CHAPITRE III. — GAMMES DE PTOLKMKE KT DE PTTHAGORE
et de ramener ensuite les notes ainsi obtenues dans l'octave comprise entre dn — i et f/o = 2, ce qui se fait en multipliant ou en divisant les fractions précédentes par des puissances de 2 convenables :
mi 1 .</ -. /'" d" "ol ré In
■ -w -(r Kr ■ ©■ ;©' :©■ -
Ces calculs conduisent à des résultats compliqués tels que /«; = ^|^; nous ne les
entreprendrons donc pas et nous les remplacerons par un calcul semblable à celui que permettent les unités z.ii..v.
444. Avec ces unités, les intervalles di' quinte et d'octave, au moj-en desquels s'engendre la gamme de Pythagore, ont pour formule :
Quinte.
Oclavr.
Mais, tandis que la gamme de Ptolémée est engendrée par ti-ois nombres 2, 3, 5, celle de Pythagore n'est formée que par les deux facteurs 2 et 3; il n'est donc pas besoin de trois paramétres pour l'exprimer, deux doivent suffire. Posons en effet
Ceci entraîne la relation de condition j:'='-^.; donc, sur les trois paramètres, deux seulement sont indépendants. Choisissons les deux premiers -' et u', et exprimons en fonction d'eux les deux intervalles générateurs de la gamme de Pythagore; nous aurons :
Quinte - = ( ;' i» ( m' )^
Octave - = {:')' (î'' I'
A Taide de ces formules, il est aisé, comme le montrent les Tableaux suivants, de former la gamme de Pythagore sans rencontrer de grands nombres.
445. Dans le premier de ces Tableaux, la suite des quintes est calculée à partir de rfo = i, c'est-à-dire do t= (3)» («')»; ainsi la, troisième quinte au delà de do, a pour formule
h, = [(z)^(u'yY = {z'yHu'}\
On peut donc représenter abréviativement la note la par les deux exposants 12 et 9 inscrits dans la deuxième colonne. Mais cette note /a = -i- 1 2 -(- 9 est en dehors de l'octave fondée sur la note do = o o. Pour ramener ce la dans l'octave dont il s'agit, il faut le baisser d'une octave, c'est-à-dire le composer avec (z')-'{u')-\ intervalle inscrit dans la colonne voisine sous la forme — 7 — 5. Le résultat de la composition est
/rt = (;')iM"')'^x (:')-'("')-'= (3')H«')S
lequel est inscrit dans la dernière colonne sous la forme à 4-
La dernière colonne contient donc la formule en unités ;'.«' des sept notes naturelles de la gamme de Pythagore, ainsi que de leurs sept dièzes et de leurs sept bémols.
Tableav I. — Gnmitie par quiiilcs.
Notes
ramenées
flans la
même octave.
— 4<) -Vi —i I
On remarquera que la série des notes eiigendrables par superposition de quintes ne contient pas l'intervalle d'octave et est illimitée 1 M.
446. Limitons-nous arbitrairement aux cinq premiers dièses et aux cinq premiers bémols, et reproduisons les notes du Tableau précédent par ordre de hauteur croissante, en y annexant (arbitrairement aussi) l'octave do ^ {:.')' {u Y de la base f/o = i. Nous obtenons ainsi le Tableau suivant :
( ' ) Pour que cette séi'io fût limitée, c'est-à-dire se fermât sur elle-même, il faudrait qu'un certain ternu! de la série ( - I excédât d'un nombre exact d'octaves r l'un des termes déjà formés ( - ) ; mais alors on aurait
(,)■'= (j )'■--• condition incompatible avec l'hypothèse ij , p, puisqu'elle exige q = p.
CIIAI'ITIIK Ml.
;am\ii;s dic I'Toi.kmkk kt de pytiiagork.
Noms
des
notes.
ilo ..
ré ,. .
im -, .
rc j. .
fa. . .
sol 'r, .
fai..
soli.
la...
si ^ . .
la J.
Tabi.i;m 11. — Ciinniic de l'\ lliiigorc.
Formules. Diiïércnccs.
do.
447. La gamme ainsi constituée prend uu aspect de grande régularité, ainsi qu'il apparaît sur la ligure suivante :
do
mi fa sol
» I I sol» fa s I
la si do
I sib laH I I
Tous les demi-tons valent j^= -, soit un comma de moins que le plus petit demi-ton
diatonique des gammes ternaires.
Tous les accidents valent «'= ux-, soit deux comuias de plus que les accidents le plus fréquemment rencontrés dans les gammes ternaires.
Tous les tons valent ;' «' = ; ux, soit le plus grand des deux tons calculés antérieurement.
L'octave se décompose ainsi en douze demi-tons :■' , plus cinq commas x' , interposés entre les notes enharmoniques telles que doc. et ré^.
Le dièse et le bémol étant plus grands que la moitié du ton se recouvrent pour ainsi dire; ainsi ré y descend plus bas que doc. et doc monte plus haut que /-e); la quantité dont ils se recouvrent est précisément égale au comma x .
ARTICLE II. — Comparaison entre les gammes de Ptolémée et de Pythagore.
448. Comparons maintenant la gamme de Ptolémée à celle de Pythagore, et voyons conmiout un musicien suivant la première d'entre elles pourra souvent avoir l'air de pratiquer la seconde.
Le schéma ci-dessous représente les gammes de do appartenant à ces deu.\ types: il montre que les notes /a, do, sot, ré sont communes aux deux gammes, mais que les notes
la, mi, si, quand elles sont les trois quintes supérieures de la gamme de Pythagore, se trouvent à un comma a: plus haut que quand elles forment les médianles d'échelle de la gamme de Ptolémée.
l'iK- 3-7- Gamme de Pythaqore
Gamine de Ptolémée
Il suit de là qu'en gamme ptoléinéenne, presque tous les intervalles peuvent se présenter sous deux valeurs différant d'un comma, tandis qu'en gamme pythagoricienne, chaque intervalle n'a qu'une valeur unique.
De ce que les intervalles de la gamme de Pythagore ont des valeurs immuables, et de ce que les artistes jouant isolément semblent souvent suivre cette gamme, beaucoup de théoriciens ont cru pouvoir conclure que la formule de Pythagore est la véritable formule de notre tonalité. Voyons ce qu'il faut penser de ces deux ordres de considérations.
449. Les partisans de la gamme de Pythagore font remarquer l'uniforinilé des intervalles auxquels se succèdent les degrés conjoints, mais ils ne font pas voir en quoi cette uniformité peut influer sur nos sensations musicales. En réalité, la valeur de l'intervalle entre degrés conjoints ne doit jouer aucun rôle, et quand, étant dans le ton de do, on entend les notes mi et fa, ce qu'on doit percevoir, ce sont les rapports de mi et de fa à la tonique do, plutôt que le rapport de mi à/fi.
D'ailleurs, en gamme pythagoricienne, l'intervalle mi/a a la valeur complexe ^-^, et il
est probable que, si cet intervalle était celui que l'on perçoit, il semblerait d'une dureté inadmissible (').
450. Il est bien vrai que notre gamme de sept degrés procède par degrés : l'affirmer est une tautologie. Mais ce serait un jeu de mots, et non un raisonnement, d'en conclure que chaque degré procède du précédent.
Si la gamme résultait de ce que la tonique est successivement haussée d'une série de
tons ^ ou de demi-tons —pr, si chaque note était engendrée par le degré précédent (ou
suivant) haussé (ou baissé) de l'une des deux valeurs de la seconde, nulle note de la gamme de do ne pourrait être plus étroitement apparentée à do que les deux degrés conjoints .ï( et ré; or ces deux notes sont précisément les seules qui forment dissonance avec rfo( dissonance de seconde, de septième, de neuvième, etc.). Ainsi, avec cette conception de la gamme, on ne pourrait s'expliquer les faits primordiaux de la musique, tels que la dissonance de certains intervalles, l'extrême consonance des échelles, etc. On ne voit donc pas en quoi ce pourrait être une qualité pour la gamme de procéder par degrés conjoints uniformément espacés.
451. En outre, avec cet espacement uniforme, la ganune ne devrait avoir qu'une seule
( ' ) Nous avons déjà eu k plusieurs l'éprises l'occasion de reconnaître (jue l'intervalle v nous parait relativement fort dur; il a cependant une [onuule inconiparalj|cu»Mit plus simple ipie celle du denii-tou pythagoricien ^•
CIIAl'ITRK III. — (i.VM.MES DE l'TOLKMÉE ET DE l'VTMAGOIlE. 3oi
valeur pour chacun des intervalles tels que la quinte, la quarte, etc. Ainsi la quinte dite
(jtiinte Juste vaudrait toujours 7- et ne s'abaisserait pas parfois à '^ , comme en gamme ptolé-
méenne; or l'expérience prouve que cette fixité des intervalles musicaux n'existe pas dans notre musique (').
452. Mais, dira-t-ou, ne serait-il pas possible que nos jouissances musicales fussent fondées sur la régularité des intervalles musicaux plutôt que sur la simplicité des rapports des N?
S'il en était ainsi, ce n'est pas la gamme de Pythagore que nous suivrions, ce serait plutôt la gamme tempérée. Au surplus, les expérimentateurs qui croient reconnaître la gamme de Pythagore dans la musique de certains artistes jouant isolément, retrouvent au contraire la gamme de Ptolémée chaque fois que les artistes jouent dans un ensemble harmonique; ainsi trois chanteurs mêlant leurs YOi.x pour réaliser un accord parfait majeur suivront la formule ptoléméenne N : 4/5/6 plutôt que la formule pythagori-
cienne N :64/8i/96 ou que la formule tempérée N : 1/2^2'- : preuve que les artistes, au moins dans ce cas, sont plus sensibles à la simplicité des rapports des X qu'à la régularité de l'échelonnement des degrés de la gamme.
453. Mais, dans le cas 011 l'on joue isolément, est-il vrai que l'on suive la gamme de Pythagore plutôt que celle de Ptolémée?
On trouvera dans l'article suivant des procédés permettant à chacun de reconnaître facilement la gamme à laquelle il se conforme. Bornons-nous pour l'instant à signaler quelques-unes des causes d'illusions qui peuvent conduire à mal interpréter les résultats de l'expérience.
Reportons-nous à la figure 377 (n" 148); nous y voyons que la quinte ré la vaut - en
gamme pythagoricienne et un comma de moins, soit 7^ > en gamme ptoléméenne. Dès lors, il
semble qu'il serait facile de reconnaître quelle gamme nous suivons : nous ferions jouer un air en do majeur sur un instrument à sons variables, sur un violon par exemple, et.
suivant que la quinte ré la serait exécutée avec la valeur- ou ^, la gamme devrait être
réputée pythagoricienne ou ptoléméenne.
Mais il n'est pas légitime de raisonner ainsi, et nous allons montrer quelques-uns des motifs d'ordres divers pour lesijueLs un artiste, concevant la gamme selon la formule ptoléméenne, peut néanmoins être conduit à donner à la quinte ré la la valeur pythagori-
454. D'abord, si le violoniste exécute les notes ré et la par les à vide de la deuxième et de la troisième corde, un phonautoscope (ou tout autre instrument similaire) enregistrera
sûrement pour la quinte ré la la valeur -, puisque, avant de jouer, l'artiste a accordé son instrument par quintes -■
Il en sera de même si l'artiste a exécuté des octaves des sons précédents, ou s'il a exécuté ces mêmes sons sur d'autres cordes : non seulement les à vide vibreront encore par résonance et inscriront une quinte - sur l'instrument enregistreur, mais le ré produit sur la corde .50/ et le la produit sur la corde ré formeront eux-mêmes une quinte -; en effet, par la pratiijue, l'artiste a dil repérer, pour cliaque position, le placement de sa main par rap-
(') Ko(> ci-dessus, n" 419, le passage relalif aux expériences de M. Zamluani.
3o ! SEPTIEME PARTIE. -- INTERVALLES.
port au manche du violon et le placement de ses doigts sur la touche par rapport à sa main; en sorte qu'automatiquement il posera ses doigts sur les cordes sol et la au.\ distances qui correspondent à l'intervalle habituel de quinte; les notes qu'il produira formeront donc entre elles le même intervalle que les à vide des cordes employées, sol et ré,
c'est-à-dire encore l'intervalle - •
455. Tenant compte de cette difficulté, renonçons à analyser les sons d'un violon et recommençons l'expérience sur une voix humaine.
Mais si, dans l'air (jue nous faisons chanter, les notes rc et la se présentent au cours d'une oscillation dans l'un des trois équiarmés du ton de do, par exemple en /e'pseudique ou en sol pseudique dans lesquels la quinte ré la est une quinte d'échelle, l'artiste donnera, bien entendu, à cette quinte sa valeur d'échelle, et le phonautoscope enregistrera la
valeur -; et, si l'expérimentateur n'a pas remarqué l'oscillation qu'exécute l'air chanté et
ne fait pas état des tonalités pseudiques, il devra croire que l'artiste suit la gamme de Pythagore.
456. Pour éluder cette difficulté nouvelle, faisons chanter un air en do dans lequel nous nous serons préalablement assurés que la note ré est bien sommet de l'échelle sol ( dominante) et la note la, médiante de l'échelle fa (dominée).
Sommes-nous certains cette fois qu'un artiste concevant la musi(jue selon la formule
ternaire donnera à la quinte ré la la valeur ^ et non la valeur ~ ? Nullement. Si les notes ré
et la se présentent séparément, chacune dans son échelle, elles seront émises avec des
valeurs formant un intervalle de — ; mais, si elles se présentent consécutivement et dans
des conditions telles que l'intonation du la ne soit pas facilitée par la proximité du reste de l'échelle dominée, le chanteur, apercevant à réaliser la quinte ré ta, ne songera pas
qu'elle peut valoir — ; outre que cette valeur de la quinte ne lui est peut-être pas connue,
ou qu'il n'a pas le temps d'y songer, elle doit être difticile à réaliser pour elle-même, en
raison de sa complexité; il pratiquera donc simplement la quinte - dont la valeur n'est
que fort peu inexacte et a le très grand avantage d'être, après celle de l'octave, la plus facile à retenir de mémoire et k émettre avec justesse.
457. Les divers cas que nous venons d'examiner prouvent qu'un musicien concevant la iiuisi([ue conformément à la tonalité ternaire peut souvent être amené, par des motifs d'ordre pratique, à suivre la gamme de Pythagore, non pas parce qu'il la trouve plus juste que celle de Ptolémée, mais parce que, dans certains cas, elle est d'une réalisation plus facile : il peut l'employer comme moyen, quoiqu'il ne se la propose pas comme but.
458. Remarque. — Les artistes qui emploient fréquemment des instruments à sons variables dans des ensembles comprenant des instruments à sons lixes peuvent être amenés par les nécessités professionnelles à acquérir une certaine habitude de la gannne (le Pythagore. Nous avons vu, en effet, plus haut {Enharmonie, w 333) combien on peut, en suivant la gamine juste, s'éloigner de la gamme tempérée. Les professionnels sont donc continuellement obligés de fausser leur gamme pour se rapprocher de la ganmie tempérée. La solution la plus complète consisterait pour eux à apprendre par cœur celte gamme; malheureusement c'est chose irréalisable, car les intervalles tempérés, étiint incommensurables, ne correspondent à aucune sensation uuisicale, et ne peuvent par suite se graver dans la mémoire.
Mais, en cherchant à suivre la gannne tempérée, le professionnel peut arriver tout naturellement à s'accoutumer à la gamme de Pythagore : celle-ci, en effet, est moins éloi-
