CHAPITRE I

GÊNËRAUTÉS.

ARTICLE I. — DéfinitiOB da raUacbement.

209. Supposons qu'un musicien entende isolément un groupe de sons tel que do mi ou sol si ré fa; par hypothèse, l'accord entendu, consonant ou dissonant, n'est précédé ni suivi d'aucun autre son pouvant contribuer à établir une tonalité; néanmoins, le musicien rattachera inconsciemment l'accord entendu A une certaine tonalité qui, dans le cas des deux exemples précités, sera presque sdrement celle de do naturel majeur.

Nous désignerons sous le nom de rattachement OcBlie opération inconsciente qu'effectue ainsi l'esprit de l'auditeur. Le rattachement n'est donc pas un acte absolument volontaire, puisqu'on l'exécute en cédant à une tendance instinctive; par suite, il peut être considéré, au moins dans bien des cas, comme une sorte de phénomène naturel susceptible d'être régi par des lois simples.

210. Dans la recheixAe de ces lois, qui fait l'objet de la présente Partie, on rencontrera diverses difficultés dont les principales tiennent aux deux causes suivantes :

1° Le musicien < qui rattache >> n'est pas soumis à l'influence de la seule nature; il doit aussi compter avec l'habitude, qui serait, dit-on, une seconde nature; cette nature « artificielle > et la nature < naturelle ■ peuvent faire sentir leurs influences dans des sens divergents ;

a" Héme quand l'habitude ne fait pas sentir son influence, le problème du rattachement peut comporter différentes solutions ; lorsque le cas est peu complexe et admet une 8olu> tion notablement plus simple que les autres, c'est celle-là qui prévaut ; mais, si le cas est plus complexe et admet, non pas une solution très simple, mais bien plusieurs solutions relativement simples, le musicien qui rattache se trouve soumis à des « attractions » différentes; donc un même groupe de sons pourra être « rattaché ■ différemment par deux musiciens différents, ou même par un musicien unique opérant à deux époques différentes. Le lecteur ne devra donc pas s'étonner si son instinct musical le porte, pour quelques-uns des cas particuliers examinés ci-après, tantôt à accepter la solution indi-

(') Au vDura Ju Chapitre précédent, ttéiolutiont, oi ■ renvoyé rréqDemniaDt à divers passages de ta j- Partie, Battachtmenti . Voir nolamment les renvois des n"* 196, !0I, 307 el lOS. Les rattachernenU n'en sont pas mnins forl difftrenls des résolntions. Les différences qai disUngueut ces deux ordres de choses seront exposées ci-apris (n'" 318 et suir. ), ainsi que les circonstantM» qui ont peut-être coudait coriains thâoriciena à les confondre.

ija CINOl'làUB PAKTtE. ~ RATTACIIBUBNTS.

quée, tantôt à la remplacer par une auti'e lui paraissant plus naturelle, laquelle d'ailleurs . sera peut-être bientôt remplacée dans son esprit par une troisième, si de nouvelles tonnlités ont fait sentir leur influence.

C'est qu'en effet les rattachements, lorsqu'ils cessent d'être très simples, sont au premier rang des phénomènes musicaux susceptibles, comme on l'a dit plus haut ('), de pe présenter sous des aspects différents, suivant les circonstances concomitantes.

211. Dans les rattachements, notre oreille entend e.r abrupto (c'est-à-dire sans qu'aucune lonajité ait déjà été établie) un groupe dénotes

et les rattache instiiictivement à une certaine note de référence

choisie tantôt dans le gioupe des notes entendues, tantôt en dehors de ce groupe, mais toujours de telle sorte que les rapports des notes entendues à la note de référence soient aussi simples que possible.

Si le calcul montre que plusieurs, notes Ri, Ri, ... répondent à cette définition, on constate auspi que l'oreille rattachera presque toujours, tantôt à l'une, tantôt à l'autre des notes B„Rj

212. Parfois cependant il semblerait qu'il y a divergence entre le rattachement que fail l'oreille et celui qu'indiquent les nombres. Ainsj, supposons qu'un musicien ait produit sur son instrument les notes /<»> et mi qui, en da ipajeur orné, correspondent à N : i6/a.'»: ces notes devraient, comme nous le verrons plus loin, rattacher à rfo (N — ao); cependant l'auditeur qui perçoit ces sons ex abrupto adoptera d'instinct pour note de référence mi (N=; 25) au lieu de do. La possibilité de cette substitution de mi à do est évidente, puisque la quinte augmentée la^^mi— ^ diffère très peu de la sixte mineure jo/fmi— -rlaquelle rattache eifectivement à mi. Et non seulement l'auditeur pbut interpréter le ^;; comme un sols et résoudre en mi au lieu de do, mais il doit même presque sûrement opérer cette substitution: en effet, l'oreille n'est guère influencée (au moins en général) par les différences légères existant entre deux notes enharmoniques telles que /a) etso/s; elle l'est d'autant moins que ces différences ne sont pas toujours très rigoureusement observées sur les instruments à sons variables, et ne le sont bien entendu jamais sur les instruments à sons fixes ; aussi l'auditeur intcrprète-t-il tout naturellement les sons qu'il entend ex abrupto comme étant les notes correspondant à la combinaison numérique la plus

simple; or, dans l'exemple considéré, cette combinaison est la consonance sols mi= ■:, et non point la dissonance la'^ mi= — que l'exécutant songeait, par hypothèse, à réaliser; il n'est donc pas étonnant que l'auditeur rattache à mi et non à do : ainsi cette sorte de contradiction entre la pratique et la théorie n'est qu'une contradiction apparente, et prouve simplement que l'oreille permet plus rapidement que les nombres de trouver le rattachement correspondant au maximum de simplicité.

213. Dans cette recherche de la note de référence, ou du nombre R, il ne sera point nécessaire d'examiner un à un tous les nombres de la numération arithmétique, mais seulement ceux de la numération musicale, c'est-à-dire les nombre musicaux dout il a été parlé plus haut (voir Consonance, n" 44).

Encore parmi ces nombres suffira-t-il parfois de considérer les deux qui sont définis ci-après sous le nom ûq géniteur (n" 214) et de médiaire (n* 216), car ils exercent souvent

( ' j Voir le rcDvni du n° ISO, Dinonance.

CHAPITBII I. — «6NÉBALITÉS. l43

une inQuence prépondéranle dans les rattachements, savoir : le géniteur, quand lesN des notes entendues ex abrupto sont petits, et le médiaire, lorsque ces N sont de petits carrés.

Donc, avant d'aborder l'étude des rattachements, nous dëlinii-ons le géniteur et le médiaire.

ARTICLB II. - GéniUnr.

21'4. Dans son Traité d'harmonie, Rcber (page 6) fait observer très justement que. quand on entend un ensemble de notes ne comprenant pas de degrés de nature à déterminer irrécusablement le mode, on a une tendance instinctive à admettre le mode majeur de préférence au mode mineur.

t La raison de cet effet, dit Reber, tient à ce que, le mode majeur étant seul naturel et parfait, le sentiment musical n'a pas besoin d'être contraint à le recevoir, tandis que le mode mineur, étant conventionnel et imparfait, exige des conditions non équivoques cl absolues pour s'imposer, »

Cette explication ne parait pas devoir être acceptée sans réserves. Il est bien vrai que, si l'on entend ex abrupto la tierce la do, on la rattachera à l'échelle majeure /a plutôt qu'à l'échelle mineure la; l'échelle majeure, en effet, est plus simple que l'échelle mineure, mais aucune des deux n'est plus conventionnelle que l'autre, les échelles des deux modes ayant, comme on l'a vu, des genèses naturelles toutes semblables.

Une autre explication, donnée par certains théoriciens, consiste à faire observer que les sons /«j et rfo, vibrant simultanément forment un son de différence qui n'est autre que la note/rt,, en sorte que la tierce la do évoquerait l'accord parfait de fa plutôt que celui de la. Cette remarque est bien exacte, mais elle ne suffît pas à expliquer pourquoi nous rattachons la do b. fa plutôt qu'à la, car nous rattachons ainsi, même quand le son de différence fa est trop peu intense pour impressionner notre oreille, et même quand il ne peut pas se produire, notamment lorsque les notes d'où il proviendrait font partie, non d'im accord, mais d'une succession mélodique, ou encore lorsque ces notes ne sont pa^ entendues, mais seulement pensées.

215. Il semble que le principal motif pour lequel nous rattachons ainsi est le suivant : Supposons que les notes entendues ex abrupto soient le la normal /«„ faisant /|35 vibrations par seconde, et do^, tierce mineure du précédent, faisant 7. x 435 = jaa vibrations

dans le même temps.

Le plus grand commun diviseur de 435 et de 533 est 87 et l'on a :

lat = 87 X ') do^ = 87 X 6.

Ceci posé, remarquons que, quand nous entendons la tierce /a, do^, nous percerons

trois phénomènes périodiques, savoir : i** la note /a, qui fait cinq périodes pendant — de

seconde; a" la note do,, qui fait six périodes dans le même temps; 3° la tierce /a, do,,,

caractérisée pour ainsi dire par le vernier au sixième représenté ci-dessous, c'est-à-dire

Fig, ng, ti-i ~-, — . . .— ^ 1

par la concomitance de deux mouvements vibratoires dont les fréquences forment le rapport T- Ce dernier phénomène fait évidemment une période pendant — de seconde; il

produit donc une sensation analogue à celle que procurerait la note ayant même fréquence de 87 périodes par seconde ; par suite il évoque cette note qui est précisément /a, .

ij4 CINQlilÉllE PARTIB. — RATTACHE M KNT8.

La figure suivante monti'e quelles sont les fréquences relatives de la note /a, et des deujt notes /o, et do^ par lesquelles /a, est évoqué :

la,. 17. 5

dOj- BTnG fo -tTit

Lat et rfoj correspondent à des harmoniques de /a, possédant des rangs rapprochés; par suite, leui'S périodes se comparent facilement à celle de /a,, dont elles sont des parties aliquotes ; donc elles rattacheront aisément À /a,, ou bien, en raison du privilège des octaves, à /o,, à /«(, etc.

Ceci posé, nous définirons ainsi le géniteur : la note qui a pour fréquence le plus grand commun diviseur des fréquences des deux notes proposées. Il serait évidemment équivalent de dire que le géniteur est la plus haute des notes admettant parmi leurs harmoniques les notes proposées (')■

11 suit de U que la note/t»,, à laquelle nous avons vu qu'on rattachait les notes la, et rfoj considérées dans l'exemple précédent, n'est autre chose que le géniteur de ces notes.

D'une façon générale, si X et Y sont deux nombres représentant les fréquences de deux notes et admettant G comme plus grand commun diviseur, on aura :

\ = Gx

^ et^ étant évidemment les N des notes considérées. La note de fréquence G sera le géniteur des notes X et Y ; et, si cellea-ci sont en rapports simples, c'est-à-dire si x et / sont petits, l'audition ex abrupto des notes X et Y évoquera à l'esprit la note G ou ses octaves.

N.-B. — Pour simplifier l'exposition, on n'a considéré, dans ce qui précède, que le cas où les notes entendues ex abrupto sont au nombre de deux seulement; mais, quel que soit le nombre de ces notes, leur géniteur se définit toujours de la même manière ; c'est le son le plus aigu admettant parmi ses harmoniques toutes les notes proposées ; ou bien c'est la note ayant pour fréquence le plus grand commun diviseur des fréquences des notes proposées; ou bien encore, si ces noies sont représentées par leurs N, te géniteur est la note correspondant à N — i, en sorte que toute puissance de a est une octave du géniteur.

ARTICLE III. — Hédiùre.

216. Dans le cas où deux notes ont des N proportionnels k deux carrés, leurs fro^ quences X et Y et leur géniteur G sont liés par des relations de la forme :

Y = Gj-

OÙ les carrés x^ et y* sont évidemment tes N des notes considérées.

Il existe alors une note dont la fréquence est moyenne géométrique entre les fréquences X et Y, ainsi que, dans la figure ci-dessous, le rectangle xy est moyenne géométrique entre les carrés x* et /'. Cette note, dont la fréquence est

M = G.ij, sera désignée, dans ce qui suit, sous le nom de médiaire.

{') C'Est tloDC la plus haute des notcii nv faiMnt vernier avec bucudo des nales propoajes, c'est-à^lire ommeatable sur loate* ces notes. (Voir Consonance, n' Î5).

CIMPITRR I. — ck;

On voit que le niédiaire est aussi l'un des harmoniques ilu géniteur 0; en outee, il jouit de la propriété de partager par moitié l'intervalle des notes X et Y, car, de sa déitiiition XY = M*, il résulte évideranienl que les intervalles îî et ^ sont égaux.

Exemple : Considérons les deux notes dont les fréquences sont ;

Les

N sont 4 et 9 ; leur moyenne géométrique est s/^x(}-= ti, et le rnèdiaii-e est doi = V*-,! = 87 X 6.

La distance de ftij à soli est de deux quintes; et rfo„ médiaire de ces deux noies, est ;ï une quinte de chacune d'elles; enfin, le géniteur /a, des deux notes /a, et toli est aussi celui des trois notes /a,, doi et so/,.

On verrait de même que ,îo/i = 783 = 87 x <) et /as — iSga — 87 x 16 ont pour médinire (/oi-rio4i — 87 x 12, situé à une quarte de chacune des notes sol^ el/a,.

Le médiaire, quand il existe, se trouve en rapports relativement simples avec les deux notes dont il fonne pour ainsi dii-e la moyenne géométrique ('); il peut donc avoir dans les rattachements une influence de même ordre que celle du géniteur.

217. Parfois, le médiaire n'existe pas, mais les deux notes considérées admettraient un médiaire si l'une d'elles était remplacée par son octave. Ainsi /a, et so/, n'admettent pas de médiaire, mais /<r, et .t^/, admettent cfo,; de même /a, et so/, admettent rfQ«; et, s'il

do-

n'existe pas de note divisant par le milieu (*) l'intervalle /ir, sol^, en revanche celle seconde majeure occupe juste le milieu de l'octave tloi do^, en sorte que les distances des notes fa, et sois aux extrémités correspondantes de l'octave sont toutes deux égales à une quarte ; on pourrait donc dire que ces deux notes admettent, non un médiaire, mais une ■ octave médiaire >. '

218. Remarque. — Nous avons vu au n" 216 que raudition de l'intervalle ^. carré de - ou double quinte, pouvait évoquer la note médiaire l> (/«, et jo/, évoquant do^); et

(') En l'iTi'l, \fi rapport» <][■" nulcs uilvrs qui^ le rapport entru le» nnluH X

(') C'c«l Ki'iili-nicnl dnne la gauiuie l niiJÎLii itp l'inli-rtallu fa sol, G.

nt Y à leur luiidtaiiii ciintivani

. Y ollcs-mâmci.

iKsdc pui- le lpni[i<'miiiont qu'il

: fais ntuiiiK dn facli^u

l/tC CINOt'IÉHK PARTJK. — HATTjtCHBMBKTS.

que (le iiièiiie l'aiidilioii lie rintervalle — i carré de r. ou double quarte, pouvait évoquei'le médiairo 19 (soli et /«[ évoquant dOt).

Ceci résulte de ce que ces intervalles dissonants - et — ne peuvent être confondus par l'oreille avec aucune consonance. Mais l'audition de l'intervalle y-> même réalisé avec une parfaite rigueur, n'évoquera pas son itiédiaire 90, parce que l'oreille ne comprendra pas qu'il s'agit de l'intervalle — . égal à la somme de deux tons — consécutifs, et inusité en musique; l'oreille irHerpréiera les sons entendus comme foriiiant L'intervalle très peu différent et très usité ^1 c'est-à-tlire -* ou tierce majeure, somme de deux tons | et — ■ l'>i sorte que l'oreille, négligeant l;i dissonance rfo, «n'a— N : Si/ioo, laquelle rattacherait au médiaire /t-j (X -- 90), ne s'occupera que de la consonance do^mii = N : 4/5, laquelle rattache àt/o, (N — 4), double octave du géniteur rfu, (N — t).

De même, si l'oreille entend e.c abrupto deux notes lonnanE l'intervalle ^ dit quinte augmentic. elle négligera, comme on l'a dit plus haut (n" 212), le comnia-^(') qui sépare la dissonance ^ de la consonance -: ou sixte mineure, et, au lieu de la dissonance -:* telle que la\f mi par exemple, elle entendra une consonance telle que la-fja} ou soli mi, et la rattachera tout naturellement ;'i une échelle telle que fdf la\f doy ou

Mais, si les notes la^ mi sont entendues dans des co[iditions no conduisant pas à las interpréter comme une consonance, par exemple dans un ensemble tel que la'} do mi, qui ne peuf appartenir à une môme échelle, l'intervalle la'} mi pourra être perçu avec sa valeur y et évoquer par suite le mëdiâire do — y/a.j x id =ao; alors le rattachement de

l'accord la'y do mi au ton de do sera, comme on le verra plus loin, l'une des solutions les plus naturelles du problème.

{ ') Les petits inloi'ïBllus upix'lcs cunimas srnint définis i-{ liilctilns ci-iippe». 7' Purfii*. Iittervallet.