CHAPITRE III. — GAMMES DE l'TOLKMEE ET DE PYTHAfJORE

gnée du tempérament que la gamine de Ptolémée ( '); la différence n'esl pas très sensible tant qu'on n'emploie que la gamme proprement dite, mais elle devient très appréciable en cas d'oscillations et de modulations (-).

ARTICLE III. Mesure des commas.

459. Les commas ne sont pas toujour.s très petits: il en est qu'on peut rendre sensibles à la voix et chanter comme les autres intervalles (voir Gammes diverses, ligure 343 du II" 623). Cependant on peut pratiquer longtemps la musique sans avoir l'occasion de constater nettement les petites différences existant, soit entre deux notes justes formant comma, soit entre les degrés de la gamme juste et ceux de la gamme tempérée.

On trouvera ci-après des exemples de musique destinés principalement à rendre ces petites différences très sensibles, mais permettant aussi au lecteur de reconnaître s'il suit la gamme de Pythagore ou celle de Ptolémée, et de trouver lui-même la valeur approximative des conunas (^).

EXCÈS DINE TIERCE MAJEIRE TEMPÉRÉE SIR l NE TIERCE MAJEURE -•

460. L'exemple suivant {Jig. 278) est formé de trois reprises de deux mesures chacune, écrites respectivement dans les champs quatre dièses, néant et quatre bémols, et tout à fait semblables entre elles. Dans chaque reprise, on module d'un ton mineur à son corrélatif qui est le ton majeur situé à une tierce majeure plus bas : puis on minorise ce ton en passant à la reprise suivante: les tonîques successives s'échelonnent donc par tierces majeures descendantes {dot, la, fa et ré}); la dernière d'entre elles n'étant autre chose

fHà

Dojti

La a

J .yl llV^

-KTl^^ h'^"> jp

La i

Fk a

PJ /3'' l/T^^^^^i^

Fa i

YiéVa.

jl.l J1-1 |j1>^^

que l'enharmonique de la première, on voit que l'exemple peut être repris da capn, et permet par suite d'accumuler autant de modulations par tierces majeures descendantes qu'on le désire.

(') Voir Gammes diverses, n" 515, les deux dernières lignes du Tableau.

(^) Voir les divers exemples de l'article qui suil.

( ' ) Bien que le plus petit intervalle perceptible sur un instrument tempéré tel qu'un piano soit fort supérieur aux ciimmas, on peut néanmoins mesurer les commas à l'aide d'un instrument tempéré; il suffit pour cela d'accumuler assez de commas égaux entre eux pour que leur total forme un gété (demi-ton tempéré); le procédé est donc analogue à la méthode par répétition qu'emploient les astronomes, lorsque, avec un instrument juste mais sommairement gradué, ils veulent obtenir une précision supérieure à celle que comporterait normalement la division du limbe.

461. Mesure du comma. — La tierce majeure juste (t ) est légèremeul inférieure à la

tierce majeure tempérée (4 g-^-)-

Appelons £ le petit écart existant entre les valeurs de ces tierces. Supposons qu'on se donne avec un piano la note initiale f/oj de la figure 278, et qu'on exécute ensuite quelques modulations en chantant seul. A chacune d'elles, on descendra de 4 g-t- — £, tandis que le piano aurait descendu de 4 g-t. ; les toniques justes (du chant) seront donc plus hautes que les toniques tempérées (du piano), et les discordances qu'elles présentent vaudront respectivement i, 2, 3, . . ., n fois l'écart s, selon qu'on aura exécuté 1,2,3, .... « modulations. Il arrivera un moment où l'accumulation de ces petits écarts £ finira par former un gété entier, en sorte que la note chantée sonnera alors, non pas comme la note correspondante du piano, mais comme la note située à un gété plus haut. Si l'on observe ce fait par exemple au liout do sept modulations, on a la mesure approximative de l'écart z : celui-ci

vaut évidenmient - de gété; on a aussi la mesure du comma deux-cinq ou x" : nous avons

vu, en effet (n" 409), que ce comma est l'excès d'une octave sur trois tierces majeures; il est donc le triple de l'écart s.

462. Calcul du comma. — Si, au lieu de l'écart s lui-même, nous calculons son triple, c'est-à-dire le comma séparant la première et la dernière note de la figure 278 (n° 460). nous trouverons, comme on vient de le voir, la différence entre une octave et le total de trois tierces majeures; or cette différence est, savoir :

En gamme ptoléméenne

En gamme pytliagoricienne. .

On a donc :

d'où l'on conclut

ré-; ptoléméen = d<i^ initial -i- .r' ( ' ), rc\i p\ lliagoricion = doi, initial — .'■' ( -),

rcri ptoléméen — ;■(■? pytliagoricicn = .t"-i- .1' = 3.f.

Cette différence entre les deux /rl^est fort sensible, puisque sa valeur 3.r estpresque égale

à celle de l'accident « = ^ = 3^,3.

463. On voit que l'exemple de la ligure 278 (n° 460) permet de reconnaître aisément la gamme dont on fait usage : suivant qu'on chantera le ré\f final plus haut ou plus bas que le doc initial, on aura suivi la gamme de Plolémée ou celle de Pythagore.

fi

EXCÈS D LNE TIERC.R MINEIRE t SUR UXE TIERCE MINEl HE TEMPÉRÉE.

464. L'exemple suivant est formé de quatre reprises de deux mesures chacune, écrites respectivement dans les champs six dièses, trois dièses, néant et trois bémols, et tout à fait semblables entre elles. Dans chaque reprise, on module d'un ton mineur à son relatif qui est le ton majeur situé à une tierce mineure plus haut; puis on minorise ce ton en passant à la reprise suivante; les toniques successives s'échelonnent donc par tierces mineures

(') Cotte dilTdronco x" vaut apprnxiniativcraunt, en conimas vulgairos. i"*,*) et. lmi gétés, ~- = - do gutc cnviruii :

la valeur coi-respondantc do e utant trois fois moindre est voisine de - de séii.

{'■') Celte différonee x' vaut approximativement, en commas vulgaires, i^'.i et. en gtites, y^ = — de geté environ ; la valeur correspondante de t étant tiois l'ois moindre est voisine de — de gété.

cuapithe III.

• iVMMICS I)i: l'TOLK.MKK RT DK PÏTI1\G()RK.

ascendantes (rc^, /«;, la, do, mi}); la dernirre d'entre elles n'étant autre chose que l'enharmonique de la première, on voit (|ue l'exemple peut être repris fia capo, et

Re'lJ i Faj^ a Fa U i La a

La i Do a Do,L Mib a

permet par suite d'accumuler autant de modulations par tiei'ces uiiaeures ascendantes iju'on le désire.

465. Mesure du conntia. — La tierce mineure juste ( - j est légèrement supérieure i\ la

tierce mineure tempérée (3 g. t.). Appelons s le petit écart existant entre les valeurs de ces tierces.

Supposons qu'on se donne avec un piano la note initiale rét, de la figure 279, et qu'on exécute ensuite quelques modulations en chantant seul; à chacune d'elles, on montera de c)g.t.-\-E, tandis que le piano n'aurait monté que de ig.t.; les toniques justes (du chant) seront donc plus hautes que les toniques tempérées (du piano), et les discordances qu'elles présentent vaudront respectivement i, 2, 3, . . ., n fois l'écart e, selon qu'on aura exécuté I, 2, 3, . . ., n modulations.

Il arrivera un moment où l'accumulation de ces petits écarts e finira par former un gété entier, en sorte que la note chantée sonnera alors, non pas comme la note correspondante du piano, mais comme la note située à un gété plus haut.

Si l'on observe ce fait par exemple au bout de six modulations, on a la mesure approximative de l'écart s : celui-ci vaut évidemment - de gété; on a aussi la mesure du comma .v.r" : nous avons vu, en effet (n" i09). que ce comma est l'excès de quatre tierces mineures sur une octave; il est donc le quadruple de l'écart s.

466. Calcul du comma. — Si, au lieu de l'écart s. lui-même, nous calculons son quadruple, c'est-à-dire le comma séparant la première et la dernière note de la figure 279, nous trouverons, comme on vient de le voir, la dilFérence entre quatre tierces mineures et une octave. Or, cette différence est, savoir :

En gamme ptoléméenne :

En gamme pythagoricienne :

On a donc

nd:i plolcméen = /v; initiai iniy pythagoricien = /v'j initial

(') Cette dilTérence x -\- x" vaut approximativenicnt, en commas vulgaii-es, 2'. 9 et, en gétés, -~^ = -^ de gété;

la valeur (■onespondanto de ; étant quatri' fuis mniudi'e est voisine de ^ de gété.

(') Cette différence x' vaut approximativement, en commas vulgaires. i'',i et, eu gétés. — ^ = -L Je créto- la

valeur correspondante de 5 étant quatre Ibis moindre est voisine do — de gété. G.

d'où l'on conclut :

SEPTIEMK PARTIE. — INTEUVALLES.

«((1 ptoléméeii — /«/•■ |iytliagoricien = x -

Cette différence entre les deux mi } est très sensible, puisque sa valeur 4-r est presque égale à celle du gété 4^,65.

467. On voit que l'exemple de la figure 2-9 (n" 464) permet de reconnaître aisément la gamme dont on fait usage : suivant qu'on chantera le mi<} final plus haut ou plus Las que le réi initial, on aura suivi la gamme de Ptolémée ou celle de Pytliagore.

Reniarijue. — Dans cet exemple, plus encore que dans le précédent, il est utile de s'astreindre à chanter les petites notes, ou tout au moins à les penser, de façon à bien se placer dans les tons indiqués. Si l'on se bornait en effet à penser une suite de notes s'échelonnant de trois en trois grades (ou gétés), on serait fort exposé à penser ces notes dans une seule et même tonalité; au lieu de superposer quatre modulations de trois grades, on ne ferait que chanter les notes d'un même accord de septième diminuée; dès lors il n'y aurait aucun écart entre la note initiale et la note finale puisqu'on n'aurait nullement modulé.

EXCÈS d'une seconde majeure (') TEMPÉRÉE SUR UNE SECONDE MAJEURE

468. L'exemple suivant est formé de six reprises de deux mesures chacune, écrites respectivement dans les champs six dièses, quatre dièses, deux dièses, néant, deux bémols et quatre bémols, et tout à fait semblables entre elles. Dans chaque reprise, on module d'un ton mineur normal à son équiarmé majeur pseudique situé à une seconde majeure plus bas; puis on minorise ce ton en passant à la reprise suivante. Les toniques successives s'échelonnent donc par secondes majeures descendantes (re;, rfoi, si, la, sol, fa et mi^): la dornière d'entre elles n'étant autre chose que l'enharmonique de la première, on voit

REiti

Fig. 2S0.

Doit a

Doit i

sia

que l'exemple peut être repris da capo. et permet par suite d'accumuler autant de modulalions par secondes majeures descendantes qu'on le désire.

(') On appelle ici seconde majeure, conformément à l'usage, la seconde qui vaut deux grades; mais les diverses secondes valent i, 2 et 3 grades; le nom de seconde majeure devrait donc être réservé à la seconde do trois grades (voir ci-dessus le quatrième renvoi du n" 435).

(HM'ITRi: III. — (iAMMKS l)K i'TOLK.MKK KT llK l'VTIIAGORE. Soj

469. Mesure du coinnia. — La seconde majeure juste, lorsqu'elle se présenle avec la valeur étudiée ici [— ) y est légèrement inférieure à la seconde majeure tempérée {i g.i..).

Appelons s le petit écart existant entre les valeurs de ces deux secondes.

Supposons qu'on se donne avec un piano la note initiale ré% de la figure 280, et qu'on exécute ensuite quel([ues modulations en chantant seul; à chacune d'elles, on descendra de a g.t. — H, tandis que le piano aurait descendu de ig.t.\ les toniques justes (du chant) seront donc plus hautes que les Ioniques tempérées (du piano), et les discordances qu'elles présentent vaudront respectivement 1, 2, 3, . . ., « fois l'écart z, selon qu'on aura exécuté I, 2, 3, .... « modulations.

Il arrivera un moment où l'accunmlalion de ces petits écarts £ finira parfurmer un gelé entier, en sorte que la note chantée sonnera alors, non pas comme la note correspondante du piano, mais comme la note située à un gété plus haut.

Si l'on observe ce fait par exemple au bout de six modulations, on a la mesure approximative de l'écart s : celui-ci vaut évidemment -. de gété ; on a aussi la mesure du comma x" x-^ :

nous avons vu, en effet (n° i09), que ce comma est l'excès d'une octave sur six secondes — ; il est donc le sextuple de l'écart s.

470. Calcul du comma. — Si, au lieu de l'écart s lui-même, nous calculons son sextuple, c'est-à-dire le comma séparant la première et la dernière note de la tiiiure 280, nous trouverons, comme nous venons de le voir, la dilTérencc entre une octave et six secondes — '•

Or, cette différence est, savoir :

En gamme ptoléméenne :

( zu f u

En gamme pythagoricienne, où la seconde — n'existe pas et est remplacée par la seconde 5, la différence est :

(zuxf

On a donc :

d'où l'on conclut

mi-, ptoléméen = rrc. initiai -^ x" -\-3X {^). mil pythagoricien = /■<■; iiiilial — x' {-),

mi-. |iloléméen — mi-, [)ylliai;()ricien = 3.r -^.r'-+- .r" = 6.r.

Cette différence entre les deux mi ^ est très sensilile, puisque sa valeur Qx excède celle du gété 4*, 65.

471. On voit que l'exemple de la figure 280 (n" 468) permet de reconnaître aisément la gamme dont on fait usage : suivant qu'on chantera le mi\} final plus haut ou plus bas (|ue le rrc initial, on aura suivi la gamme de Ptolémée ou celle de Pythagore.

472, rtemar(]ue. — Dans l'exemple de la ligure 280 (n" 468), on a pris le mode mineur au déhut de chacune des six reprises; ou aurait pu aussi faire usage du mode majeur.

(') Cette (lilTuiunco x' ~ 3jr vaut approximativement, en coinmas vulgaires, 4'. 9 et. en gétés, i-^ = — de gété;

la valeur ciirresponilanle de t étant six luis mciindre est voisine île — do gété.

(•) Cette dilTérence x' vaut approximativement, en commas vulgaires, l'.i et. en gétés, -j^— = — ^ de gété: la valeur

correspondante de s étant six fois moindre est voisine de -r de gété.

3o8 SEPTIÈME PARTIE. — INTERVALLES.

Ainsi, dans la cimjuiême reprise qui module de sot i\ fa, il eût été possible de passer de so[ majeur à/ir/q puisque cette note e.xisle dans les tons de sol majeur pseudique ou alternant; mais la modulation ainsi définie eût été notablement moins simple qu'en passant par le ton de sol mineur; en effet, sol mineur normal et/a majeur pseudique sont liés par la parenté d'équiarmure ; tandis qu'il n'existe pas de lien analogue 'entre sol majeur et fa majeur; en outre, si le ton de sol avait été employé dans le mode majeur, on aurait trouvé réunies les notes sol si ré fa, et non plus solsi\^réfa. Or, l'association des notes sol si ré fa évoque l'accord bien connu que les harmonistes appellent accord de septième de dominante du ton de do, et, si l'on considérait ce groupe de notes, on serait souvent e.xposé à donner à fa une intonation autre que celle que l'on recherche; en effet, quand sol si ré fa est pris dans le ton de 50/ majeur pseudique, la seconde fa soi

vaut — > tandis que, (juand solsircfa esl pris dans le ton de do majeur, la seconde fa so/

vaut|- Il est évident qu'un musicien pratiquant la gamme de Ptolémée, mais chantant

l'exemple de la figure 280 (n° W8) dans ces conditions défectueuses, pourra aboutir à un comma final identique à celui ([u'il aurait obtenu s'il avait suivi la gamme de Pythagore.