CHAPITRE II. — AUDITION DB DEUX 80MS SlMtLTASGS

ARTICLE IV. - Série privilégiée.

86. On vient de dire qu'en général les liarmoniques consonnent d'autant moins avec la fondamentale qu'ils occupent dans la série un rangpluâ éloigné. Il existe pourtant parmi eux toute une catégorie de sons qui jouissent de la propriété de consonner toujours parfaitement entre eux et avec la fondamentale, malgré leur éloignement de celle-ci. Ce sont les octaves de cette fondamentale, c'est-à-dire les sons dont la période est a fois, k fois, 8 fois, etc., et en général a" fois plus petite que celle delà fondamentale (')■

Celte propriété des octaves résulte vraisemblablement de ce que notre esprit ne conçoit ^ jamais plus facilement le rapport existant entre deux grandeurs que quand il s'agit du i rapport d'égalité. En philosophie, ,A = A est le type de la proposition claire entre toutes, j

Par voie de conséquence, la division bin;iire est celle que notre esprit conçoit le plus facilement.

Pour nous en assurer, considérons à titre d'exemple le cas d'un dessinateur se proposant de subdiviser sans instrument, au senUment, une grandeur telle qu'un arc ou un angle, ou une longueur rectiligne PQ.

La subdivision en deux parties égales PÂ et AQ sera facile , car, pour bien placer le point A,

Fig. i8-a.

il suffira de juger de l'égalité entre PA et AQ; de même la subdivision eu 4 s^ra facile,

Fig. i8-6.

puisqu'il sufUra de placer B et C de façon à diviser à leur tour en parties égales les segments PA et AO; il en sera évidemment de même encore pour la subdivision en 8, t6, etc., c'est-A-dire pour toute subdivision binaire.

S'il s'agit de diviser PO en trois parties, ce sera un peu moins simple; il faudra marquer D au tiers de PQ, c'est-à-dire de façon que PD soit égal, non à DO, m^iis à sa moitié.

Fig. -i^-c.

La division par 5 présentera une difficulté de même ordre; pour marquer E au cinquième de PQ, il faudra comparer PE par la pensée, non pas à la longueur EQ, mais à son quart.

Fig. i8-d.

La division par 6 ne sera pas sensiblement plus difficile que la division par 3 puisqu'elle ne comporte, comme opération supplémentaire, que la très facile division par a.

Mais la division par 7 sera beaucoup plus difficile ; pour marquer F au septième de PQ, il faudra comparer PF au sixième de FQ, en sorte qu'avant d'avoir placé F li l'eslime, il

(') AiDsi poar une randamentale reprdsenlée par N = i, tes tiarmoDiques particuliers dont il est questioD Ici («ctave*) sont oampriR daus la formule générale N = ]■.

- CONSONANCB.

faillira avoir exécuté à l'estime une division non binaire, donc dij(^cile, du segment restant FQ.

37. (À't eieiiijiie met en évidence la très grande simplicité de la diviaioa binaire. Ses avantages sont bien connus des arithméticiens, dont quelques-uns vont jusqu'à regretter que le système binaire n'ait pas élé adopté par les hommes, au lieu et place du système décimal (').

Il est vrai qu'en système binaire il suffit de deux Rgures I etO (au lieu de dix : i, i, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 9, o) pour exprimer tous les nombres; c'est ainsi, par exemple, que les nombres s'écrivanl dans notre système décimal

^'écriraient en système binaire

Ces exemples suffisent à montrer l'inconvénient pratique du système binaire; les figures,

il est vrai, sont de deux types seulement; malbeureusemeut l'expression d'un nombre,

même peu élevé, exige l'emploi de figures très nombreuses. ' Mnig cet inconvénient pratique n'existe pas dans le cas d'une intelligence écoutant un

air de musique, et c'est probablement en arithmétique binaire que nous faisons les com- ■i paraisons numériques formant la base de nos jouissances musicales ('); et dans le eys- ( lème binaire, les nombres les plus facilement comparables sont précisément ceux qui

s'écriraient

c'est-à-dire les puissances de 3 auxquelles rorrespondent les octaves.

SS. Les considérations qui précèdent rappelleront aux mathématiciens ce fait bien connu que la subdivision des grandeurs diverses se fait toujours bien plus aisément en deux qu'en un plus grand nombre de parties : c'est ainsi que la bissection de l'angle est une opération incomparablement plus facile que sa trisection.

Au surplus, ces tendances binaires de notre esprit se manifestent par nos usages et nos habitudes de compter fréquemment par doubles et demies, en mariant ainsi le système binaire et le système décimal (*), et point n'est besoin de hautes théories pour reconnaître la facilité toute particulière que nous possédons à comparer ou à compter binairement; c'est^ainsi que les enfants les moins expérimentés savent très bien qu'il est plus facile de partager équitablement une pomme en a, 4 ou 8 qu'en 3, 5 ou 7. De même un accordeur de pianos n'ignore pas que la moindre erreur sur l'accord de notes formant des intervalles d'une ou plusieurs octaves (rapports de N binaires) sera immédiatement remarquée et jugée intolérable ; il aura donc soin de régler les octaves avec une grande précision ; quant aux autres intervalles, ils seront tous faux et généralement d'autant plus

( ' ) Siaoû pour toutes le» gnnJuuri, nu muins pour quoli|UBS-uBOB telles que le teicp», les angles, elc.

(') 1.3ibnili,<]iiiaïjil beaucoup «gdiérarilhmétLque binaire, estimait que, dans les spéculations compliquâes, cette arithmitique esl d'un usage nallemonl plus avantageux que l'arithméliquo ordinaire.

{') C'est ainsi quij. pour le temps, on compte beaucoup par hBures, domi-heures et quart» d'heure; pour les dorées des silences musit^ui, on compte psr pauses ot J^mi-pausja, ou par soupirs, i soupir, i de soupir, \ de soupir. A de soupir; pour les monnaies, on a dd créer des pièces doubles si moitié» de l'unité. Ainsi les Kpanîais emploient outre le franc, le double franc, lo demi-franc al le quart de (fane; le sou est accompagné du double sou ol il esl quesllen da créer un demi- sou.

^ ADDITION DB DEUX SONB SIHULTANBB. -l3

faux qu'ils correspondent à des rapport» de chilFres plus complexes (*); on les tolérera néanmoins, puisqu'on accepte déjouer sui' des instruments réglés sur la gamme tempérée.

89. On a tenté d'expliquer de diverses manières cette grande analogie entre les sensations que nous procurent deux notes différant d'une octave.

On a dit, par exemple, que la période de la vibration sonore se subdivise en quatre phases correspondant aux quatre points A,, Bi. Ci, D, de la figure 7 (n"22), en sorte que l'esprit percevant la période A,A„ percevrait aussi la période A|C,= C,Ai, moitié de A|Ai (octave du son entendu), et percevrait même encore la période Ai Bi:= fi, Ct^ Ci D,r=DiAt, quart de A,At (double octave du son entendu). Mais cette explication supposerait qu'il s'agit d'un son purement pendulaire; elle n'est plus applicable si le son contient des har> moniques (voir la ligure 8 du n°23), ce qui est le cas général (')'

40. On a fait remarquer aussi que si une certaine note (que nous appellerons do,, pour fixer les idées) constitue, avec ses harmoniques, une série de sons ayant pour N

i note rfo,, octave de rfo,, formera avec ses harmoniques une série de sons ayant pour N

La note rfo, se fondrait donc entièrement dans la note do„ sans apporter aucune sonorité étrangère, d'où la parfaite consonance de do, et do^.

Mais cette explication ne serait plus applicaltle aux sons pendulaires, c'est-à-dire dépourvus d'harmoniques; au surplus, si l'on compare entre elles les notes do,, do^, sol^, dot, etc.,

do,: I 't 3 4 5 6 7 8 9 10 il 13 1? ..,

dot: 2 i 6 8 10 13 . ■ . ,

toit-. 369 la

dof. i » n

OD voit que do, et sol, ont plus de 8on!< en commun que do, et dot, et qu'ils en ont moins^ que do, et do,; en sorte que, si l'explication rapportée plus haut était juste, la consonance do,solt devrait être intermédiaire entre les consonances do, do, etdoidot : or cette \ conclusion est contraire aux faits; et, si elle ne l'était pas, elle prouverait précisément que l les octaves ne possèdent pas cette consonance privilégiée dont il s'agit ici d'expliqué I la cause. '

41. On voit que |les deux explications ci-dessus rapportées et qui sont presque contraires l'une de l'autre (la première fondée sur l'inexistence des sons harmoniques, la seconde fondée sur leur exifiteuce) ne sauraient être acceptées qu'avec beaucoup de réserve.

Il en serait probablement de même pour toute explication fondée uniquement sur les particularités des phénomènes matériels sensibles aux physiciens, car la cause de l'étroite parenté entre sons formant octave parait être psychique, plutôt que physique; elle est en nous plutôt que dans les corps sonores ; elle est dans notre intelligence plutôt que dans 1 notre appareil auditif, car lorsque aucune vibration ne frappe notre oreille, lorsque nous '

(') Ainsi le mime intervalle da -^ d'oclais ou ta demi-ton lempdré rsprétentera tantôt le dièia ou la bimol. Mit ~7i lantOl certaines lecoades miaenreB valant -^; or, ce aecond inlervEJle est à pen prèa douait du premier.

(') CarbÙDR théoricieDB conrondent pent-dtra parfois la vibration ordinaire (fig. B du n> 33) avec la vibraUon -j pendalaira (/Ig. ^ da n' 23}, car ils parlant da périodes doubles on de vibrations donbles coi ardiDaire m compotait de deux moitite fooiparables (égales ou symétriques). La figure 5 (n> 10) montre q •tt pai ùnil.

i vibraUon -i a vibration r , qullo'enj

aj PREHIÉHB PARTIK. — CONSONANCE.

pensons seulement les octaves sans les entendre, nous ne cessons point d'apprécier leur parfaite consonance (M.

Quoi qu'il en soit, l'intervalle d'octave est d'une extrême simplicité et les octavesd'une même note provoquent des sensations présentant une étroite analogie; ces notes s'évoquent pour ainsi dire les unes les autres, parce que leurs rapports étant purement binaires sont précisément du type que l'esprit ;sai8il intuitivement. L'analogie de ces sons est telle que des personnes fort versées dans l'art musical confondent parfois momentanément une note avec son octave, alors que pour aucun autre intervalle elles ne pourraient commettre la moindre confusion.

42. Ceci posé, considérons un intervalle quelconque, formé par deux notes ayant pour N les valeurs A et oc. Nous avons vu que, pour que ces notes ne fassent pas vernier, il faut que a soit divisible par A, c'est-à-dire que « soit un harmonique de k; alors, si l'on désigne par K un entier quelconque, les notes considérées auront pour N

Supposons, par exemple, que la note A =1, soit do^ et que K soit égal à i5; la note « 8era»4, quatorzième harmonique de do, :

Noms dot dot dot do\ ti^ do.

Il est bien vrai que si^, étant un harmonique de do„ ne fera pas vernier avecrfo,; mais entre dox et si^ û existe plusieurs octaves interposées, do„ do„ do^, que le son do, évoque, et par l'intermédiaire desquels se fait vraisenitilablement la comparaison entre rfo, et Jt\ ; or sii fait vernier avec toutes ces octaves; la consonance rfo,i(, sera donc loin d'être parfaite.

Pour que la consonance entre A et « fût aussi complète que possible, il faudrait que x fût divisible, non seulement par A, mais encore par toutes les octaves de A interposées entre A et a, de façon à ne faire vernier avec aucune d'elles. Supposons qu'il en soit ainsi; si c'est dans la ;>'**■• octave au-dessus de A que se trouve la note « — K, les diverses notes que nous considérons, rangées par hauteur croissante, se présenteront dans l'ordre suivant :

Mais si K, qui est un nombre entier, est compris entre 2'-' ei 2'', tout en étant divisible par la première de ces deux| puissances de a, il est évident qu'il est égal à l'une d'elles; donc a ne peut être omnicalable à la fois sur A et sur toutes ses octaves que s'il est précisément lui-même une octave de A.

Il suit de là que deux notes ^telles que do, et do„, éloignées d'un nombre quelconque d'octaves {•), n'ont pas seulenient celte propriété de pouvoirêtrecomparées l'une à l'autre à l'aide d'un rapport purement binaire, c'est-à-dire de l'espèce la plus simple, elles ont encore ce privilège particulier de ne former vernier ni entres elles, ni avec leurs octaves (*).

Dans ce qui suit, nous désignerons sous le nom de privilège des octaves cette propriété toute spéciale et l'extrôme consonance qui en est la conséquence.

Assurément les octavesd'une même note ne sont pas identiques et l'on constate facilement

l'acuité croissante des noies do,, dot, do,, Non seulement ces notes diffèrent d'acuité,

mais elles diffèrent même au point de vue des résultats harmoniques qu'elles concourent à former; nous avons déjà fait, en comparant certains accorda (n" 33), une brève allu-

( ' ) Kl ««ci n'B»t point un simple |,liénomèue d« uiBmujta puisqu'il en esl ainsi, non sBulement lorsque nous doui remémorons un sir connu, mais encore lorsque nous Moiposons mentalement un motif alluveau.

(') Celte propriété existe quel que soil n ol notamment pour la valeur de n qui correepond à l'unisson; celui-ci, en effet, n'est qu'un cas particulier do l'intervalle d'octave.

(') Nous verrons aussi plus loin |( 5- parlio, Rattachement») que, quels qae salant do, et do„ les note* [(génllenr et médlaira) auxquelles elles tondent à rattacher sont aaesi des do.