront les nombres entiers 8 et 6 '.

Il n'y a dans tout cela rien déplus qu'une sorte de classement des nombres d'après leurs propriétés les plus frappantes. Les lois des nombres ne sont encore que les fruits de l'observation.

3. — La géométrie est venue d'Egypte. A l'origine, elle se confondit avec l'arpentage et ne fut guère qu'un ensemble de procédés empiriques. Il est naturel que l'arpentage ait pris naissance dans cette terre d'Egypte, où les inondations du Nil effaçaient chaque année les limites des champs.

< Pour la combinaison des lignes avec démonstration,

(l) V. G. Milhaud. Leçons sur les ongines de la Science grecque. S* leçon.

t'iNDOCTION EN MATUâlATIQDES 29

personne ne m*a dépassé, disait Démocrite, pas même eu Egypte ceux qu'on appelle Harpédonaptes^ »• Les ^Âp^tSovdcxtai, ceux qui attachent le cordeau^ peuvent être identiGés avec ces personnages qu*on voit dans diverses peintures égyptiennes occupés à déterminer, au moyen d*un cordeau, Torientation des temples et des tombeaux. Ils traçaient la méridienne au moyen du gnomon, puis la perpendiculaire à cette méridienne. C'est précisément dans Tart de tracer cette perpendiculaire que réside leur savoir géométrique. Ils se servaient pour cela, selon M. Cantor, de cette propriété des nombres 3, 4 et 8, d'être les côtés d*un triangle rectangle.

Si le cordeau est divisé par un nœud en deux segments, Tun de S coudées, Tautre de 3, et si les deux piquets sont placés sur la méridienne à une distance de 4 coudées, le cordeau une fois tendu dessinera avec la méridienne un triangle rectangle et la perpendiculaire sera tracée. Cette opération importante est une cérémonie, le roi y prend part, une déesse y préside^.

OV il est inadmissible que cette propriété des nombres 3, 4, et 5 résulte d'une démonstration théorique, car cette démonstration se fut appliquée aussi à d^autres groupes de trois: nombres qui peuvent être les côtés d'un triangle rectangle. C'est un fait d'expérience, connu d'ailleurs des Hindous et des Chinois à une époque très reculée.

Quand la géométrie se constitue comme science théorique, Fart de l'arpentage se conserve à côté d'elle, sous le nom de géodésie, comme la logistique à côté de l'arithmétique. Le savoir empirique des Harpédonaptes se transmet des Egyptiens aux Grecs, puis sans doute aux agrimensores latins. Leurs procédés d'ailleurs sont souvent des approximations, ou même des règles inexactes ; ainsi ils mesuraient un quadrilatère par le produit des demi-sommes des côtés opposés (papyrus de Rhind), procédé qui n'est juste que pour le cas du rectangle*.

Chez les Egyptiens, dit M. P. Tannery, « la géométrie ne s'est guère élevée au-dessus des simples approximations pratiques qui lui ont donné son nom. Quand nous parlons de cette science, nous sommes habitués à la considérer comme un ensemble* de théorèmes spéculatifs rigoureusement déduits d'un très petit nombre d'axiomes. Mais elle n'est devenue telle

(i) Clem. Alex. Strom., L

(2) Cantor. Vorlesungen, — G. Milhaud, /. c, p. 102,

(3) P. TanBery. Se, helL, HI, ^.

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30 CLASSmCATIOir DES SCIENCES

que pea à peu et sans doute assez lentement. A cette époque, il n'y avait qu*un recueil de procédés assez mal liés entre eux, servant à la solution des problèmes de la vie usuelle, et dont la démonstration, quand elle se faisait, prenait son appui sur des lemmeSf alors regardés comme évidents, mais rigoureusement prouvés bien plus tard, quand ils n'ont pas été éliminés comme entachés d'erreur >.

Eudème, dans Proclus, attribue à Thaïes la connaissance de plusieurs propositions élémentaires :

Les angles à la base d'un triangle isocèle sont égaux ;

Les angles opposés par le sommet sont égaux ;

Le diamètre divise le cercle en deux parties égales ;

Deux triangles sont égaux quand ils ont un angle égal compris entre deux côtés égaux.

Mais Eudème, dit Proclus, attribue ces connaissances à Thaïes parce que < Thaïes devait nécessairement s'en servir d'après la manière dont on rapporte qu'il déterminait la distance des vaisseaux en mer >. Il n'en résulte pas que Thaïes sût démontrer ces propositions élémentaires, ni même qu'il les ait formulées. Proclus dit lui-même de l'égalité des angles opposés par le sommet, que c Thaïes l'a découverte, mais qu'Euclide l'a démontrée >.M. Tannery a fait voir que son procédé fut sans doute empirique, et ne suppose rien de tel que ce que nous appelons un théorème ^ « La tradition, dit M. Tannery, ne reconnaît pas de démonstrations théoriques avant Pythagore, et, à cet égard, elle doit être tenue pour vraie. »

Mais Pythagore en a trouvé. < Pythagore, dit Eudème dans Proclus, transforma Tétude de la géométrie et en fit un enseignement libéral, car il remonta aux principes supérieurs et rechercha les problèmes abstraitement et par l'intelligence pure. »

Nous savons, notamment, qu'il a démontré qu'il n'y a pas de commune mesure entre la diagonale et le côté du carré, et le théorème du carré de l'hypoténuse.

M. Tannery a pu établir qu'il faut faire remonter, sinon à Pythagore, du moins aux pythagoriciens une partie fort considérable des Éléments d'Euclide. Plusieurs historiens des mathématiques, et, parmi eux, MM. Cantor et J. Tannery, ont cherché comment ils avaient pu être amenés à leurs démonstrations.

(1) Se, helL, p. 64 ; — Géométrie grecque* — Cf. G. Milhaud, l. e., p. 287.

L^INDUCTION EN KATBÉIIATIOUBS . 8i

Ils ne supposent point que ce soit autrement que par des essais et des inductions. On connaissait la propriété des nombres 3, 4 et 5 d'être les côtés d'un triangle rectangle. Lès tables des carrés, qui étaient usitées déjà chez les Egyptiens, . mettaient en évidence une autre propriété de ces mêmes nombres, à savoir que le carré du troisième est égal à la somme des carrés des deux autres. Par analogie avec ses autres recherches sur les séries numériques, il est raisonnable de penser que Pythagore chercha d'autres groupes de trois nombres jouissant de la même propriété, et comme le nombre a toujours pour lui une signiûcation géométrique (Tannery, Milhaud), il fut naturellement amené à constater que ces nombres sont aussi les côtés d'un triangle rectangle. Ainsi se trouvait prouvé par induction que les deux propriétés sont constamment associées. Comment démontra-t-il qu'elles le sont nécessairement? Nous l'ignorons. D'après Proclus, sa démonstration n'était pas celle d'Euclide.

M. Cantor a cherché à reconstituer sa démonstration de l'irrationnelle ^J, la seule qu'il ait découverte, car Platon attribue les suivantes à Théodore de Cyrène. Etant donné le théorème du carré de l'hypoténuse, il suffisait de chercher la diagonale du carré dont le côté est 1 pour poser le problème de la racine carrée de 2. Sans doute il essaya des nombres fractionnaires compris entre i et 3, et n'en trouvant pas dont le carré fût 2, il eut l'idée qu'il n'y en avait aucun. Arrivé par induction à ce résultat, il en chercha la démonstration, et nous savons par Aristote que son raisonnement consistait à montrer que le nombre cherché, s'il existait, serait à la fois pair et impair.

Platon recueillit l'héritage scientifique des Pythagoriciens et le grossit considérablement. Pappus lui attribue l'invention d'une méthode de raisonnement, V Analyse. C'est, remarquons-le, une méthode de recherche ; elle consiste à réduire un problème à un autre. Si le problème posé ne peut être résolu directement, on montre que, pour le résoudre, il faudrait résoudre d'abord un second problème, que celui-ci en fait naître un troisième, et ainsi de suite. On peut arriver ainsi à quelque chose de connu. < La démonstration, dit Pappus, se fait en sens inverse de Tanalyse. » L'analyse a donc pour but la recherche des démonstrations, c'est-à-dire des cas privilégiés ^ et des définitions essentielles. Les Platoniciens créèrent

(4) Voir plus loin, p. 59.

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32' CLASSIFICATION DBS SUENGES

ainsi une géométrie dite transcendante. Par cette méthode, ils s'efforcèrent de réduire d'importants et difficiles problèmes — ceux des deux moyennes proportionnelles, de la ti*isection de l'angle, du tracé et de la mesure des sections coniques — à d'autres qu'ils savaient résoudre, probablement par des méthodes empiriques, par des constructions graphiques dont ils ne pouvaient pas toujours rendre compte. Pour certaines propositions qu'on ne peut pas démontrer, dira encore, bien des siècles plus tard, Descartes, c l'induction doit suffire^ >, il veut parler de cette propriété du cercle et de la sphère d'être des maxima parmi les surfaces isopérimètres et les solides de même surface, propositions découvertes, dit-on, par Pythagore, et démontrées seulement à la fin du xviii* siècle.

Euclide, dit Proclus' c rassembla les éléments, mit en ordre beaucoup de choses trouvées par Eudoxe, perfectionna ce qui avait été commencé par Théétète et démontra plus rigoureusement ce qui avait encore été démontré trop mollement avant lui >. Le rôle d'Euclide semble avoir été surtout d'organiser la science, d'établir Tordre et l'enchainement des propositions en séries déductives, commençant par les définitions essentielles. Ses Eléments^ dont le titre même est significatif, abolissent presque tous les travaux antérieurs, qui étaient des tâtonnements. On lui attribue la démonstration par Yabsurde. Or cette démonstration sert à établir des propositions si fondamentales que la géométrie transcendante des platoniciens la suppose nécessairement. Elles étaient acceptées, sans doute, à titre de lemmes, sur des preuves empiriques, ou même intuitivement, sans être seulement formulées.

On trouverait en abondance, dans les mathématiques modernes, des propositions formulées et admises longtemps avant qu'on pût les démontrer, mais il serait superflu de multiplier ces exemples. On peut citer entre mille autres, celui-ci : Galilée prouva expérimentalement, en pesant deux lames de même matière et de même épaisseur, que l'aire de la cycloîde est triple de celle du cercle générateur. Pascal et Wallis le démontrèrent déductivement .

Il est donc établi que nombre de propositions mathématiques sont prouvées par induction avant d'être démontrées. Des

(1) Sur le rôle de rindaction ou énumération suffisante en mathémaliques, voir Descartes. Règles pour la direction de Vespnt, Cousin, p. 235 et suiv.

(2) Comm. du !•' liv. d'Euclide, II, 4.

L*INDUGTION EN MATHÉMAnOUBS 33

relations constantes sont découvertes avant que Ton ait trouvé . .

la chaîne de propositions qui en révèle la nécessité. Mais Tes- [ ; j

prit ne saurait se déclarer satisfait tant qu'il ignore les liaisons nécessaires qui expliquent pourquoi ces relations sont cons* tantes.

4. — Ceci nous permet de comprendre ce que c'est qu'un postulat et pourquoi il y en a. Ces réductions aux définitions ■■' . essentielles ne se font pas toujours complètement. Toutes le^ propriétés d'une même chose ont assurément une connexion nécessaire, mais cette nécessité peut n'être pas aperçue. Il arrive qu'on n'ait pas trouvé les chaînons intermédiaires, et il n'est pas certain à priori qu'on puisse toujours les trouver. On a alors des propriétés qui coexistent, qui sont bien des propriétés d'une même chose, — on a des raisons inductives de ^ le penser, — mais qui ne se déduisent pas les unes des autres* Les postulats sont des résidus.

5. — Si la forme déductive des mathématiques n'est pas primitive, mais acquise, n'est-il pas naturel de faire cette hypothèse, que les sciences de la nature sont pareillement destinées à devenir déductives. Elles sont toutes en travail d'accroissement et de progrès ; aucune n'a reçu encore, même dans ses parties élémentaires, sa constitution définitive. Toutes se développent doublement : d'une part, elles s'enrichissent par l'acquisition incessante de connaissances nouvelles; en même temps, elles sont constamment remaniées dans leur organisalion intérieure, prenant des formes de plus en plus systématiques et intelligibles. Cette transformation, nous la suivons dans leur développement historique, nous la voyons se conti- . Quer sous nos yeux, nous la trouvons encore dans les finç que poursuivent instinctivement tous les chercheurs. Au terme de cette évolution, la physique, la chimie, la physiologie, la sociologie même seront aussi idéales, aussi abstraites, aussi déductives, que notre géométrie et notre algèbre ; et, si nous y regardons de près, nous allons voir, sinon la distinction s'etîacer, du moins la continuité se rétablir entre les deux embranchements, et reparaître l'unité essentielle de la science.

GUBLCT. 3

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