CHAPITBK IV. HATTACHBIIBNT DE QUATRE, CINQ ET 8IX 80N8. 1C

points du quadrillage. Dans ce dernier cas senlement il correspond à une note réelle, de sorte que trois fois sur quatre (en moyenne) le nombre W est incommensurable, a" Soient U et U' deux nombres symétriquement disposés par rapport au centri' W du

rectangle ; il est évident que, si W contient a facteurs 3 et |3 facteurs 5 de plus que U ( et |3 étant d'ailleurs positifs ou négatifs et entiers ou fractionnaires), on aura

Soient maintenant deux autres nombres H et H' également symétriques par rapport à W ; les rapports de R et de R' à W seront de môme forme que les précédents, et, si y et S sont des nombres analogues à a et {3, on aura de même

Formons maintenant les rapports de U etde U' à R et à R'; nous aurons

1 U I ' l R' ~ aïxjs"

Ainsi, quel que soit celui des deux nombres R et H' qu'on prenne pour nombre de référence, les rapports obtenus en leur comparant U et tî' auront les mêmes termes, mais ceux-ci seront permutés entre eux, les numérateurs afférents à R devenant les dénominateurs aiférents à R', et inversement. Mais de ce que nous avons vu plus haut, nolammeni dans la Première Partie {Consonance, n" 58 et suivants), il résulte que, quand deux fraclions sont inverses l'une de l'autre, celle qui correspond à l'intervalle musical le plus simple est celle qui possède le dénominateur le plus simple.

Usuit de là que si, comme le suppose la figure i6i, R est plus près que R' du géniteur, il fournira des rapports plus simples et devra éli-e préféré à R' comme nombre de référence.

3" Représentons encore par PQST (voir Jlg. 163) le rectangle-enveloppe contenant les nombres proposés, par L le plus grand d'entre eux, et par W le centre du rectangle; appelons LL' et VV les lignes d'équivalence passant respectivement par L et par W ; enfin désignons par 3" et 5» les deux dimensions du rectangle. Il est évident que T = P x 3"" x .j" est le plus petit commun multiple de tous les nombres du rectangle, et que P est leur plus grand commun diviseur, ou géniteur des nombres proposés. Quant à W, il est pour ainsi dire le médiaire du rectangle, car (s'il correspond à une note réelle) il est le médiaire (')

<'tOulV

. ~~ KATTACHBIIENTS.

de lout couple de deux points, tels que P et T ou Q et S, symétnquement placés par rapport à lui.

261. VoyoDS niainlenant quelle est l'influence de la place occupée par le nombre de référence R sur la plus ou moins grande simplicité des rapports

Il' R' '\V ' ■' II'

Cas R=: P. — Si R coïncide avec P, tous ces rapports ont des dénominateurs de simplicité maxima, car, Pùtant géniteur, tous les quotients g. â' |7' ■■■' élc, sont entiers, c'est-à-dire ont pour dénominateur l'unité; en revanche, les numérateurs ont la complexité maxima.

Cas Rir:T. — Si R coïncide avec T. ce senties numérateurs qui acquièrent la simplicité maxima, on devenant tous égaux à l'unité; les dénominateurs ont la complexité maxima.

Cas R :::; W, ^ Si II coïncide avec W, les numérateurs et les dénominateurs des rapports ont des complexités intermédiaires entre celles qu'ils présentaient dans les deux cas extrêmes précédemment envisagés; par exemple, en ce qui concerne les quatre angles et le centre du rectangle, les valeurs des fractions afférentes aux diverses positions de R sont les suivantes :

Viikurs lies r.in[>i>its

(s) (sj iJ) (m) (»

Un définitive, l'adoption de W comme nombre de référence répartit également entre les termes extrêmes la complexité inhérente aux dimensions du rectangle-enveloppe, el. comme la simplicité des dénominateurs a plus d'importance que celle des numérateurs, il s'ensuit que R devrait se trouver entre P et W, si les nombres donnés à rattacher com-

CHAPITRR IV. - RATTACllBUENT DK QUATRK, CINQ KT SIX SONS. lO>|

prenaient, soit tous les nombres du rectangle enveloppe, soit, plus généralement, une série de couples de nombres deux à deux symétriques par rapport à W (').

Autres cas. — Mais, !es nombres proposés pouvant être répartis très inégalement dans le rectangle, voyons comment varient leurs rapports à H, lorsque ce dernier nombre, quitUint la position W, vient occuper d'autres positions quelconques telles que les points /', g, s, t. situés respectivement dans les quatre quarts du rectangle PQST. Il est manifeste que, si

Fig. i63.

l'on représente par f^ et v des exposants de valeur variable, mais essentiellement positifs, les rapports de W aux quatre points p, q, s, i seront de la forme

c'est-à-dire que les rapports des nombres pro-

II est manifeste aussi que - — rr-, x ~,

posés à une valeur particulière de R, telle que U =:/>, peuvent s'obtenir en partant des rapports afférents à la valeur centrale R = W, et en les multipliant tous par le

quotient —

Or, quand R = W, la complexité inhérente aux dimensions du rectangle est, comme on l'a vu, également répartie entre les numérateurs et les dénominateurs; donc, si R passe (le W kp, tous les rapports venant à ûtre multipliés par — = — '— , tous les dénominateurs se simplifient aux dépens des numérateurs; si R va au contraire en (, c'est précisément l'inverse. Mais, si R va en y ou en s, toute fraction qui se simplifie par rapport à l'un des deux facteurs 3 ou 5 se complique par rapport à l'autre, el inversement.

En déUnitive, quand R se déplace dans le sens de la diagonale QS, toute simplification par rapport à l'un des deux facteurs ordinaires est compensée par une complication par rapport à l'autre, tandis que, quand R se déplace dans le sens de la diagonale TP, les complexités des fractions par rapport aux deux facteurs 3 et 5 diminuent ou augmentent simullauément. Ce so:it donc les déplacements de ce genre qui ont l'influence la plus sensible sur la plus ou moins grande simplicité des rapports ïi' jT' ■?' etc. Cette influence est mise en évidence par la figure suivante, montrant que toute position de R détermine dans le rectangle-enveloppe deux régions intéressantes, indiquées par deux espèces de hachures, les unes simples, les autres croisées. Dans la. région aux hachures simples, ou région simple, les dénominateurs sont simples (au détriment des numérateurs), et dans la région

( ' ) Cei-i d'oillciu's u'

0 la deuxième roiusrquo du

17" CIS'QUIEyE PARTIK. — HATTACHEHBNTS.

aux hachnres croisées, ou région croisée, des dénominateurs sont complexes (à l'avantage

des numérateurs).

26S. Ceci posé, remarquons que, quand les sons donnés à rattacher Ront surtout groupés près de l'angle P ou le long de ses cotés (ensembles les moins dissonants), le point K tend à monter au-dessus de VV {^g- '^^), de façon à réduire la région croisée dans laquelle les rapports à R ont des dénominateurs complexes. Dans ce cas, R étant au-dessus de VV, est (ï/oz-fioW au-dessus de LL'.

Vig. ifij.

Fig, 166.

Dana le cas inverse, c'est-à-dire quand les sons à rattacher sont au contraire plutôt groupés vers l'angle T, ou le long des côtés de cet angle, il se peut que H descende au-dessous de VV l/ig. 166), d'autant plus que peut-être aucun des sons donnés ne se trouve dans la région croisée.

Toutefois, dans ce mouvement de descente, R ne dépassera pas L L', car, plus il s'en rapproche, plus nombreux sont les sons donnés qui se trouvent englobés dans )a région croisée et plus rares sont, au contraire, les sons compris dans la région simple ( ' ) ; celle-ci se réduirait même à rien si R atteignait LL'; donc R ne'dépassera jamais cette ligne, et par suite sera toujours compris dans le pentagone-enveloppe (ou situé sur son périmètre).

Cette proptiété du pentagone-enveloppe restreint beaucoup la quantité de nombres musicaux à prendre en considération dans la recherche du nombre de référence fournissant les résultats les plus simples. On trouvera par la suite plusieurs exemples de rattachements exécutés par la méthode du pentagone-enveloppe.

(■) Ëii nutro. qaaDd R ne rapprocho do T. les rapports HfFdronts i S ot Q sa compliqiiont du plus on plus. Oi'. >i Kranpt.s qu'on les suppow dniis l'anKlo T, il faut toujours bien odinettru qun les bous donnés k rattachur •'nniproniii-Dt au moins un» note telle que Q ot uno nota tollo quo S ; s'il n'en était pas aiDsi; on oITct. lo rectangle aurait nn« hantanr moiodro que TQ ul uno Inrgour moindre quo TS.

CHAl'ITItB IV. - - kATTACilEMBN'T DB QUATHi;. CINQ ET E

Rattachements par les NOibBSS musiuaux.

263 . Ce procédé, que nous avons déjà appliqué plusieurs fois, consiste, comme on l'a vu, à comparer les nombres donnés eux-mêmes

au plus grand d'entre eux et à tous les nombres musicaux compris entre ce pliis grand nombre donné et son octave grave (c'est-à-dire sa moitié).

Nous allons d'abord montrer sur un exemple que ce procédé est aussi général que le préocdent; nous comparerons ensuite les deux procédés.

Soient à rattacher les nombres donnés

dont les projections sur le plan des 3 el des 5 sont respectivement

H, le plus grand des nombres donnés (réseau de l'espace) est 48, et le plus grand des nombres projetés (quadrillage du plan des 3 et des 5) est ^i; le plus grand nombre du réseau est toujours supérieur ou égal au plus grand nombre du quadrillage, puisque ce dernier est lui-même égal ou inférieur à l'un des nombres du réseau (')■

i;> CINQUIEHB PAHTIE.

SI l'on comparait les nombres donnés au plus grand d'entre eux, 4^> et à tous les nombres musicaux inférieurs (c'eat-à-dire à tous les nombres situés au-dessous du plan d'équivalence passant par 4S)i on comparerait notamment ces cinq nombres donnés aux sept nombres musicaux compris dans le pentagone-enveloppe, et par suite au nombre de référence fournissant les rapports les plus simples, puisque ce nombre de référence est dans le pentagone ; mais la comparaison & ce nombre de référence se trouvera faite également si l'on se borne à comparer les cinq nombres donnés aux nombres musicaux compris entre 4^ et son octave grave a4i car les nombres musicaux inférieurs à 24 ue sont évidemment que des octaves graves de nombres compris dans l'octave s'étendant de i4 à 48 ' le procédé par les nombres musicaux conduit donc toujours sûrement à prendre en considération le nombre de référence susceptible de fournir les rapporte les plus simples.

264. Comparé an procédé précédent, le procédé par les nombres musicaux a l'avantage de ne pas exiger la roonaissance des notions relatives au pentagone-enveloppe, mais l'emploi de ce pentagone conduit bien plus rapidement au but. II est facile de le constater sur l'exemple précédent; en effet, si nous cherchions par les nombres musicaux le rattachement des nombres N : 37/3o/4o/45/48, nous serions amenés à former les rapports de ces cinq nombres donnés aux huit nombres musicaux 2^, a5, 27, 3o, Sa, 36, 4» et 45; le procédé parle pentagone-enveloppe exige seulement que l'on forme les projections des nombres donnés :

car un rapide examen de ce pentagone montre que le nombre de référence cherché ne peut être ni sur la première colonne (parce que le rapport afférent à 27 aurait un numérateur trop fort), ni sur la troisième ou sur la quatrième colonne ( parce que le rapport afférent à 5 aurait un dénominateur trop fort) ; le nombre de référence cherché est donc l'un des deux nombres 3 ou i5 de la deuxième colonne. De ces deux nombres, il faut choisii- 3, car li fournirait avec 27 le rapport complexe |, tandis que 3 fournit seulement le rapport binaire — (ou -^^i ou -^i ou -„ > etc., suivant l'octave à laquelle on prend les notes considérées}.

Et nous verrons plus loin qu'il n'est même pas nécessaire de procéder au rapide examen ci-dessus indiqué, car la connaissance des pentagones des gammes {voir ci-après, n° 285) suffit ici à reconnaître d'un seul coup d'œil que la note de référence est 3 (ou l'une de ses octaves telles que 3 x 8 = 24, ou 3 x 16 = 48 ).

SOLUTIONS SUPPLtVENTAIBES.

265. Les raisonnements qui piécéilent donnent lieu à une objection d'apparence spécieuse, qu'il peut être utile de signaler.

Considérons pour fixer les idées les notes mi /a = N : i.»/i6. On a

CHAPITRK IV. - RATTACIIBMRNT DB QI^ATKK, CINQ KT SIX S0N3-

en 3orte que le rectangle enveloppe est

et que la comparaisun aux nombres musicaux donne

Knlos l mi

do réWrcnco. ' Ifi

La considération (les nombres musicaux, comme celle du rectangle-enveloppe, fait opp;traltre les rattachements k/a, do et la que nous avions trouvés plus haut {voir n" 235) par d'autres procédés.

Mais si, au lieu de -.-. nous eussions considéré le rapport équivalent j-, (qui sera également représenté ci-aprés par mi fa, aSn de faciliter la comparaison des deux cas), nous eussions en :

mi^ .i, = 3x;t X 5, /„= i8 = -ix-.x^x

Le rectangle-enveloppe eftt été :

ii Timi ii

et la comparaison aux nombres musicaux eût donné