CHAPITRE II. — INTERVALLES EN UNITES Z.II.I. Mg

cet intervalle est de degré 3 en =. Il va de soi que cette indication suffit à définir les notes, puisque, au moins en musique diatonique, il n'y a qu'une note par degré; il n'en serait pas de même en musique chromatique où le degré peut se présenter sous fonne de deux notes difTérentes; mais on sait que, dans ce cas, le musicien écrit sur la portée le facteur (dièse, bémol ou bécarre) qu'on doit composer avec la note précédemment employée pour obtenir la note accidentée.

429- Nous avons vu plus haut (Kn harmonie, a" 325) qu'il existe aussi des modulations s'exécutant par gétopbonie; ainsi l'accord réfalado=^t"it du ton de do et l'accord réfalado — (T( du ton de/n diffèrent l'un de l'autre en ce que le ré du ton de do est d'un comma x plus haut que celui du ton de fa ; néanmoins il est facile d'utiliser cet accoi-d pour moduler de do à fa en négligeant la petite différence existant entre les deux ré. Dans ce cas, la modulation par gétophonie ne donne lieu & aucune remarque spéciale, et les choses se passent (au moins en ce qui concerne le facteur .s) comme quand la modulation est fondée sur l'amphitonie rigoureuse d'un accord.

4S0. Il n'en va plus de même quand le comma négligé contient dans son expression un facteur a. Ainsi nous avons vu plus haut (n"411) que, dans la modulation de do à fan par la gétophonie des accords si ré fa et si ré mij!, il se produit pour ainsi dire un escamotage d'un degré, la quinte si/a s'êchangeant en la quarte si mif.

Il est facile de s'expliquer cet effet et de reconnaître que quand, à une note A, on substitue une note B différant de la première par un comma -j- dans la composition duquel il entre un factem- s, 11 doit y avoir apparition ou disparition d'un degré.

En effet, si le comma j contient un facteur s, c'est que son vecteur représentatif AB a ses extrémités dans denx plans s différents; donc les plans s où aboutissent les extrémités des vecteurs OA, OB, représentatifs des notes A et B, sont distincts; dès lors ils n'ont pas la même trace sur le plan zou et, par suite, les notes qu'ils contiennent ne peuvent pas s'inscrire sur la môme ligne (ou sur le même interligne) de la portée.

ARTICLE II. — Logarlthmea aconatiqnes-

431. Les intervalles musicaux se présentent sous forme de nombres fractionnaires; ajouter ou retrancher deux intervalles musicaux se fait en multipliant ou divisant les fractions représentatives; à ces opérations il est équivalent et plus commode de substituer l'addition et la soustraction des logarithmes correspondants; il e^l donc naturel que, dans les calculs d'acoustique, les physiciens emploient souvent, au lieu des nombres fractionnaires représentant les intervalles, les logarithmes de ces nombres; d'ailleurs, en opérant

lyo SBPTIBIiE PAQTIE. ~ INTEHVALLBS.

ainsi, ils ne font, pour ainsi dire, qu'imiter les miisicieos : ceux-ci, en effet, estiment habituellement les intervalles en demi-tons moyens de la gamme tempérée, c'est-à-dire eo grades tempérés ou gétôs. Poui- voir l'analogie entre ces deux façons de considérer les intervalles, supposons que toutes les touches d'un instrument à clavier aient été numé-

rotées à partir de l'une quelconque d'entre elles marquée zéro, ainsi que l'indique la figure ci-dessus. Si l'on rapporte les hauteurs des diverses notes à celle de la note zéro, c'està-dire si l'on représente la hauteur de chaque note pai' le nombre N des vibrations qu'elle exécute pendant que la note zéro en fait une, les numéros d'ordre marqués sur les touches seront précisément les logarithmes des N des notes correspondantes, ces logarithmes étant pris dans le système à base '(/â. On voit qu'à ce point de vue, un clavier peut être considéré comme une véritable règle à calculs, et, quand le musicien reconnaît que de telle à telle notfe de la gamme tempérée il existe par exemple un intervalle de 3 gétés, le physicien doit trouver qu'en logarithmes à base '\/ï, l'intervalle de ces mômes notes s'exprime également par le nombre 3.

4S2. On appelle généralement logarithmes acoustiques les logarithmes vulgaires des dilTérents intervalles de la gamme; ainsi on dira que 0,1760913, valeur approchée du logarithme de - dans le système à base 10, est le logarithme acoustique représentant l'intervalle de quinte. On sait que, théoriquement, celte façon de parler ne peut âtre rigoureuse, puisque log ~ , étant incommensurable, ne saurait être exprimé exactement à l'aide d'un nombre limité de chiffres.

433. 11 est facile d'éviter l'emploi des longues parties décimales tout en obtenant la précision maxima (c'est-à-dire une précùion absolue ou une approximation poussée aussi loin qu'on le désire, selon que le problème posé admet une solution commensurable ou i ncommensurable ) .

11 suffit, pour cela, de considérer les intervalles musicaux, soit dans l'espace, comme les vecleurs dont il a été parlé plus haut, soit dans le calcul, comme sommes des composantes desdits vecteurs : ils apparaissent alors comme fonctions des paramètres -, «, ~c, et l'on peut dire qu'ils sont ainsi exprimés en unités z.u.j:.

Avant de montrer sur des exemples les facilités que peut procurer cette façon de procéder, indiquons d'abord les formules en unités z.u..r des principaux intervalles musicaux.

434. Le Tableau suivant présente les valeurs des dix notes existant dans les huit gammes ternaires fondées sur rf» — 1, ainsi que les valeurs des intervalles entre notes

conjointes ('). Les formules de hi colonne 4 ont déjà été trouvées plus haut (n' V22);

( ' } La s ignifi cation des chlffrvg

vGoosle