CHAPITRE IH. — (iAMMliS TRIGKNKS

comprenant, pour le ton de do. sept notes naturelles, cinq notes diésées et quatre notes bi-molisées.

607. La figure suivante représente à la fois ce seizain et le vinglain qu'on obtiendrait en annexant au seizain les quatre notes situées à sa gauche.

Fig. .332.

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Ces dernières sont, après les notes du seizain, celles dont les rapports à do s'expriment par les nombres les moins complexes. On remarquera qu'elles ne diffèrent que très peu de celles du seizain ; les valeurs des différences sont indiquées sur la figure 332 par des flèches, savoir : trois flèches dirigées vers la droite, valant le comma x, environ la moitié de x\ et deux flèches dirigées vers la gauche, valant x'' — x, c'est-à-dire encore la moitié environ de x" : la substitution du vingtain au seizain compliquerait donc singulièrement la tonalité sans accroître sensiblement ses ressources.

608. Nous arrivons ainsi à constater que la gamme chromatique de douze sons n'est qu'une première approximation, que ce nombre de douze notes n'a rien de nécessaire en soi, et que l'échelle artificielle obtenue en divisant l'octave en douze parties égales n'a d'autre existence que celle qu'il a plu à l'homme de lui donner en imaginant cette ingénieuse approximation.

Cependant, beaucoup de musiciens, ayant vu continuellement ce nombre de douze sons distincts réalisés par les claviers, tablatures, etc., ne conçoivent pas qu'on le discute (pas plus d'ailleurs que le chiftre sept pour le nombre des notes composant les autres gammes). C'est que l'homme, en ceci comme en beaucoup d'autes choses, ressemble au statuaire de La Fontaine, tremblant devant le dieu qu'il a sculpté lui-même.

La tendance que nous avons à croire que la gamme chromatique tempérée existe par elle-même résulte peut-être aussi de l'extrême généralité qu'elle paraît posséder; elle permet en effet d'exprimer toutes les tonalités où l'on ne fait pas usage d'intervalles inférieurs au grade, c'est-à-dire en somme presque toutes les tonalités que peut imaginer l'homme, car, même en musique tétragène, le cycle des sons distincts semble, comme on le verra, se fermer approximativement au bout de douze sons, de même qu'en tonalité digène ou trigène.

En outre, notre gamme chromatique correspond à peu prés à la division duodécimale de l'octave, et le nombre douze possède une divisibilité très remarquable, bien connue des arithméticiens. Aussi les théoriciens, quand ils se laissent influencer par les apparences, peuvent-ils être tentés d'admettre que la grande généralité de la gamme chromatique de douze sons tient précisément à ce qu'elle résulte de la division de l'octave par douze (') :

(') Si les gammes se formaient, comme on semble parfois le croire, en superposant des intervalles musicaux, la gamme chromatique tempérée aurait probablement une? existence réelle, puisque la superposition de douze intervalles unitaires se trouverait reconstituer cet intervalle primordial ([u'est l'octave. Jlais les gammes sont formées par des collections de rapports simples, et non par des superpositions d'intervalles (■)' Partie, n" 449 et suiv.).

telle serait la genèse musicale du gété (ou demi-ton tempéré) valant \/2. Mais, en réalité, ce radical, comme tous les autres, est antimusical puisque étant incommensurable, il est l'opposé d'un rapport simple ('); et si les notes de notre gamme chromatique « ont l'air » de se succcdei' de gété en gété, cela tient tout simplement à la raison suivante :

608 bis. Les nom.bres musicaux étant engendrés, en tonalité trigène ('), par les seuls facteurs premiers 2, 3 et à, si l'on représente par a, [3 et ■/ trois entiers quelconques, positifs ou négatifs, la formule générale de l'intervalle musical trigène ^, exprimé en rapports numériques, sera

S = 2'-Xi?X 3ï.

Mais les facteurs 2, 3 et 5 correspondent respectivement à l'octave, à la quinte octaviée et à la tierce majeure bisoctaviée; en sorte que. si l'on désigne respectivement par ci, ^ et G les trois intervalles d'octave, quinte et tierce majeure, la formule générale de l'intervalle trigène -■*, considéré comme fonction de ces intervalles générateurs, sera

-T = aO^ !3((?-!-^)-l-Y(2e'>-t-Ç).

Exprimons en gétés les intervalles O, ^ et S; on sait qu'on a exactement pour l'octave, et approximativement pour la quinte et la tierce :

^= 7''-+- oe'.oii). . ., P = i-' — o»', l'i- . . ..

d'où il suit que :

0 =12^', Cl + .^ = 1 1)-' -i- 08',O I () . . . , lC) -hC' = ■i>i'' — of',l'i-

Donc, l'expression approximative, en gétés, de l'intervalle musical trigène est : r^ = i>a -T- ig 'i -.- 2Sy -T- o,o!ij 3 — o, i jjy.

Cette expression se compose de deux parties : d'abord trois termes entiers, représentant toujours un nombre entier quelconque de gétés; ensuite deux termes fractionnaires, qui correspondent souvent à un très petit intervalle musical (comma). Toutefois, il n'en est pas nécessairement ainsi; et, tandis que le trinôme entier représentei-a toujours un nombre rond de gétés, le binôme fractionnaire pourra cesser d'être un comma et arriver

à valoir - ou - ou une fraction quelconque de gété, ou même plus d'un gété, si l'intervalle

musical considéré 5 est assez complexe, c'est-à-dire comprend des nombres ((3 et y) assez grands de facteurs ordinaires (3 et .5). Dans ce cas spécial, contrairement à ce que supposent certains théoriciens, l'intervalle musical ne s'exprime plus par un nombre rond de gétés. Mais, dans les cas habituels, (3 et ■/ sont petits; ainsi, quand l'intervalle -■\ est l'un de ceux qui existent entre la tonique et les diverses notes de la gamme chromatique, (3 varie de — i à h- 2, et y de — 1 à -t-i. Alors le binôme fractionnaire ne vaut plus qu'un comma, et l'on peut pratiquement en faire abstraction, en sorte que la valeur de 3 se réduit à l'expression entière

(') Si la division de l'octave pai' i'.i di'vait t'nmnii- un l'ésulUil simple, il en serait de même et à l>ien plus forte raison pour sa division par 2, et, dès lors, le trilon Icnipéré y 2 devrait être considéré comme une consonance.

(■ j La démonstration suivante s'applii)ne à la tonalité trigène, qui fait l'objet du pre'sent Chapitre; mais une démonstration toute semblable permettrait d'établir a priori que les notes de la gamine chromatique digène (gamme pylhagoricieunu) doivent sembler, elles aussi, s'échelonner par demi-tons tempérés.