CHAPITRE III. — NOHBREB BT INTERVALLES MUSICAUX

ARTICLE II. — Interrallas lei pliu limploi.

47. Les intervalles que peuvent former entre eux les nombres musicaux sont évidemment innombrables. Nous allons examiner les plus simples.

D'après leur défliiiiion même, les nombres musicaux peuvent représenter soit des N, soit des L. Dans le présent article, nous les emploierons comme représentant des N (').

li résulte du Tableau du n* iS qu'exprimée en N, l'octave do,dot correspond à -» la quinte do,sol, h- et la tierce majeure rfO| m*! à j Donc, si i représente do,, - et - seront sol, eisol,; de môme -. - et - seront mi,, mit et mi,. En définitive, les rapports - et - correspondent respectivement à la quinte octaviée et à la tierce majeure doublement octaviée ; et, si l'on ne tient pas compte des octaves, on peut dire que les facteurs ordinaires 3 et 5 caractérisent respectivement la quinte et la tierce majeure, de même que le facteur privilégié a caractérise l'octave.

48. Cette remarque permet de trouver facilement les noms de notes données par leurs N.

Ainsi, pour les notes correspondant aux nombres inscrits sur la figure 3i (n° V6), on voit que toutes celles qui occupt^nt une même verticale sont des octaves de plus en plus éloignées de la note située au pied même de la verticale (c'est-à-dire située dans le plan horizoutal formé par les axes des 3 et des 5); les notes du plan horizontal sont donc seules distinctes et il suffit de les considérer.

Fig. 33.

la\,

mi',

sib

do

do

sol

mi

Âs

Dans la figure 33, où elles sont reproduites, on voit que ces notes se trouvent disposées

(' ) I^ moUts da ce choix apparaîtront plus loin. ( Voir Article III, n" b1 et sulranta ).

par rangées de deux espèces différentes; les unes s'étendenl de gauche à droite et les autres d'avant en arrière; conformément à, l'usage des algébristes, nous donnerons aux premières le nom de lignes, et aux secondes, celui de colonnes.

11 est évident que les notes s'échelonnent par quinte dans une même ligna et par tierces majeures dans une même colonne. Donc* si l'on donne un certain nom à la note que représente le nombre i, par lequel commencent la première ligne et la première colonne, si on l'appelle ré\^, par exempte, les noms de toutes lee autres noies se trouvent déterminés; ainsi la première colonne s'échelonnant par tierces majeures représente les noies

ré^, fa, la, rfoU, min, solx, six, etc.

Quant aux lignes, puisque les notes s'y éd^eloniléntpar quinte, celles de la première ligne, par exemple, sont

ré^, la^, mt'h, $i^, fa, th., toi, ré, la, etc.

49. Il est évident que, dans un auadrillage ainsi réglé, tout vecteur, c'est-à-dire toute Flf . S4.

flèche telle que A ou B {voir jig. %), représenter» respectivement (à l'octave prés), une quinte - ou une tierce majeure 7; de même des Hèches autrement tracées représenteront, savoir : tl, une tierce mineure r; D, une sixte majeure ï; E, une septième majeure -^y etc (').

50. Ceci posé, examinons successivement les intervalles les plus simples.

( ' ) n eil dvidenl qn'nae flèche donnée en grandeur, direction at leru défiait entitrament an iatarralle anisical cunridéré en lai-meme, mais non paa le* nateg dont il eil Cormâ : calUs-ci dâpeodeDt da la politisa de 1> flèche aur le quadrillage. Ainai, lea quatre ichrimoa d-desioas :

ropréienlsroal toujonra reapeclivemcnt le* qnatfB accord» coanui «00» le» noiua de parfait majeur, par/ait mine Y de dominante, 7* diminuée. Quant aul note» formant ces acCArd», elle» ddpsndroni uniquemsiit ds la haae l'accord, c'esl-i-dire de la nota du quadrillage servant de point de départ su schéma coasidéré.

CBAPITKB 111, — NOMBUKS BT INTEBVALLBe K

. Cas |-| (') : Les termes du rapport d'N i-eprésentant l'intervalle étudié ne contiennent aucun facteur ordinaire. Le rapport a donc l'une des valeurs suivantes :

et représente, par conséquent, les intervalles d'une note avec ses octaves inférieures ou avec son unisson ou arec ses octaves supérieures : ce sont les intervalles privilégiés; ils sont les renversements (*) les uns des autres.

Cas jij : un facteur ordinaire en numérateur, aucun en dénominateur {Jî^. 34-*).

Pui^ique les seuls facteurs ordinaires considérés sont 3 et 5, il n'y a que deux espèces de combinaisons possibles, savoir 3 ou 5 divisé par une puissance quelconque de a. Toutes ces solutions ramenées dans la même octave ( *) se réduisent k deux combinaisons distinctes qui sont : la quinte - , telle que do sot, et la tierce majeure - > telle que do mi.

Cas -i : un facteur ordinaire en dénominateur, aucun en numérateur (fig: 34-c). Il est évident que ces intervalles sont les renversements des précédents, savoir : la quarte t> telle que do fa, et la sixte mineure t> telle que do la\f.

Cas |-f : un facteur ordinaire dans cliaque terme du rapport {^g. H-d)- Il est évident qu'il n'y a que deux combinaisons, dont chacune est le renversement de l'autre, savoir: insiaite majeure =, telle que do la, et la tierce mineure ;> telle que domi\f.

Cas \-l : deux facteurs ordinaires en numérateur, aucun en dénominateur {/îg. 34 e).

(') Les >7mbals8 t«l> que

tMn* respeoliTeiiieDt dans le

(') Ponr UD musiciaa, le

implofds dans les titres de ce DDméro indiqneot la Dombre de facteurs ordinairea cod-

et dans la ddoominatair des inlervallei Mudida. 'ersameat d'uD ioterralle tel que do-mi, ayant pour base do =i et pour sommel

Il = rt c'est le nouvel Intervalle que l'on obtient en prenant pour baae le si

1 del'andeona base; i

si la reaveraeinenl de do, mi,— -ii est mi.do.

d'une façon gdnérale, étant donnée ta fraction qui représente uu intervalle, il BufQt de la renveraar, pula de doubler le résultat obtenn, pour former la fracUon rapréseulsnt le renversement de l'intervalle proposé. ('] Four la sigaiScation des Jîgures de ce numéro, se reporter soit aux explications qui «cumpagnent la figure 3^,

3a PKBHIÉRB PABTIE. — CONSONANCE.

Les trois combinaisons possibles sonl : la seconde majeure |) telle que do ré, la septième majeure ■^,' telle que do si, et la quinte augmentée -zi telle querfo soit.

Ces combioaisous existent toutes dans nos gammes; toutefoi» le troisième rapport ^i notablement plus complexe que les deux autres, ne se rencontre jamais eatre la tonique et l'un des autres degrés ('), mais seulement entre deux degrés autres que le premier, comme, par exemple, entre do et lo/fl, troisième et septième degré de la mineur.

Cas j-| : deux facteui-s ordinaires en dénominateur, aucun en numérateur {Jig. 34-/)-

H est évident que ces intervalles sont les renversements des précédents, savoir : la

septième mineure — , telle que si\ la^ ; la seconde mineure -^, telle que sii do^, et la quarte

diminuée -:, telle que »t mi^„ ces exemples de notes étant supposés pris dans le ton de do.

Ces intervalles existent dans nos gammes, mais jamais entre la ionique et un autre degré (')• Bien que s'exprimant par les mêmes chiffres que les précédents, ils sont beaucoup plus complexes, ainsi qu'on le dira ci-après, eu raison de la composition de leur dénominateur.

Fig, 34-/ Fîg- 34-^-

la

Cas j-j : deux facteurs ordinaires en numérateur, un en dénominateur {fig. i^~g).

Suivant que le dénominateur sera 5 ou 3, le num<^rateur'devraètreg ou a3; il n'y a donc que deux combinaisons, savoir : la septième mineure |, telle que dosi^, et Vaccidenl ^, tel que si\f sii{, lequel se manifeste soit par un dièze, soit par le bécarre d'un bémol.

De ces deux intervalles, le moins complexe | existe entre la tonique et le septième degré de certaines gammes, lesquelles, en raison même de la complexité de leur septième degré, sont un peu moins usitées que les autres. Quant à l'intervalle très complexe -r> il n'existe pas dans nos gammes habituelles, mais seulement dans la gamme chromatique qui, ainsi qu'on le verra plus loin, est plus riche en ressources, mais aussi plus complexe que les gammes ordinaires.

Cas j-j ; un facteur ordinaire en numérateur, deux en dénominateur {fig. 34-A), 11 est évident que ce cas comprend deux solutions correspondant aux renversements des combinaisons du cas précédent, savoir : la seconde majeure — . telle quefi|?(/o, elTacctdenl ~, tel que Ji'qs/I?, lequel se manifi'ste soit [larun bémol, soit par le bécarre d'un dièze.

( ' ) Il ne s'agil ici que de nos gammes, ^t non de to (') Voir le renvoi precédenl.

» possibles. IVoir le Tableau donné ci-dessus a* 15.)

CHtPlTHlf III. — NOMBRES ET INTEIIVALLEB MUSICAUX. 33

Ces intervalles se reaconlrent dans nos gammes, mais jamais entre la tonique et t:n autre degré ('); le second des deux, qui est le plus compleice, n'existe que dans la ^amme chromatique.

Kig, Sj-A. Fig. 3i-i.

Cas >~\ : deux fadeurs ordinaires dans chacun des deux termes {fig- 34-*).

Les deux solutions possibles correspondent évidemment au rapport do 9 à ^5 ou inversement; chacune d'elles est donc le renversement de Pautrc, savoir : la quarte augmenlée -51 telle que mi^la, et la quinte diminuée —:, telle qaemisi^.

Ces intervalles complexes existent dans nos gammes, mais jamais entre la tonique et un autre degré {')■

Autres cas. — Il est évident qu'en continuant à former de nouveaux intervalles suivant la même loi, on aboutirait à des résultats de plus en plus complexes; on rencontrerait , notamment, celui de 'h 7 valeur de ta seconde mineure séparant les degrés VI et VII de

certaines gammes (gammes pseudiques); ou encore celui (

valeur de la second»

dite augmentée, séparant les mémos degrés VI et VII {') de certaines autres gammes (gammes ornées). Mais on ne rencontrerait plus aucune valeur correspondant aux intervalles qui séparent la tonique des autres degrés.

Il est facile, en se reportant au Tableau du n" 15, de vérifier que les valeurs de ces intervalles ont déjà été toutes formées (').

( ' I Voir le renvoi prdcëilcnt.

(') Voir le renvoi précédent.

(') On verra plus loin qae si celte Becoode est celle qui peut prësenler les valeurs les plus diverses, c'est parce qu'elle est torrai» par les degrés VI et VII qui sont eux-mêmes susceptibles de prendre des valeurs diverses puisqu'ils ■ont médianles daus les échelles auxquelles ils ap partie anent.

Ité vu précédemment que ia lecteur peut se figurer les nombres musicaux ccmmo repré- J eau à (rois dimensions doni ta figure 3:1 (n° 46} montre une portion. Mais, comme toi:s T les points silnés sur une mAms vcriicale ne représentent que des octaves d'une même note, ou peut senveut, grâce su privilège des octaves, se dispenser d'étudier le réseau lui-même dans l'espace, et se loruarii considérer le quadriltago suivant lequel il se projette dans le plan des 3 et des 5. C'est dans ce quadrillage que sont tracées les neuf figure* qui précèdent.

Hais, si le lecteur est familiarisé avec les sciences chimiques, il préférera peut-être se représenter les nombres musicaux comme des corps composés, dans une chimie oà les corps simples seraient les lacteurs i, 3, 5, lesquels se réduisent à deux ai l'on considère l'unilë comme la puissance zéro de l'un des deux autres facteurs.

Outre ces facteurs impairs, il existerait aussi un facteur pair, i, dont le principal rdie serait de différencier lus

s par les points d

lit un composé en proportions définies des nombres simples précités et aurait une formulo

Tout nombre musical s< telle que

analogue à celles qu'emploie la Chimie.

Il est vrai qu'en Cfainiie les formules de ce genre svmbulisent l'addition des parties consti tuantes, tandis qu'ici la Ibrmule i^S'âr sifmboli Serait leur molli pli cal ion. Mais si, au lieu des nombres musicaux cux-méntes, on considère leurs logarithmes, c'es|.à-dire les intervalles musicaux (qui sont proportionnels aux logarithmes), la formule musicale 3'i>'>7 prend comme les formules chimiques une signification addjlivc

PHBHliBB PAUTIE. — CONSONANCE.

51. Daos le Tableau suivant, toutes les combinaisons que nous venons de former se trouvent récapitulées en deux catégories : la première contient tous les intervalles compris entre la tonique et d'autres degrés de la gamme; la deuxième catégorie comprend tous les autres intervalles formés plus haut (').

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