CHAPITRE II. — INTMVALLU BK (INITIAS :.«.r. l

428. Cos trois unités S, u.x, en fonction desquelles nous venons de forniuler les diverses secondes, suffisent aussi à l'expression de toutes les notes et de tous les intervalles des gammes ternaires (*), non seulement lorsqu'on ne change pas de gamme, mais même lorsqu'on module, soit par l'un des quatre procédés étudiés plus haut (n°* 1-13 et suiv.), soit par tout autre. Pour s'en assurer, il suffit de vérifier si un nombre musical susceptible d'dtre représenté par une formule telle que

(où a, b, c sont entiers, positifs ou négatifs) peut aussi être exprimé par un monôme tel que

L'identification de ces deux formules supposerait

.^lA -M-*C. 3 -A- B+ir, ;-*+«-€= ^0,3*. Je

c'est-à-dire soit en définitive

4A — 3B — 4C = fl, — A— B-h4C = û,

Or, il suffit de considérer le déterminant de ces équations pour voir qu'il n'est pas nul, en sorte que l'identiflcatiou doit toujours fournir pour A, B et C des valeurs finies et déterminées; ces valeurs sont en effet :

d'où il suit que (')

= 7n-Hui-(-i6c, = 5a-H 8A + I2C, = 3n-i- 5* -H ;c.

( ' ) Cetio propositiog, qui va eirn ddmonlrda algébriquameiit, peut rigalaiDont dlm prouvéo par un raisonnEmonl ^lioniétriquo ; un raisonnomi^nt musical permet aussi do pressentir son oxaclitucle.

BaUonnemenl géométrique. — Dans lo roseau do la figure 3i (n* 46), les divers nombres musicaux peuront vire couiidërôs comme roprëseiilùs par dos veetours fonctions de trais uaiti^recteim non i^apUnairos, lesquelles corrospondont rospocliveincnt aux nombres pramion i, 3 et 5. Pour exprimer ces mtmes nomlirps masicaux en tenvlians df trois nonrelles unitës-rwteurs i, u, x, il convient d'ex A:a ter an chuigonient J'axcs conrdonnés, lequel ast tonjours possible si les nouvelles iinitës choisies no sont pas coplanairas; or il kuIHI do roprésenlcr approiimati veinent, sur la ligure pi^itëe, les trois vecleuni ^, u, le, penr rocouaailro qu'ils ne sont corlaiavmcal pas dans un mâme plan.

Raisonnement musical. — Toutes loi secondes pouvant Aire exprimées en fonction do s, u, X, il en est de mâuie do loules les notes et de tous les iolen'alles d'une gamme quelconque, puisque leurs valeurs peuvent s'obtenir par une superposition de secondes; il eu est encJire de mâme pour toutes les notes auxquelles on peut accMer en modulant par homotenio, connexion.' voisinage ou itquiarmnre : nous avons vu en effet que les notes introduites par cos quatriespèces de modulations peuvent s'exprimer aa moyen dos inliirvalles, x, I, H ol leurs inverses, lesquels sont eux-mflraes dos fonctions des unités s, H, X.

(') Si dans cette formule on donne soccessivoment la valeur i à chacun dos paramètres a, ft, c et la l'aleur O aux doux autres, on on conclut :

( t — i-.i^ .ar".

a doniiètuu

>ur cos formulos cos faits bien connus des nasiciens, savoir que IWtnvc (- ~ ocisroj, la d

e DU quinte oclaviéej, et la dix-septième I - —. dix-septième ou tierce majeura doublomont uctaviëel,

s que le nombro ëvoqud par leur nom) pniiqu'iU ii -après (n* 427) le caractère du dogi'd.

s86 BEtTlèMB PAHTIK. — INTERVALLES.

Eu définitive, un nombre music»! quelconque peut toujours être exprimé d'uae certaine manière et d'une seule par des formules telles que

OU que

dans lesquelles a, b, c et A, B, G sont Aes entiers positifs ou négatifs.

424. De ce que nous avons vu plus haut (f'Patli^y.Consonitance), il résulte qu'une note quelconque définie par la formule

logN = alog» -^ilogS -i-clog5

peut être représentée par trois coordonnées a, b, c, ou par un vecteur uui({ue exprimé au moyen de trois unités-vecteurs loga, logS, logS,

De ce que nous venons de voir, i! résulte qu'une noie quelconque pourra ajissi être définie par une formule

logN = Alogs-h Blogu-f-Clog^,

et représentée par trois cordonnées A, B, C, ou par un vecteur unique eiiprimé au moyen de ti-ois unités-vecteurs logs, log», log^ (')■

425. Le lecteur qui connaît à la fois la musique et la géométrie vectorielle trouvera fiéqueinment intérêt à se représenter géométriquement les faits étudiés dans le présent Essai; interprétés ainsi (*), ces faits se conçoivent souvent plus simplement; leurs lois apparaissent parfois d'une façon intuitive. Kt, par contre, quand on part de faits musicaux connus, l'interprétation géométrique de ces faits conduit à des propositions applicables à la théorie des nombres.

11 n'y a évidemment pas lieu d'insister ici sur ce genre de considérations ; toutefois nous allons, à titre d'exemple, les utiliser pour montrer le rêle des commaa en musique, et pour faire voir ce qui caractérise le degré tel qu'on le conçoit habituellement.

I ' ) Les nombres, en musique, peuvent donc dtre aÎDsi repr^BBiiIct Br dei coordonnâcB ou III i> me qu'en géamiïtrie imaginairs une expression do la fonno A-I-Bi'' — i «u(GI à définir le point du plan dont les coordonnëes sunl A et B, el de mflme aussi qu'en gëomëtrio roetnriolle, nntaraiODDt dans la Théorie de» quaterniom An llamilton (Traduction do Tail, Oaulhier-Villars, iSSi). le vecleur

p = A(-l-By+CA-

(où 1, j, k lont les unités-voctours non ïnplanaires, et A, B, C dos cocrficiaDU an solnrs) suffit à dvlonuinor la piitition d'un point quelconque do l'ospat'c. Mus on observera que, dans la théorie géni!ralD de Htmilton, los scalars siinl dos nombres abstraits i|Uelconquos, positifs ou négatifs, entiers ou fractionnaires, rrfels ou imaginaires, Undis qu'ici la nature des choses nu foninil uux sfalars que dos valeurs réelles et entières, positives ou négatives.

(') A titre d'exemples, signalons ici quelques interprétations :

Etant données deul notes représeutéos par des vecteurs, leur géniteur n'est aulro chose que leur origine commune ; leur médiaire est le vecteur formaDl médiane dans le triangle qu'ils déterminent. Etant donné un thème musical quelconque, les vecteurs dos notes dessinent par leurs extrémités une certaine ligne polygonale; dans la transposition du thème, la ligne polygonalo reste îdontique à elle-même et se (raosporto seulement d'un mnnvomonl parellèto; dans l'inversion, au contraire, la ligne est remplacée par sa symélriijuoi en elTel, si le pivot do llnvemion est le géniteur, lent vecteur s'échange en son conjugué, ee qui fournit une ligne polygonnle symétrique (par rapporta l'origine) de la li^c polygonalo correspondant au thêuio donné. Si l'on change de pivot, il y a transpoiiltan do l'inversion, c'cst-i-din déplacement parallèle do la ligne ayinétriquo (iMteé4eaunent ol>tenue : il est évident que les întan'alles succosaiti de l'inveninn sont égaux à ceux du thème, mais de MM liverse etc., etc.

CIIAPITHB II. -> INTKRVXLLBS KN IINITBS s

BÔLE I

426. Nous avons déjà dît un mot (d** ^12) de l'efTet obtenu, tant en arithmétique qu'en musique, en négligeant un comma. Nous pouvons maintenant préciser le rôle des commas, et montrer en quoi ces très petits intervalles ressemblent & l'unisson (ou h l'unité) et en quoi ils en diffèrent.

Pratiquement, l'unisson et le comma sont presque égau.^, puisqu'ils correspondent respectivement à un intervalle nul ou presque nul; cependant; dans les représentations géométriques dont nous avons fait usage, l'unisson aurait toujours correspondu à un vecteur nul, tandis que nous avons trouvé des commas correspondant ù des vecteurs considérables (').

Mais, si l'on considère l'unisson et le comma, non comme vecteurs mais comme quaternions, leur comparaison peut se faire avec justesse, et le r6le du comma est mis en évidence. Soient N et N' les N de deux notes formant unisson ou comma ; considérons le quaternion représentant l'intervalle -rr de ces deux notes. Dans le cas de l'unisson, le quaterniOD a pour tenseur l'unité et pour verseur zéro; dans le cas du comma, le quaternion a un tenseur presque égal à l'unité, mais son verseur peut être très différent de iéro. C'est donc par leurs tenseurs que l'unisson et le comma se ressemblent, et par leurs verseurs qu'ils diffèrent; en définitive, le comma agit principalement comme Verseur.

427. Le degré est l'unité le plus fréquemment employée parles musiciens pour compter les intervalles; c'est en degrés seulement que ceux-ci apparaissent sur la portée; or la valeur de cette unité est loin d'être fixe, puisque, selon le cas, elle varie du simple au triple (de i gété à 3 gétés).

Dans la pratique ordinaire des choses, un calcul fait en fonction d'une unité aussi variable serait dépourvu de toute signification. Ainsi un propriétaire qui évaluerait sa récolte de blé en additionnant les nombres de sacs engrangés dans chaque domaine, ne saurait se faire une idée précise de la quantité de grain recollé si, dans ses domaines, le poids du sac pouvait varier du simple au triple.

Néanmoins, en musique, la variabilité de l'unité employée est sans inconvénient ; la cause de ce fait bien connu des musiciens correspond, en système s.u.x, aux particularités suivantes :

Représentons en coordonnées s.u.x les notes de la gamme de do dont les intervalles conjoints ont les valeurs suivantes :

tlo râ- mi fil sol lu si do

S 9 li 8 a 8 li

D'après le Tableau du n" <*^% les formules de ces secondes, en système s.u.x, sont respectivement :

tlo ré mi fa sol ta xi efo

Donc, si pour représenter la note do nous adoptons l'origine o des trois axes coordonnés oziix (voir /(]§■. 274), le II" degré de la gamme, ijuifait avec do l'intervalle zu-r, sera représenté par le point ré situé à un élément a, à un élément w et à un élément a: du point (/o; de même, le 111" degré de la gamme, quifaitaveclell'rinlervalle su, sera repré-

(') Cu qui vuractérise \r* vocluilrs du conimiu, c'vsl i|u*il!< sont Irès |iou inclînéa sur les {ilans il'v[{uival(iiico.

a88 BBPTIÉIIB PAITIB. — INTERVALLES.

sente par le point mi, situé à un élément ;( et à un élémeot u du point ré, etc. En sorte que les degrés successifs de la gamme seront représentes par des points ayant des u et des :c assez divers, mais dont tes s varieront régulièrement à raison de i élément s pour une différence de ■ degré.

Fig. 2Ti.

do ai •a

Si, partant du ton précédent, nous modulons par homotonie, les valeurs de certaines des trois médiantes d'échelle (ou de toutes trois) seront diminuées d'un élément u, maifi les autres éléments, et notamment les s, resteront sans changement.

Il en sera de même si nous modulons par connexion, ou par voisinage, ou par équiarmure, car ces modulations s'exécutent, comme on l'a vu, en composant les notes du ton de do avec des intervalles tels que Q, s, ou x, dans la constitution desquels il n'entre que des éléments u et ^, à l'exclusion de l'élément s.

Il suit de U que le nombre de iacteurs - entrant dans la composition d'une note porte pour ainsi dire caractère, ce caractère suivant la note dans les divers tons où elle pourra âtre introduite à l'aide d'accidents convenables.

428. Ceci posé, reportons-nous à la figure 27^. On a tracé sur le prolongement de gauche du plan zou { * } une portée de cinq lignes armée de la clef de toi. L'espacement des lignes a été réglé de façon qu'entre une ligne et l'interligne voisin, la distance soit égale à la valeur de s = 1 ; enfin la portée a été tracée à une hauteur telle que la ligne sol coïncide avec l'intei-section des plans j = o et j = sol.

Il suit de là que les cinq lignes de la portée, ainsi que les lignes supplémentaires et les interlignes, correspondent précisément aux traces sur le plan sou des divers plans s contenant les notes de la gamme; les lignes mi, sol, si, ré, fa, par exemple, coïncident avec les traces des plans mi, sol, si, ré, /a respectivement. Donc, si la portée ne renseigne pas sur la valeur vraie des intervalles -jt =3*.«'.a:<^, elle indique au moins la valeur de ces intervalles en ce qui concerne l'élément s; ainsi, quand on voit sur la portée que l'intervalle do/a vaut trois degrés, on peut en conclure que la formule de

(' ) Un a cliaisi 1c plan tiicn adoplcr 1v plan sox.

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