CHAPITRE [11. — UAMHES TklGBNI
valoir un grade (unisson augmenté) de deux façons; exemple :
De /ai, à la = '^ =s»u'j^,
De rrfpà ré = — j7 = z'u'x*.
Nous avions déjà rencontré ces deux intervalles, savoir : le petit bémol, en modulant par homotonie, et le grand, en modulant par voisinage : mais ils n'existaient pas dans les gammes ternaires; ils peuvent au contraire se rencontrer dans le genre chromatique.
Valeurs de onze grades. — Le renversement des intervalles précédents produit les octaves diminuées, valant onze grades. Exemples :
D«/nà/ai. = ^ =^^u'-x*.
De /■('à r^p= ^— «""'i^*-
Valeurs de deux grades. — Les deux tierces mineures d'échelle conjointes à la tierce de raccordement {si ré el /a lay) peuvent 6tre diminuées et ne plus valoir que deux
Kg. agg.
P^b lab rntfc ai
^ \Jo \
EN
■ (Di ai
grades. Exemple :
Dew"èr^p= ^rr = *'""■•
Valeurs de dix grades. — Le renversement des tierces précédentes donne deux sixtes majeures augmentées. Exemple :
Do la', A fan = ~ = 3'«':c«.
Valeurs de trois grades. — La tierce majeure peut ôlre diminuée et ne plus valoir que
Kig. !>99p*<0 !■!■ mib «i>
BOl
trois grades. E.'iemple :
338 HtmÂMB PARTIB. — (iAMI
Cette valeur n'est pas nouvelle puisque c'est celle de la tierce de raccordement ré fa; ce qui est nouveau, c'est la façon d'obtenir cette valeur par altération de l'une des deux tierces majeures conjointes à la tierce de raccordement (»'[? ré ou fa la).
Pâleurs de neuf grades. — Le renversement de ces deux tierces majeures diminuées fournit deux sixtes mineures augmentées. Exemple :
Valeurs de quatre grades. — La tierce de raccordement (tierce mineure) peut être aug-
Fig. 3oo.
ml s ftQ mentée et atteindre la valeur de quatre grades. Exemple : Dereà/on = ^ = =*u'xf.
Cette valeur n'est pas nouvelle, puisque c'est celle de la tierce majeure ; ce qui est nouveau, c'est la laçon de l'obtenir ea altérant la base ou le sommet de la tierce de raccordement.
Valeurs de huit grades. — Par renversement, les deux tierces mineures augmentées qui précèdent fournissent deux sixtes majeures diminuées, ayant même valeur que les sixte» mineures habituelles. Exemple :
Valeurs de cinq grades. — La tierce de raccordement peut être bisaugmentée (augmentée deux fois) par l'emploi simultané des deux altérations ci-dessus indiquées; elle
atteint alors la valeur de cinq grades :
— G AH MES thigknes. 339
Valeurs de sept grades. — Le renversement de la tierce mineure blsaugmentée fournit la sixte majeure bidiminuée (diminuée deux fois) :
588. En résumé, l'unisson et l'octave ne sont pas toujours naturels comme en lonalilô ternaire; en tonalité chromatique, ils peuvent être augmentés ou diminués. I^a tierce et la sixte sont également susceptibles de prendre des valeurs plus nombreuses, savoir : a, 3, 4 et 5 grades pour la tierce, el 10, 9, 8 et 7 grades pour la sixte. Mais la seconde et la septième, d'une part, la quarte et la quinte, d'autre part, ont ici les mêmes valeurs qu'en tonalité ternaire.
ARTICLE III. — SepUlni dlaWniqnei.
534. Il résulte do ce qui précède (n"" 525 et 526) que les expressions sepiains diatoniques 6i gammes diatoniques sont équivalentes, les gammes diatoniques ne pouvant avoir que sept sous.
Pour dénombrer les diverses gammes diatoniques pouvant être fondées sur une même tonique do, nous partirons de la plus simple d'entre elles :
do rê mi fn sol la si
et nous modiâerons de toutes les façons possibles les cinq degrés susceptibles de se présenter sous deux formes différentes.
On a vu que les notes si, mi, la peuvent être, soit telles que dans la gamme précédente, soit affectées de l'accident [7= —■ Les combinaisons que l'on peut obtenir en affectant d'un t> telle ou telle des trois notes si, mi, la, sont au nombre de huit, et nous savons que ces huit gammes sont précisément celles auxquelles nous avons donné antérieurement le nom de gammes ternaires, parce qu'elles peuvent s'obtenir en combinant entre elles les trois échelles /a, do et sol prises avec des modes variés de toutes les façons possibles. On trouve donc, parmi les gammes diatoniques fondées sur la note do, un premier groupe de huit gammes qui sont les gammes ternaires de do. On formera un second groupe de huit gammes en affectant de l'accident p le II' degré de chaque gamme ternaire. On formera un troisième groupe de huit gammes en affectant de l'accident U le IV' degré de chaque gamme tertiaire. Enfin on formera un quatrième et dernier groupe de huit gammes en affectant respectivement des accidents p et c les degrés II et IV des gammes ternaires.
585. Les gammes diatoniques sont donc au nombre de trente-deux; les huit premières ont déjà reçu des noms particuliers, résultant de leur classement en deux modes et quatre genres. Pour que cette terminologie permette de désigner les trente-deux gammes diatoniques, il sufBl de la compléter par quatre noms d'espèces correspondant respectivement aux quatre groupes de huit gammes que nous venons de considérer. Nous distinguerons donc ces gammes en naturelles, primaltérées, sécaltèrées et bisallérées : les gammes naturelles seront les gammes ternaires elles-mêmes, telles que les fournit la combinaison de trois échelles; les gammes primaltérées ou sécaltèrées seront les gamines ternaires modifiées respectivement par la première ou par la seconde des altérations ci-dessus envisagées (r^p ou /a H); enfin les gammes bisaltérées seront celles qui présentent l'une et l'autre de ces altérations (altérées deux fois).
Le Tableau suivant réunit ces trente-deux gammes :
BUITlànE PARTIS.
Gammet diatontquet de do.
naturel.
primai lé ré
sécalléré
bisaltéré
naturel
primaltéré
sécaltdré
bisaltéré
naturel
primallfré
sécaltérâ
bisaltéré
naturel
primai lé rô
sécaltéré
bisaltéré
naturel
primaltéré
sécaltéré
bisaltéré
naturel
primaltéré
sécalléré
bisaltéré
naturel
primaltéré
sécaltéré
bisaltéré
naturel
primaltéré
sécaltéré
bisaltéré
loi
la si
toi
la si
fan
toi
la si
sol
la si
fa
sol
la}, si
sol
la^ si
fan
sol
la, si
lai, ,i
sol
la; si;
sol
la), si;
fan
sol
la; si;
fan
sol
la; si;
sol
la si;
sol
la si;
fan
toi
la ti;
sol
la si;
sol
la; si.
fa
toi
la; si;
fan
toi
la» si;
fan
toi
la» si;
fa
tôt
la; si
.fc
fol
la; si
la; si
fan
sol
la; si
fa
sol
la li
sol
la si
fan
toi
la si
fan
sol
la si
fa
toi
la si;
fa
sol
la si;
sol
la si;
fan
sol
la si.
586. Les iadications fournies par le Tableau qui précède peuvent être résumées ainsi : Les trente-deux gammes diatoniques fondées sur une même tonique do (') possèdent immuablement, non seulement cette note do, mais aussi sa quinte sol, c'est-à-dire les deux notes formant échelons extrêmes dans l'échelle centrale des gammes ternaires de do; quant à l'échelon médian de cette échelle, il peut être majeur ou mineur, et détermine ainsi le mode de la gamme.
Les seize gammes diatoniques de même mode ont en commun l'échelle centrale; par exemple les seize gammes majeures contiennent toutes l'échelle do mi sol. Quant aus échelles extrêmes, leurs échelons médians la et si peuvent être majeurs ou mineurs, déterminant ainsi le genre de la gamme; leurs échelons extrêmes re et /a, qui sont susceptibles d'altération (rrfp et /oQ) ('), fixent l'espèce de la gamme; enfin les deux autres échelons, sol et do, sont immuables comme appartenant aussi à l'échelle centrale.
résulte de ce qu'on ae considère ici que de gannies, on uliautirait bien aDteodu à
(') Ce chiffre de trente-deux, auquel coudait je dénombrement précéden les gamme» aotlientiques ; si l'on tenait compte en outre des nnlres forme un total plus élevé.
(■) Les quatre mots naturel, primaltéré, sécaltéré, bisaltéré, dont l'emploi a éié proposa pins haut pour carnetdrisor les qaalre espèces de gammes, ont éié choisis do façon i itr« an harmonie avec le langage nsuel des mosiciens ; ceux-ci, en effet, appellent attérationi ou aotet altérée* les notes telles que ré\) et fan dans le ton de do. Mais il faut bien remarquer, i propos de ces dénominations, que l'altération à laquelle elles font allalion porte sur l'ordre
CHAPITRB III. — GAMMES TMIGÈNBS. 'iU
S87. Ainsi, le musicien qui, au lieu de se cantonner dans la tonalité ternaire, pratique la tonalité diatonique, dispose, non plus seulement de huit homotoniques de do, mais bien de trente-deui.
La difTérence de caractère que le mode communique à ces gammes est bien connue des musiciens; le principal motif de cette difTérence a été indiqué plus haut {Battachements, n» 241).
Parmi les genres, les plus doux sont ceux qui ne contiennent pas te degré un peu complexe h'I?— |; ce sont donc le majeur normal ou orné et le mineur orné ou alternant.
Parmi les espèces, c'est à bon droit que l'espèce naturelle est de beaucoup la plus employée, car elle est la plus simple de toutes, les notes altérées rêo et/oQ étant précisément les deux plus complexes du douzain (*); toutefois ces altérations, et surtout la première, sont en somme peu prononcées et l'on arrive bien vite à s'y accoutumer assez pour en goûter le channe.
538. Parmi ces gammes, certaines ont été pratiquées depuis plus de vingt siècles, ce sont celles qui peuvent s'exprimer au moyen des sept notes dites naturelles; en effet, le mode de mi et le mode de fa des Anciens ont respectivement les mêmes intervalles que la gamme mineure normale primaltérée et la gamme majeure normale sècaltérëe.
Mais les autres gammes pourraient aussi être employées. A titre d'exemple, citons un air bien connu : Ah! vous dùai-je, maman, dont Mozaii a exposé le thème en do majeur normal, et travestissons ce thème en tonalité mineure ornée sécaltérée.
La transformation s'obtient en bémolisant tous les mi et tous les la et en diésant
Fi g. 3oi.
ta
les/a(*). L'air qu'on obtient ainsi, tout en différant beaucoup du thème original, présente cependant des ressemblances qui le rendent facilement reconuaissable.
U arrive d'ailleurs très fréquemment que, sans y songer, le compositeur emploie épisodiquement ces diverses gammes diatoniques, car, loi'squ'il fait de l'altération, cela revient à abandonner une tonalité diatonique naturelle pour la remplacer momentanément par une tonalité altérée; ces oscillations d'une tonalité à l'autre se font très facilement par homotouie.
lenulre et non sar l'ordre diatoniqac. Ainsi, la deuxième gamme du Tablonu prâi»ident (do majeur normal primaltHrâ ) tiA une gamme diatonique exacte, et ce Dost pas en tant que dialoniiiuo, mais en tant que ternaire qu'elle iruntient une attention. D'ailleurs, en musique comme en bien d'autres cbosos. tout est relatif; et quand en icnl en do majeur, do mSme que le i-e'p respecte l'ordre diatonique mais offense l'ordre ternaire, de mflmo le ia? respecte l'ordre ternaire, mais non l'ordre normal, eu sorte que. pour qui cullire uniquement la tonalité normale, et non la ternaire, le la], lui-mâme apparaît comme une altération.
(') A cet égard, on pourrait n^partir l(!s notes du douzain fondé sur do eu trois catégories, savoir ; les sept noies naturelles do, ré, mi. fa, lol, la. si; les (rois incidents la?, mi?, st'l' qui ne ditièreni que de u de la note nalurells correspondante, et les deux accidents re'p et ^aQ pour lesquels la diflérence atteint u +x.
D'une [afon générale, les incidtnU seraient les trois noies exislaut en tonalité lemaîre, cl qui proviennent de la modification des médiantes d'échelles ; quant au nom A'aecidenl il serait réservé aux doux notes spéciales à la tonalité diatonique et qui proviennent de la modification des i'H:holons extrêmes des échelles extrêmes.
(') Pour faciliter la lecture, on a répété ces accidents à cliaque mesure, conformément à l'usage; mais, & titre de démonstration, on aurait pu se borner à les écrire uno fois pour tontes Ji la portée, afin de montrer qu'ils sont constilulib dans cette tonalité.
34a IIUITIÉIIB PARTIE. — GAMMBS DIVERBB8.
589. On a vu plus haut {Enharmonie, n* 388} qu'en associant l'amphitonie et l'allération, on arrive à exécuter d'emblée et instantanément les modulations les plus éloignées. Citons à titre d'exemple la modulation de la mineur vers si> mineur. Normalement, ces tons ont pour armures respectives néant et cinq bémols, et dlfTërent très sensiblement; mais, si on les considère dans les tonalités suivantes :
la mineur orné sécaliéré (armure : iol et ré diésés),
jilr mineur orné naturel (armure : si, mi, ré, sol bémolisâs),
les armures ont beau être plus différentes encore, la modulation n'en est pas moins très facile parce que les notes de l'accord de septième de dominante du second ton existent, elles ou leurs gètophones, dans le premier ton. A titre d'exception, et pour montrer que la modulation ne comporte aucune dérogation au.\ deux ordres diatoniques précédemment indiqués (c'est-à-dire n'exige aucune altération accidentelle), on emploiera dans l'exemple suivant les armures inusitées coiTespondant aux deux tonalités dont il s'agit ('); on voit que la modulation peut s'exécuter sans faire usage d'aucun dièse ou bémol autre que ceux des armures :
Fig. 3o3.
ij4 mineur orné sécalteré
l.'iJi i
540. Remarque. — On vient de dire que, sur les trente-deux gammes diatoniques, huit sont des gammes ternaires naturelles et vingt-quatre peuvent étie considérées comme des altérations de gammes ternaires. Mais nous pouvons vérifier ici une fois de plus ce que nous avons souvent fait observer, savoir que les phénomènes musicaux sont susceptibles de se présenter sous des aspects différents (') : plusieurs de ces gammes ternaires altérées peuvent aussi être considérées comme des gammes ternaires non altérées.
Par exemple, la gamme de do majeur normal sécalteré est représentée par le premier des deux schémas ci-dessous {fig. 3o4); mais le second de ces schémas, un peu moins simple que le premier, lui est néanmoins gélophone(*), en sorte que les sons de la gamme du premier schéma peuvent ôtre interprétés comme étant ceux de la gamme du second schéma ; or, celle-ci est ternaire puisqu'elle est fondée sur les trois échelles majeures conjointes do, sol, ré; elle s'obtient en plaçant trois échelle.s majeures sur la série de
( ' ) L'oxomple An la figure 3a3 sera donn (voir Applications, figure 373 du n* 692). (') Voir Diitonanee, renvoi du n* 180.
(') Il n'en diffère que par la aubslilution dt lax
plus loin une seconde fois, mais en fusant usage des ai
- fiAHHKS TtUGÂNBS.
bases i,-< ^; autrement dît, elle est comme une gamme majeure normale rapportée à la note qui, en tonalité ternaire habituelle, jouerait le rôle de dominée.
Considérant de mSme la gamme de do mineur normal primaltéré qui correspond régulièrement au premier des deux schémas ci-dessous {Jig, 3o5); on verrait encore que celte
Jt.
ol
ab
gamme peut être interprétée comme correspondant au second de ces schémas, qui ne diffère du premier que par la substitution de sip à ii> et est formé des trois échelles mineures conjointes siQ,/a, do; donc la gamme ternaire altérée dont il s'agit peut aussi être interprétée comme une gamme ternaire non altérée, mais dont la note jouant habituellement le râle de dominante aurait été prise pour tonique.
D'une façon générale, pour discerner quelles sont les gammes ternaires altérées qui peuTent aussi être considérées comme non altérées, il suffit de jeter les yeux sur la figure suivante, dans laquelle le signe ? indique que la note affectée de ce signe peut être considérée indifféremment, soit comme naturelle, soit comme pourvue de l'altération qu'elle possède dans le douzain chromatique.
344 HUITIÈME PARTIE. — fiAHVE9 VIVKRBBS.
On voit que, parmi les trente-deux gammes diatoniques :
I* Celles qui ont «|» et fé\, avec rèl lat mi?, peuvent être considérées comme formées par trois échelles conjointes ii^^,/a, do, de modes quelconques, ces gammes étant rattachées à leur échelle supérieure : c'est notamment le cas ci-dessus examiné de la gamme de do mineur normal primaltéré.
a" Celles qui ont /ai\ et réi^, avec la? mi? si?, peuvent être considérées comme formées par trois échelles conjointes fa, do, sol, de modes quelconques, ces gammes étant rattachées à leur échelle médiane ; c'est le cas des gammes ternaires naturelles.
S" Enfin celles qui ont réi^ et lat^, avec mi? si? /a?, peuvent être considérées comme formées par trois échelles conjointes do, sol, ré, de modes quelconques, ces gammes étant rattachées à leur échelle inférieure : c'est notamment le cas ci-dessus examiné de la gamme de do majeur normal sécaltéré.
ARTICLE IV. — Septaiiu chromatiques.
641. De ce que nous avons vu précédemment, il résulte que les septaîns trigènes sont au nombre de 46a (n» 505), et que, parmi ces septains, ceux qui comprennent une note de chaque degré, mais chaque degré sous une forme seulement (septains diatoniques), sont au nombre de 3a (n" 535). Les septains chromatiques sont donc au nombre de 463 — 33 =430. Mais, ainsi qu'on l'a fait observer plus haut (n* 506), plusieurs de ces gammes seront dépourvues d'intérêt musical, soit qu'elles se trouvent illogiquement constituées ( manquant des degrés les plus usuels et pourvues à leur place des degrés les plus complexes), soit que l'ensemble de leurs notes constitutives rattache à une note autre que la tonique. Ainsi le septain chromatique suivant :
- Rg. 307.
qui rattache à so/ plutôt qu'à rfo, serait fort médiocre comme gamme àedo (mais admissible dans le ton de sol).
642. Les septains chromatiques son! en général des gammes moins parfaites que les septains diatoniques ; en eifet, si l'on veut former par exemple une gamme contenant à la fois /a et/aU, il faudra, puisque le IV* degré est pris sous ses deux formes, se priver de l'un des autres degrés; ainsi, pour gagner /rttl = ^> il faudra perdre une autre note qui
correspondrait certainement à une formule plus simple.
Si l'on est amené à employer un même degré sous deux formes différentes, il sera généralement prérérable de remplacer le septain par un octain, et de ne pas se priver d'un des degrés de la gamme sous prétexte de ne pas excéder le chiCIte de sept sons : il vaut mieux en effet exprimer sans contrainte sa pensée musicale que de se conformer à cette pseudo-règle, admise on ne sait pourquoi pendant si longtemps, et d'après laquelle toute gamme devait être un septain (voir n' 520).
A titre d'exemple de septain chromatique, nous étudierons le septain qui est généralement désigné sous le nom de gamme chromatique tonique.
CHANTnG III. — GAUHBS TRIfiEma.
GàXMB CnnOMÀTlQVB TORIQDB.
548. Pour cette tonalité, les Létracordes étaient accordés de façon à donner les intervalles conjoints suivants :
demi-ion, demi-ton, tierce mineure.
Les tétracordes étant disjoints d'un ton, leurs huit notes présentaient les intervalles suivants (exprimés en grades ou en gétés) :
Numéros d'ordre des huit notes 1 U 111 IV V VI Vil VIII
latervalles conjoints t i 3 ■» i i 3
Intervalles dos notes avec la plus basse d'entre elles. o i ^ 5 7 s g la
Si l'on suppose, tout d'abord, que la gamme est authentique (c'est-à-dire commence par sa tonique), on voit qu'en ^o trigène cette gamme correspond aux notes suivantes :
fa toi îa)} la do
représentées par le sciiéma
ou par la formule
ou encore
H : iïo/ia8/i35/ilio/i8o/i9a/aoo/a4o.
Telle est la façon la plus simple de se représenter le substratum mathématique d'une gamme authentique dont on sait seulement que les intervalles .conjoints possèdent les valeurs indiquées plus haut approximativement (').
544. Les phénomènes musicaux ayant souvent plusieurs aspects difTérents, on voit que la même gamme pourrait aussi être interprétée enharmonîquement comme l'indiquent le schéma (Jig. 309) et les formules ci-après :
do dos fé /<* toi tolti la do
Mais cette' interprétation, malgré ses N plus petits que ceux du n' 5ii3, est beaucoup
( ' ) Cas valears ajrant H6 tradaitas on grades ou en gdtés deviaonant, de ce hit, approiimstivei, car, en musique le grade n'ect pai une graadaur fixa et invariable, et quant an gé\é 00 aux tan* et demt-lons tempcrds, ils n'oot pas d'exiateoce rdslle et no peuvent exprimar qn'L peu près la valeur vnûe des intervalles musicaux.
UUITIËHE PARTIE.
GAHHEB DIVBRSKB.
Fig. 3Q3.
plus complexe, et il serait invraiseinblable que les sons définis par les formules précédentes fussent rattachés à une note placée comme l'est do dans te schéma ci>dessu3.
La gamme chromatique tonique pourrait aussi être conçue en tonalité digène, tétragène, etc.
545. Hais, pour s'en teoir à la tonalité trigène, si l'on n'admet pas a priori que la gamme est donnée sous forme authentique, il reste encore à examiner les six cas où la tonique, au lieu d'être la note de rang I, serait l'une des notes des rangs II à Vil-
Donnant toujours le nom de do à la note à laquelle est dévolu le rôle de tonique, on voit que la gamme se présente, selon le cas, sous l'un des aspects suivants :
Numéros àvt Dotes prileg pour do.
Namadesi
atei
etTBlaiiri(on
grades) des
inlorvalles conjoinM
ré fa
mi fa'.
do
rév
lol
tab
do
fa /«S
^ol 1 3
do
ré
m(%. mi
lol 3 I
fab
do
rc.
ré fa
sol
si, d
réb
mi fa
la
si d
vit.
do
mi
mi fa
la^
ïi!,
si d
De ces sept luterprétations, celle qui correspond à la gamme la plus douce (mais dépourvue, il est vrai, de IV' degré) est la quatrième. Dans ce cas, la gamme considéi-ée est une gamme de forme plagîenne (de dominante h. dominante), conforme au schéma et aux formules ci-après ;
Fig. 3io.
<0 Ml >
GHAPITBB m. — CAUMES TBIGÉIIE8.
" lélracorde i' Utracorde
ARTICLE T. — Saptalni palétjrpei.
546. Les musiciens de l'antiquité ont fait usage des sept septains qui peuvent s'exprimer par les sept séries de sept sons suivantes :
Mode de rc r6 mi fa toi la ti do
Mode de nu mi fa sol la si do ré
Mode de /n fa toi la n do ré mi
Mode Ai sol sol la si da ré nU fa
Mode de /a la si do ré mi fa sol
Mode de « ti do ri! mi fa sol la
Mode de do do ré mi fa sol la si
Ces gammes, formées de notes toujours les mêmes (au moins en apparence), mais présentées de manières {modus) différentes, ont été désignées de plusieurs façons, et notamment par les dénominations très claires et très brèves de mode de ré, mode de mi, etc.
Mais ces dénominations, très commodes à l'époque où le mode de ré était toujours fondé sur /"rf, le mode de m* sur mi, etc., deviennent incommodes si l'on pratique la transposition. Afin d'éviter l'usage de périphrases telles que u mode de ré transposé en do n ou que n gamme de do construite sur le type du mode de ré o, nous conviendrons d'appeler gamme rétype toute gamme de tonique quelconque, composée de sept notes s'èchelonnant avec les mêmes intervalles que dans le mode de ré; de même, les gammes mitype, on/atype, OÙ etc. seront celles qui, ayant une tonique quelconque, seront construites sur le type des modes de mi, ou de /a, ou etc. Enfin nous engloberons ces sept types de gammes sous la dénomination générique de gammes /'a/^t^^es {■).
547. Parmi ces sept gammes palélypes, il en est que nous avons déjà rencontrées en tonalité ternaire; nous savons donc qu'elles ont des bases mathématiques; maîsles antres, comment doivent-elles être comprises?
Les Traités disent k ce sujet qu'en effet les anciens, afin de varier la tonalité, changeaient la disposition des intervalles conjoints de la gamme, en commençant celle-ci tantét par l'une tantât par l'autre des sept notes dites naturelles, modifiant ainsi le rôle des notes les unes par rapport aux autres suivant ce que les mathématiciens appelleraient une permutation circulaire.
Fig. îii.
( ' } C'Ml.it-dire de tjpes d'M(r«fai>.
348 HUITlàNB PAKTIB. — CAMIIKS DIVERBSB.
n est nécessaire d'examiner ici comment une pareille permutatioa eatre les degrés de la gamme peut être effectuée sans produire des résultats absolument inesthétiques.
Pour préciser par une comparaison la nécessité d'élucider cette question, imaginons le cas d'un antiquaire ayant trouvé une jolie statuette de Tanagra et l'ayant installée en belle place dans son cabinet de travail. Au bout de quelques mois, il s'aperçoit qu'il commence à se blaser sur les joies que lui cause la contemplation de la figurine; alors, pour rarralchir ses sensations, il imagine de faire diviser ta statuette en sept tranches, à l'aide de six coupures horizontales. Lorsqu'il superpose les sept tranches dans l'ordre naturel, rien n'est changé à l'aspect de la statuette ; mais s'il exécute une permutation circulaii-e dans l'ordre des tranches, par exemple en faisant passer sous les pieds la tranche supérieure, il se procure des sensations incontestablement nouvelles. Mais seront-elles agréables ?
Il ne semble pas que, dans ce cas, les permutations entre les différentes parties du tout soient permises esthétiquement.
Elles le sont au contraire dans certains jouets d'enfants, composés de parties mobiles susceptibles de prendre les unes par rapport aux autres différentes dispositions. Dans chacune d'elles, le jeu forme un dessin particulier qui, si l'on rectide par la pensée certains traits de détail, représente des objets connus et a, par suite, un sens intelligible : on conçoit donc que l'enfant prenne intérêt à examiner les différents aspects que peut prendre le jeu, suivant les dispositions qu'on lui donne.
Cette double comparaison conduit à penser que si l'homme a pris plaisir à permuter de diverses manières l'ordre des notes de la gamme, c'est que chacune des dispositions ainsi réalisées présente un sens intelligible, c'est-à-dire correspond à un certain substratum mathématique tel qu'une série d'N en rapports simples.
548. Pour examiner ce qu'il en est, ne cherchons pas à deviner le sentiment musical ou l'idée théorique d'après laquelle les gammes palëtypes ont pu être fondées, il y a plus de vingt siècles; bornons-nous à nous mettre à la place d'un musicien ancien ou moderne, sachant que ces sept gammes sont ou ont été pratiquées, et cherchant celles qui peuvent lui plaire et ôtre interprétées dans la tonalité à laquelle il est accoutumé (')-
Nous nous poserons donc le problème suivant : Etant donné sept notes, dites naturelles, dé&nies (à l'octave près) par la seule condition d'être échelonnables par quintes (*) :
fa do sol ré la mi ti
quelles sont les différentes façons possibles de combiner ces notes de manière à former des gammes, c'est-à-dire des séries de notes en rapport simple avec l'une d'entre elles?
Pour résoudre cette question, nous dessinerons tous les schémas figurant les dispositions relatives que peuvent recevoir les sept notes ; nous examinerons ensuite combien chaque schéma peut représenter de gammes distinctes.
549. Mais, au préalable, cherchons les différentes valeurs que peuventavoir les quintes auxquelles s'échelonnent les notes de la gamme.
La figure suivante représente les notes de la tonalité trigène en projection sur le quadrillage du plan des 3 et des 5. Considérons une note quelconque, par exemple le ré qui se trouve vers le milieu de la figure, et joignons-le par des vecteurs h. sa quinte la^-ré
(') Lo présoni Cliapiire traitant dus gammna taDdrfo* sar la* toctoun l, 3 el 5, nous envisagorans, bien enlendu. II! cas J'un musicion raiaant usage <la la (ODalitd Irîgâno.
(') Il s'agit ici, non pas de la quînto - proprement dite, maia d'intervalles quelconques, identiques on gétophonei ii l'f (te quinte. On remarquera que la pnJsente définition des sept notes do, rc. mi, /a. toi. la, si n'est pa« identique ï colle qui n élé donnée plus haul, par exemple par lo schéma do la figure 19 j ( a" 524 )■ La plus grande généralité de la présente définition produit des conséquences que nous remarquerons plus loin.
CBAPITKB III. — GAHIIBS TRIG^NES. 3jg
et à toutes les notes gétophooes de ce la. Ces vecteurs représenlent des quintes de valeurs diverses Oi, On On etc.
Fig. 3ij.
Ri
ir^
IT
lé >
Sx do
K tO
Il est évident que, parmi ces quintes, les seules dont les vecteurs ne soient pas trop étendus pour trouver place dans le rectangle chromatique sont celles qui sont désignées (voîryî^. 3i3) pour les lettres On Ot ^^ Oi! ces trois quintes sont donc les seules qu'il faudra prendre en considération.
550. Ceci posé, il est facile de dessiner les schémas susceptibles de représenter les gammes proposées.
Prenons un point quelconque du quadrillage pour figurer ta note /a. Une série de deux notes en quinte, fa, do, sera représentée, puisque la quinte a trois valeurs possibles, par les trois schémas :
Fig. 3 1.1.
fï
fi
Une série de trois notes en quintes proviendra de l'une des séries de deux notes qui précèdent.
La première série de deux notes en quinte permettra de former trois séries de trois notes en quintes, savoir :
Fig. 3,4-
ftl <W «oh
ol
35o HUITlàMB PAHTtB. — GAMMES DIVERSRS.
La deuxième série de deux notes en quinte ne permettra de fonner qu'une seule série de quinlea admissible, celle dans laquelle dosol = Q,, car, avec les quintes Oi et Q„ les
ne.
Lri
dimensions du schéma excéderalentf comme le montre la figure 3i5) celles du douzain.
Pour un motif semblable, la troisième série de deux notes ne permettra de former qu'une seule série de trois notes en quintes, savoir :
Il est évident qu'en continuant l'application du procédé précédent, on arrivera de proche en proche à former successivement tous les schémas représentant les séries de quatre, cinq, six et sept noies échelonnées à des intervalles valant On Qi ouQ,; le Tableau suivant présente synoptiquement tous les résultats que l'on obtient ainsi :
Fig. 3.7.
] scbémte th tsoiu
7 schémas dfteona
losdi6nBs de Ttans
'iSf
CHAPITBB tll. — GAMMBS TMCàNES. 35l
551. Esaminons maintenant les dix schémas de sept sodb occupant le bas de ce Tableau {fig. 3i7), et voyons quels septains ils peuvent représenter.
Tout d'abord, il y a lieu d'éliminer les schémas n" 2, %, 6, 7 et 9, car, d'après ce gui a été vu plus haut {Battachement, n* ^85), un gi-oupe de sons occupant trois lignes «t quatre colonnes rattache à la note située sur la seconde ligne et sur la seconde colonne; or cette note fait défaut dans les cinq schémas précités ; ceux-ci ne correspondent pas à des gammes suffisamment simples, et il reste seulement à considérer les cinq autres schémas, savoir :
Fig. 3.8.
, wri Nr3
N'5 ft do
Nfe
NÎIO fà do sol ré b
r , do t
1 ré
f^ do 801
.1 ri iLjJ
> iL ri » ai i.
ni 1
<! la <i
Pour la raison qui vient d'âtre rappelée, les trois derniers schémas rattachent respectivement à réy sol et 51, et représentent par conséquent des gammes ayant ces notes pour toniques.
Pour une raison analogue, chacun des deux premiers schémas rattache à une note de sa seconde colonne et, de préférence, à celle qui est située sur une ligne de quatre notes; ces schémas représentent alors les gammes de do et de la; mais ils peuvent aussi, quoique moins simplement, rattacher à celles des notes de la seconde colonne qui est située sur une ligne de trois notes; dans ces conditions, ils représentent deux autres gammes, moins simples que les précédentes, et qui sont les modes de mi et de/a.
En définitive, les gammes que nous parvenons à former avec sept notes échelonnables par quintes sont au nombre de sept et sont précisément semblables aux sept gammes paie types.
553. Si l'on se reporte à la double comparaison à laquelle nous avons eu recours plus haut, on voit que le cas des sept gammes formées avec les sept notes naturelles différemment combinées est analogue, non pas à celui de la statuette de Tanagra, mais bien à celui du jeu d'enfant composé de parties se prêtant à des arrangements différents : de même que chaque dessin du jeu (si l'on rectiâe par la pensée certaines incorrections de détail) représente un objet réel, de même chaque gamme (si l'on rectifie certaines notes d'un comma convenable) correspond à un substratum mathématique simple, en sorte que, pour la gamme comme pour le jeu, les mômes parties peuvent former des touts différents présentant chacun un sens intelligible.
On eût été au contraire dans le cas illogique et incompréhensible de la statuette de Tanagra si l'on avait dû admettre que, dans les diverses gammes, les notes sont toujoui'S représentées par les mêmes nombres : pour certaines toniques, quelques notes eussent correspondu h des rapports trop complexes; autrement dit, un môme schéma de sept notes n'aurait pu être rattaché simplement à chacune de ses notes constitutives.
C'est cette invraisemblance que l'on serait obligé d'admettre si l'on voulait interpréter les gammes précédentes dans la tonalité digëne; toutes les quintes étant uniformément égales à -1 les sept gammes patétypes disposées par quintes ascendantes auraient pour formule :
fa do toi
— -(irv(rv(r7(07(0"7(irvar
où il faudrait attribuer h. n les valeurs
35a HUITIÉMB PAKTIE. — UAHUBB DIVBKSBi.
auiyaat qu'il s'agirait respectivemeat des gammes de
fa, do, sol, rc, la, mi, si.
Or, même pour n = o (gamme de ré), cette formule doune des valeurs Tort complexes; et pour les valeurs extrêmes de n, pour n= 3 par exemple (gamme de /a), elle fournît pour la septième quinte la valeur (r ) > ce qui, pour le IV" degré de la gamme, correspond k la fraction inadmissible
fa a' Va/ a' S.i"
Ea tonalité trigëne, on ne rencontre pas de telles invraisemblances, car on trouve presque autant de schémas qu'il y a de gammes. Deux fois seulement le même schéma correspond à deux séries d'N, c'est-à-dire k deux gammes différentes, et dans chaque couple de deux séries d'N, la seconde est plus complexe que la première; mais cette plus grande complexité des formules correspond très exactement à la réalité musicale : les modes de mi et de fa sont en effet plus complexes respectivement que les gammes de do et de la, et c'est pourquoi ils sont arrivés à tomber presque complètement en désuétude.
653. Remarque. — Nous avons fait observer plus haut (second renvoi du n" 548) que, dans l'élude des gammes palétypes, nous donnions aux sept noies naturelles une définition autre que celle adoptée antérieuremenl. Il est nécessaire de faire remarquer ici quelle est la conséquence de cette différence de dé&nitions et quelle est ea réalité la constitution des gammes palétypes ; à cet effet, nous transposerons en do les sept gammes palétypes, en exécutant l'opération par deux procédés ditférents :
Premier procédé. — Reproduisons les schémas des sept gammes en attribuant uniformément le nom de do à la note jouant le rôle de tonique; quant aux autres notes, dési-
h (a I II I !
mm I fit
gnons-les d'après leur position par rapport à do, en leur donnant les noms qui leur sont attribués dans le rectangle chromatique (fig. Stg); nous obtenons ainsi les sept schémas suivants :
Fig. 3io.
Gramme s de do ^-^^^^^^^^^^^^^^—^^^-^^^^^^^—^^^^^-^—^—^^^^—^ Tétype ihilype ftitype soltype Isiype ei<ype. do^e
mitGibrcblab mib s» ait ta^nib s'k'fiVIibrni» «}
Il r
do «drâ
h it, siri
■ti
0 Bol
dO'Ml o
la .n
cBnwnK m. — «An» mistma. 353
Deuxième procédé. — Trainsposons à la façon habitaelte, c'est-à-dire adoptons uniformément la série de sept notes db, ré, mi, fa, sol, la, si, mais en modifiant ees notes à l'aide d'une armure convenable. L'armure à employer se trouve facilement en jetant les yeux sur la Qgure suivante :
Fig. 33 t.
som fi* Mk mif »t h do toi ré h nu » flilt I I I I I ,1
ftlrfl a»Jf «ol^pe rtljfl Wjp« miljpt utjft
Dans cette figure, chaque gamme palélype est représentée ii l'aide d'un angle de forme appropriée, montrant entre ses côtés les sept notes de la gamme et, en l'égard de son sommet, la note jouant le rôle de tonique; poiTT transposer en do la gamme de fa fatype, il suffit évidemment de transporter l'angle i d'une quinte vers la droiie, c'eal-à-dire d'armer la clef d'un dièse; de même, pour ^anspoaer en do les gammes de jo/soltype, ré rétype, etc., il suffit de transporter les angles 3, 4, 5, 6 ou 7 d'une, deux, trois, quatre ou cinq quintes vers la gauche, c'est-à-dire d'armer la clef d'un, deux, trois, quatre ou cinq bémols. Les armures àemployer seront donc les suivantes :
Gammes de do :
Armures :
rétypo mitype fatype sol type latype sltype dotype
al, if tS II, 3S, SI, o
Comparant les schémas fournis par le premier procédé et les armures fournies par le deuxième, on constate qu'on a obtenu pour la gamme sitype deux transpositions différentes, saroir :
r" précédé : d« ré^ mi» fa fait la', «S.
a* procédé : do ri-, mi\) fa tolf (ai H^
Il est facile de s'espliquer la cause de cette discordance :
Les notes de la gamme sitype ont des valeurs numériques définies sans ambiguïté par le schéma représentant la façon dontcette gamme a été engendrée. Dans la figure ci-dessous, ce schéma, répété deux fois, représente deux gamines sityfes, à gauche celle de do et à droite celle de si; mais, dans le schéma de gauche, le^ notes ont été dénommées d'après leur place dans le douzain chromatique, c'est-à-dire conformément à la définition ordinaire, tandis que, dans le schéma de droite, elles ont été dënomméesi conformément à la définition spéciale d'a[»-ès laquelle qons avons engei>dré les gammes palétypes (' ).
Fig. 3:
(f o aitirpi
( ' ) foir le d«inièiiu renvoi du n° M8.
3S4 HÇITIKHB PARTIR. — OAHIIEg DIVERSES.
C'est ainsi que, daas la gamme de », les notes /a et do occupant les extrémilés d'une des diagonales du rectangle sont censées Tormer quinte; or, leur intervalle, valant 0». n'est que gétoplioae à la quinte et vaut en réalité une sixte majeure bidiminuée ('), ainsi qu'on peut s'en rendre compte en considérant, sur la figure 3 la {n* 5W), lo vecteur ré ii'i^i^ qui définit l'intervalle Qi (')• Donc, la défliiilion spéciale que nous avons donnée aux notes, à l'occasion des gammes palélypes, bien que paraissant semblable à la précédente, ne lui est conrorme que gétophoniquemeut. Et si nous voolons donner aux notes de la gamme de si sitypc des noms en harmonie avec les définitions habituelles, nous pouvons laisser aut notes si, mi, la, ré, sot, do les noms qu'elles ont reçus dans la figure ci-dessus, mais, pour la note désignée par /a sur cette figure, nous devons reconnaître que, par rapport à do (la note diagonalement opposée), elle offre un intervalle de sixte majeure bidiminuée (ou de tierce mineure bisaugmeotée), en sorte que son nom véritable n'est pas /a mais mis (*};!» constitution véritable du mode de si est donc la suivanto :
si do ré mi rnis ml la
On voit que, sous cetle forme, la gamme de si sitype est bien l'exacte transposition de la gamme de do sitypc ; on constate, en outre, que la gamme sitype appartient au genre chromatique et non au genre diatonique.
11 n'y a pas d'autres gammes palétypes donnant lieu à une particularité semblable; en cfTet, cette particularité résulte de ce que l'intervalle Q, est entré dans la constitution du schéma de la gamme sitype; or, tous les schémas (schémas n°* 2, 4, 6, 7, 9 et 10 de la figure 3i;, n" 550) qui contenaient l'intervalle Qi ont été éliminés antérieurement, ft l'exception précisément du schéma sitypc (schéma n' 10).
DES GAMMES PALtTTPES.
554. Si l'on s'était proposé uniquement d'identifier les sept gammes palétypes, c'est-àdire de trouver quelles sont, en tonalité trîgène, les positions respectives de leurs notes, on aurait pu obtenir bien plus rapidement ce résultat en procédant comme on l'a fait plus haut pour la gamme chromatique tonique ( a" 5'»5 ), c'est-à-dire en considérant les sons
<<) IntervaJIa tUBnt plus UdI, d> bK.
(') On bien eocore bd considérant, dans la figure 3ii ci-dessus, le vecteur /at réi qui a prëcUéDont été cHé [dut haut (n* 53^) commo oiemple do sixte majeure bidiminuée.
(') D'une tnqon gândralo, si l'on no prund en considrïratLOD que les sons du douzain, quand une noie fonno avec la tonique l'intervalle ào triton, commo si dans la modo de /a, ou fa dans la mode de li. ce triton doit être interprété uonime quarte augmentée, et non comme quinte diminuée. 11 suffit, pour s'en rendre compte, de remarquer que. dans le rectangle diromatiquo da do, on ronconlrc fa* et non soit. Pour rencontrer ce dernier, U faut prendre en
Fig. 3i3.
rJn
considération, non pas seulement tos douze rapports les pli encore. El, mSnie dans ce cas, tout son [(iruiant triton avec do les intervalles de quarte augmouli^o et do quinte diminuée, élanl fait et sol[- occupant sur le quadrillage du plan des 3 et dos 5 évident que /a i4 n'ay-inl do facteurs ordinaires qu'en campleio : c'est donc toujourE te rapport do fat que
iples, comme nous l'avons fait jusqu'ic', mais d'autres l'inlorpréle comme /ai; plutAt que commo tot^, car renversement l'uD de l'autre, correspondent à dus unies les pinili.ins-symiitnqnes par rapport à do; et il est qui est son inverse, formera un rapport plus préférence i (^o so^ •.
GBAPITBB III. — GAHMEg TKIfiBNBB. 355
déHnis par la conditioa de présenter les intervalles conjoints ci-dessous désignés en
grades i
do ré mi fa toi la f( do
et en examinant à quels nombres correspond cette série, lorsqu'on a adopté successivement chacun de ses termes pour tonique. On eût ainsi établi immédiatement les sept schémas {fig. 330, n" 553) fournis par le procédé précédent; mais ce procédé, bien que plus long, était utile à employer; en effet, il n'a pas seulement fourni les schémas des gammes paietypes, il a montré encore qu'en dehors de ces sept gammes, il n'y en a pas d'autres répondant à la définition spéciale qui en avait été donnée ; en outre, en formant les dix septainsde la Sgure 317 (n" 550), on a rencontré chemin fuisaot huit quinlainsqui seront utiles plus loin { article VU, n" 591 et suiv. ).
CBAMrS AHTIQL'ES.
555. Nous avons défini en tonalité ternaire (voir Contrepoint, n' 111) les champs anciens contenant quatre tonalités telles que
do nifgeur normal sol majeur pseudrque ré mineur paeudique la miaeur normal
et les champs alternants contenant deux tonalités telles que
fa majeor alternant ré mineur alternant
Nous pouvons maintenant reconnaître que les champs anciens contiennent aussi des gammes palétypes; ainsi le champ néant, dont la composition est rappelée ci-dessus, contient aussi les gammes de mimiiypeetde/o fatype (').
Par analogie avec les définitions déjà adoptées, on peut appeler champs antiques les champs de six équiarmés ainsi composés :
do dotype, semblable à <io majeur normal,
ré rétype, semblable k ré mineur pseudique,
mi mitype, semblable à mi mineur normal prlmaltéré,
fa falype, semblable à fa majeur normal s6caltér£,
toi sollype, semblable à sol majeur pseudique,
la lalype, semblable à la mineur normal.
Chaque champ antique peut âtre distingué des autres par l'indication de son armure; ainsi le champ qui vient d'ôtre pris pour exemple est le champ antique néant (*).
COMPAKAIBOH DBS GAXIIES PALtTVPES AUX fiAMHBB TUNAIREB.
556. Les gammes ternaires sont fondées sur la réunion de trois échelles de trois notes; les gammes palétypes sont purement et simplement des collections de rapports simples ne se répartissant pas nécessairement en échelles; ces deux genres de gammes ne sont
(') 11 coiiliendrail méuie eucare ti «îlype si cetle gantmtt ir^tait en réalilé chmmatique cl ne dpvaïl. comme on l'ii vu plus haut, l'écrirR par un niilt et nnn par un fa.
(') On rpinarquera que les six Ions d'un mjnin champ nntiquo peuvent âlra consiili^rés comuie furmani Iraia couples de deux Ions reifttih l'un de l'autre (toniques distaiiles d'une tierce mineure, modes contraires et noies identiques on gi^tophones ). Ainsi, dans le champ néant, un premlir couple est composé de do el de la qui ne dirTèrenl que pnr leurs ré, lesquels sont giitophones ; un second couple c >mprond toi el rni dont les notes gt'lopliones sont lus /a el les la; enfin un Ircisième caupla est formé de ré el dv /a dont les noies gi^tophnnes sont Ls sol et les si.
356 RUITlàKB PARTIK. — GAHHBS DIVEUKS.
donc pas conçus au même point de vue ; il n'y eo a pas moins identité complète entre certaines de ces gammes {');on voit, en effet, que, dans les modes de do, ré, sol et /a, les formules des notes sont respectivement tout à fait les mêmes que dans les gammes de do majeur normal, ré mineur pseudique, sol majeur pseudiquc et la mineur normal ; quant aus trois autres gammes palétypes (modes de mi, fa et si), elles présentent avec les gammes ternaires les plus semblables certaines difTérences qu'on va examiner ci-après.
667. Gamme mitype, — Comparons entre elles les gammes de mi mitype et de mt mineur normal, et à cet effet considérons les schémas suivants, dans lesquels la note jouant le rôle de tonique est marquée d'un petît cercle.
do majevr normal
Fig. Jï4-
1 i JTT/n evrn orms]
10 sol 14
-Tffi-
Titl
Les deux gammes de mi ne diffèrent l'une de l'autre que par le II" degré qui est de tî = Hx plus élevé en mineur normal qu'en mitype.
On sait que mi mineur normal est corrélatif de do majeur normal, parce que la tierce mi sol est commune aux échelles toniques de ces deux tons. Mais mi mitype aussi pourrait être considéré comme corrélatif de do majeur normal, car il a en commun avec lui, non seulement la tierce mi sol, mais aussi toutes ses autres notes, sans aucune différence de commas; il suffit, eu effet, de jeter le» yeux sur la figure qui précède {fis- 3a4) pour se souvenir que les deux gammes dont il s'agit sont formées de la même série de sons, mais rapportée à deux termes différents.
558. La gamme de mi mitype est un peu plus complexe que celle de mi mineur normal parce que son II" degré se présente sous la forme fa = -T' moins simple que /« B = 1 ; toutefois cette substitution entre les deux formes du II' degré ne ti-ouble pas très gravement l'ordre ternaire, car, dans la série des tierces, c'est seulement l'échelon extrême de l'échelle supérieure qui se trouve modifié :
la do mi sol si ré fa,
c'est-à-dire que l'échelle dominante siré/aU = tT de ta gamme ternaire se trouve ici remplacée par la fausse échelle si rcfa=: et' (*).
La tonalité mitype n'est donc pas beaucoup moins douce que la tonalité mineure normale et, dans le ton de mi, l'emploi de/aq est assez facile, au moins en mélodie; en harmonie, le/aq se rencontrera surtout lorsqu'une oscillation aura conduit dans un ton possédant cette note; mais, lorsqu'on voudra l'employer dans l'harmonie do la dominante du ton {si), on sera conduit, pour faire consonance, à offenser accidentellement l'ordre palélype en diësant le fa.
