PAO

il suffira de juger de l'égalité entre PA et AQ: de même la subdivision en 4 sera facile.

puisqu'il suffira de placer B et C de façon à diviser à leur tour en parties égak-s les segments PA et AQ; il en sera évidemment de même encore pour la subdivision en 8, 16, etc., c'est-à-dire pour toute subdivision binaire.

S'il s'agit de diviser PQ en trois parties, ce sera un peu moins simple; il faudra marquer D au tiers de PQ, c'est-à-dire de façon que PD soit égal, non à DQ, mais à sa moitié.

La division par .5 présentera une difficulté de même ordre; pour marqui^r E au cinquième de PO, il faudra comparer PE par la pensée, non pas à la longueur EQ, mais à son quart.

Fis. 2<'^-rf

La division parône sera pas sensiblement plusdifficile que la divi<ion p:ir3 puisqu'elle ne comporte, comme opération supplémentaire, que la très facile division par 2.

Mais la division par 7 sera beaucoup plus difficile; pour marquer F au septième de PQ, il faudra com|iarer PF au sixième de FQ, en sorte qu'avant d'avoir placé F à l'estime, il

C) Ainsi pour une fondarncntale ropiiSsentée par N = i, les harmoniciues particuliers ilont il est question ici (octaves) sont compris tlans la formule j^énérale N = 2".

22 PREMIEIIK l'AHTli;. — CONSONANCE.

faillira avoir exécuté â l'cslimc une division non binaire, donc difficile, du segment restant FQ.

Ki-. aS-e.

37. (^L-t exemple met en évidence la très grande simplicité de la division binaire. Ses avantages sont bien connus des arithméticiens, dont quelques-uns vont jusqu'à regretter que le système binaire u'ail pas été adopté par les hommes, au lieu et place du système décimal (').

Il est vrai qu'en système binaire il suffit de deux figures 1 et 0 (au lieu de dix : i, a, 3, 4, 5, 6, 7, 3, 9, o) pour exprimer tous les nombres; c'est ainsi, par exemple, que les nombres s'écrivant dans noire système décimal

o I ■> 3 .1 5 G 7 8 ifi 3'2

o'écriraient en système binaire

o ( lO II 100 10 1 IIO III lOOO 10 001) lOOOOO ...

Ces exemples suffisent à montrer rinconvénieut prati(juedu système binaire; les figures, il est vrai, sont de deux types seulement: malheureusement l'expression d'un nombre, même peu élevé, exige l'emploi de figures très nombreuses.

Mais cet inconvénient pratique n'existe pas dans le cas d'une intelligence écoutant un air de musique, et c'est probablement en arithméliiiue binaire que no)is faisons les comparaisons numériques formant la base de nos jouissances musicales ('); et dans le système binaire, les nombres les plus facilement comparables sont précisément ceux qui s'écriraient

c'est-à-dire les puissances de a auxquelles correspondent les octaves.

38. Les considérations qui précèdent rappelleront aux mathématiciens ce fait bien connu que la subdivision des grandeurs diverses se fait toujours bien plus aisément en deux qu'en un plus grand nombre de parties : c'est ainsi que la bisseclion de l'angle est une opération incomparablement plus facile que sa trisection.

.\u surplus, ces tendances binaires de notre esprit se manifestent par nos usages et nos habitudes de compter fréquemment par doubles et demies, en mariant ainsi le système binaire et le système décimal ('), et point n'est besoin de hautes théories pour reconnaître la facilité toute particulière que nous possédons à comparer ou à compter binairement; c'est ainsi que les enfants les moins expérimentés savent très bien qu'il est plus facile de partager équitablement une pomme en a, 4 ou 8 qu'en 3, 5 ou 7. De même un accordeur de pianos n'ignore pas (|ue la moindre erreur sur l'accord de notes formant des intervalles d'une ou plusieurs octaves (rapports de N binaires) sera immédiatement remarquée et jugée intolérable; il aura donc soin de régler les octaves avec une grande précision; quant aux autres intervalles, ils seront tous faux et généralement d'autant plus

( ' ; SinoD pour toutes los granJeur,'^, au moins pour quelques-unes telles (jue le temps, les angles, etc.

(') l'jibnitz, i|ui .iv.iit beaucoup litujié l'ai'itlunétique binaire, estimait que, dans les spéculations compliquées, cette arithmjtiquu est d'un usa^e nettement plus avantageux que l'aiithmiStlque ordinaire.

(^) C'est ainsi qii(3, pour le temps, on compte beaucoup par heures, demi-heures et quarts d'heure; pour les durées des silences musicaux, on compte p;ir pauses et djnii-pausjs, ou par soupirs, \ soupir, j de soupir, J de soupir. I^ de soupir; pour les monnaies, on a dû créer des pièces doubles et moitiés de l'unité, .\insi les Krançais emploient outre le franc, le double franc, le demi-franc et le quart de franc; lu sou est accompagné du double sou et il est question de créer un demi-sou.

CIlAI'lIllb: 11. AUDITION DE DEIX SONS SIMILTANES. 1i

faux qu'ils correspondent à des rapports de chiiTres plus complexes ('); on les tolérera néanmoins, puisqu'on accepte déjouer sur des instruments réglés sur la gamme tempérée.

39. On a tenté d'expliquer de diverses manières celte grande analogie entre les sensations que nous procurent deux notes différant d'une octave.

On a dit, par exemple, que la période de la vibration sonore se subdivise en (juatre phases correspondant aux quatre points A,, B,, G,, D, de la figure 7 (n^aa), en sorte que l'esprit percevant la période AjAs, percevrait aussi la période AiC,=i CiAs, moitié de A1A2 (octave du son entendu), et percevrait même encore la période A, B, = B,C, = CiD, = Di Aj, quart de A,A2 (double octave du son entendu). Mais cette explication supposerait qu'il s'agit d'un son purement pendulaire; elle n'est plus applicable si le son contient des harmoniques {voir la figure 8 du n° 23), ce qui est le cas général (-).

40. On a fait remarquer aussi que si une certaine note (que nous appellerons ^/o,, pour fixer les idées) constitue, avec ses harmoniques, une série de sons ayant pour N

do, : I a ! 4 "> (> 7 s

la note do^, octave de do,, formera avec ses harmoniques une série de sons ayant pour N

rfoi : 2 4 *i 8 . . . .

La note do^ se fondrait donc entièrement dans la note do,, sans apporter aucune sonorité étrangère, d'où la parfaite consonance de do, et do^.

Mais cette explication ne serait plus applicable aux sons pendulaires, c'est-à-dire dépourvus d'harmoniques; au surplus, si l'on compare entre elles les notes do,, do,, sol^, do,, etc.,

do, : I ■). 5 4 ') *' 7 8 9 10 II iv. f î ...

do,: ■?. 4 C, 8 10 I'.

soli-. 3 (i 9 '■-•-

rfoj : 4 « 12 ....

on voit que do, et sol^ ont plus de sons en commun que rfo, et do,, et qu'ils en ont moins que do, et do^; en sorte que, si l'explication rapportée plus haut était juste, la consonance do,sol^ devrait être intermédiaire entre les consonances do,do^ et do,doz : or cette conclusion est contraire aux faits; et, si elle ne l'était pas, elle prouverait précisément que les octaves ne possèdent pas cette consonance privilégiée dont il s'agit ici d'expliquer la cause.

41. On voit que ;les deux explications ci-dessus rapportées et qui soni presque contraires l'une de l'autre (la première fondée sur l'inexistence des sons harmoniques, la seconde fondée sur leur existence) ne sauraient être acceptées qu'avec beaucoup de réserve.

Il en .serait probablement de môme pour toute explication fondée uniquement sur les particularités des phénomènes inalériels sensibles aux physiciens, car la cause de l'étroite parenté entre sons formant octave paraît être psychique, plutôt que physique; elle est en nous plutôt que dans les corps sonores : elle est dans notre intelligence plutôt que dans notre appareil auditif, car lorsque aucune vibration ne frappe notre oreille, lorsque nous

( ' ) Ainsi le même intervalle de -j^ d'octave ou un demi-ton tempéré représentera tantôt le dioze ou le bémol,

soit ^, tantôt certaines secondes mineures valant -f; or, ce second intervalle est à peu prés double du premier. 34 20

(') Certains tliéoriciens confondent peut-être parfois la vibration ordinaire {fig- 8 du n" Î.3) avec la vibration pendulaire (fig-i du n° 22), car ils parlent de périodes doubles ou de vibrations doubles comme si une vibration ordinaire se composait de deux moitiés comparables (cgales ou symétriques). La figure 5 (n" 20) montre qu'il n'en est pas ainsi.

■li PREMIÈRE PARTIE. — CONSONANCE.

pensons seulement les octaves sans les entendre, nous ne cessons point d'apprécier leur parfaite consonance (M.

Quoi qu'il en soit, l'intervalle d'octave est d'une extrême simplicité et les octaves d'une même note provoquent des sensations pi'ésentant une éti'oite analogie ; ces notes s'évoquent pour ainsi dire les unes les autres, parce que leurs rapports étant purement binaires sont précisément du type que l'esprit ^saisit intuitivement. L'analogie de ces sons est telle que des personnes fort versées dans l'art musical confondent parfois momentanément une note avec son octave, alors que pour aucun autre intervalle elles ne pourraient commettre la moindre confusion.

42. Ceci posé, considérons un intervalle quelconque, formé par deux notes ayant pourN les valeurs \ et a. Nous avons vu que, pour que ces notes ne fassent pas vernier, il faut que « soit divisible par A, c'est-à-dire qne a soit un harmonique de A; alors, si l'on désigne par K un entier quelconque, les notes considérées|auront pour N

Supposons, par exemple, que la note A = i, soit f/o, et que K soit égal à i5: la note x sera .si.,, quatorzième harmonique de do^ :

Noms doi do^ doi do; si; dn^

11 est bien vrai que «/.. étant un harmonique de rfo,, ne fera pas vernier avecrfo, ; mais entre rfo, et sii il existe plusieurs octaves interposées, do^, do^, do^, que le son rfo, évoque, et par l'intermédiaire desquels se fait vraisemblablement la comparaison entre do, et si^ ; or sii fait vernier avec toutes ces octaves; la consonance do^si; sera donc loin d'être parfaite.

Pour que la consonance entre A et a fût aussi complète que possible, il faudrait que x fût divisible, non seulement par A, mais encore par toutes les octaves de A interposées entre .4. et x, de façon à ne faire vernier avec aucune d'elles. Supposons qu'il en soit ainsi; si c'est dans la/i'^^'octave au-dessus de A que se trouve la note a = K, les diverses notes que nous considérons, rangées par hauteur croissante, se présenteront dans l'ordre suivant :

Mais si K, qui est un nombre entier, est compris entre i''"^ ei 2'', tout en étant divisible par la première de ces deux puissances de 2, il est évident qu'il est égal à l'une d'elles; donc X ne peut être omnicalable à la fois sur A. et sur toutes ses octaves que s'il est précisément lui-même une octave de A.

Il suit de là que deux notes .telles que do, et rfo„, éloignées d'un nombre quelconque d'octaves ('), n'ont pas seulenient cette propriété de pouvoir être comparées l'une à l'autre à l'aide d'un rapport purement jbinaire, c'est-à-dire de l'espèce la plus simple, elles ont encore ce privilège particulier de ne former vernier ni entres elles, ni avec leurs octaves (').

Dans ce qui suit, nous désignerons sous le nom Aq privilège des octaves cette propriété toute spéciale et l'extrême consonance qui en est la conséquence.

Assurément les octaves d'une même note ne sont pas identiques et l'on constate facilement l'acuité croissante des notes rfo,, do^, do^, .... Non seulement ces notes diffèrent d'acuité, mais elles diffèrent même au point de vue des résultats harmoniques qu'elles concourent à former; nous avons déjà fait, en comparant certains accords (n° 33), une brève alln-

( ' ; tl cieui n'est point un sim|ilu iiliunomunu Je luL-moirc iiuim|u il un est ainsi, non seulement lorsque nous nous reméuiorons un air connu, mais encore lorsque nous composons mentalement un motif nouveau.

C) Cette propriété existe quel que soit n et notamment pour la valeur Je « qui correspond à l'unisson; celui-ci, en effet, n'est qu'un cas particulier de l'intervalle d'octave.

(') Nous verrons aussi plus loin [( .i* parlie. Rallachemenls) que, quels que soient f/o, et (/o„, les notes [(géniteur et médiaire) auxquelles elles tendent à rattacher sont aussi des do.