CHAPITRE IV
(y^. i58) par
HATTACHEMBKT SE ylATBB, CINO ET SIX SONS.
les nombres musicaux, ou les points du réseau de l'espace qui représentent les notes données; de même, désignons respectivement par
les nombres musicaux a, p, y. etc., débarrassés des facteurs 2 qu'ils contenaient, ou bien les projections des points a, p, -p, etc. sur le plan des 3 et des 5.
Pour fixer les idées, nous supposerons dans ce qui suit que les nombres A, B, C, . . -, L, ainsi énumérés, se trouvent rangés par ordre de grandeur croissanle (')- Marquons ces nombres et les points correspondants sur la figure suivante, laquelle n'est autre chose que le plan des 3 et des 5 de la figure précédente, reproduit sans les déformations que causait la perspective :
Fig. 1%
5* fi*
Tf
Soil R le nombre de référence auquel les nombres A, B, C, D^ E, . . . , L se comparent le plus simplement. Noua allons démontrer que ce nombre R est situé dans le rectangleenveloppe PQST formé par les lignes du quadrillage qui englobent tous les nombres donnés; nous verrons ensuite que ce nombre R n'est pas situé au delà de la ligne d'équivalence LL' menée par le plus grand des nombres proposés ('), d'où il résultera que K
(') Ce qai, bioD entundu. n'impltqiio iiulloinent quo It wnl r»Dgé« dana Tordro correspondant
iDËmes en croissant quand its
{'JLes lignes d'équivalence sont li's l {Coiuonance, renvoi du n" 46). Ici. les pri> proportionnels aux logarilbnie^i di' K t putilives de) axes des 3 et dts 5. [I '-si v valence est la plus étoignéo do l'urïgiDo lio!
aeci sur le plan ili' 1» ligure dus piaus d'd(|uï valence délinis plus haut espacements entre K^* puissances du 3 et les puissances do r, ayanl i^të do 5. tus ligues d'équivalente iwnt des droites coupant à iâ' tes purlîea ident <|UP, do doux nombres, le plus grand est celui dont la ligne d'équi-
l6r> tlNQUIKUB PARTIK. — RATTACHEMENTS.
doit être situé daas le pentagone I^LL'O, ou peotagoiie-eDveloppe, et, par suite, doit correspondre à un nombre n'excédant pas L.
859. Pour montrer que le nombre R est contenu dans le rectangle-envoloppe PQST (ou sur son périmètre), nous ferons voir qu'il ne saurait être situé en dehors ;
Le nombre H ne peut pas ôtre au-dessous du rectangle, car, s'il était placé comme X', il est facile de reconnaître que X, obtenu en remontant X' à la hauteur du rectangle-enveloppe, donnerait un rattachement plus simple.
Eu etTet, les rapports
ne pourraient contenir le facteur 5 qu'en dénominateur, mais non en numérateur, et, comme X' est égal au produit de X par une certaine puissance positive de 5, les rappoi b-<
ne diiTéreraient des précédents que par la présence en dénominateur de facteurs 5 plus nombreux, et seraient, par suite, plus complexes.
De même, le nombre R ne peut être situé au-dessus du rectangle enveloppe, car, s'il était placé comme Y', il donnerait un rattachement moins simple que le rattachement au nombre Y, obtenu en abaissant Y' à la hauteur du rectangle enveloppe.
En effet, les rapports
ne pourraient contenir le facteur 5 qu'en numérateur, mais non en dénominateur; et, comme Y' est égal au quotient de Y par une certaine puissance positive de 6, les rapports
ne différeraient des précédents que par la présence en numérateur de facteurs ô plus nombreux, et seraient, pai' suite, plus complexes.
En raisonnant sur les puissances de 3 comme on vient de le faire sur les puissances de -î , on verrait de même que R ne peut être non plus ni à droite, ni à gauche du rectangleenveloppe : il doit donc être dans ce rectangle (ou sur son périmètre ).
260. Montrons maintenant que le point R se trouve dans le pentagone-enveloppe défini plus haut (ou sur son périmètre); nous ferons d'abord les trois remarques suivantes :
1" Par rapport aux carreaux dont se compose le quadrillage du plan des 3 et des -'i, le centre W du rectangle-enveloppe peut occuper quatre espèces de positions : ou bien en W,,
au centre d'un carreau ; ou bien en W», au milieu d'un cùié parallèle à l'axe des 3 ; ou bien en W,, au milieu d'un côté parallèle à l'axe des 5; ou bien enlln en W4, sur l'un des
