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lOS DIXIEME PARTIK. TEMPERAMENT.

Au surplus, divers exemples donnés plus iiaut (/{/t harmonie, n° 333 et fnlenalles, n"^ 4G0 et suiv.) montrent combien sensibles peuvent devenir les écarts entre la gamme juste et la gamme tempérée.

On est donc amené à se demander s'il ne serait pas possible de pratiquer la gamme juste.

901. Cette question doit être résolue par la négative. La gamme juste, celle que nous suivons d'instinct quand nous chantons (Intenaltes, n°kol), quel que soit le nombre des modulations se succédant dans la musique exécutée, ne saurait être observée avec les instruments à sons fixes, car, pour qu'il en fût ainsi, il faudrait que ces instruments permissent de réaliser un nombre de sons illimité. Le nombre des sons justes possibles n'est autre, en effet, que celui des points du quadrillage formant le plan de la tonalité (Applications, fig. 417, n" 822), et ce nombre n'est évidemment pas plus limité que celui des modulations par lesquelles il peut plaire au musicien de passer.

Et il faut bien remarquer que ces sons, eu nombre inlini, sont théoriquement distincts les uns des autres ; il ne se produit parmi eux rien de semblable à ce qui existe dans notre tonalité chromatique tempérée où les sons, de douze en douze, se reproduisent à l'octave les uns les autres, en sorte que la série des sons distincts se ferme d'elle-même au bout d'une octave. Pour que les sons figurés sur le plan de la tonalité ne fussent pas tous distincts (dans le sens que les musiciens attachent à ce mot), il faudrait que leurs intervalles eussent une commune mesure i, et fussent par suite, k étant un entier quelconque, de la forme /./; mais alors, les nombres musicaux seraient eux-mêmes de la forme A*', ou (A')'"', et formeraient par conséquent les puissances d'un même nombre A' : or, il est impossible qu'il en soit ainsi; nous savons, en effet, que les nombres musicaux sont de la forme vi".3P.5T, et ne peuvent, par suite, être ramenés à la forme (A')*, puisque chacun d'eux n'est décomposable que d'une seule manière en facteurs premiers.

902. 11 est donc impossible de construire un instrument à sons fixes permettant de moduler sans cesser de jouer juste. Aussi a-t-on été conduit à remplacer les sons justes par des valeurs approchées.

La division représentant la gamme chromatique exacte étant la suivante :

do Gamine chTo:natique exacte

Douzièmes- d'octave

on n'a pas tardé à remarquer que la division de l'octave en douze parties égales fournissait des notes assez voisines des notes justes, et était utilisable, sans augmentation d'erreurs, dans l'un quelconque des douze tons (des deux modes) qu'elle comporte.

On a donc adopté, pour exprimer toute la musique, douze sons se succédant à un douzième d'octave (ou gété) ('). De ces douze sons, celui qui coïncide avec le la normal est défini dans chaque pays par une convention spéciale; quant aux onze autres, ils

se déduisent du /anormal en multipliant sa fréquencesuccessivement par 2'-, 2'% 2", ..., et -i^.

903. Telle est la solution actuelle du prolilènu; du tempérament ; mais cette solution

(') Ces douze sons n'ont pas reçu de noms particuliers; lui pourrait, si besoin ëtail, les englol)er sous la désignation générique de gélé.ions, et les distinguer les uns des aiitres par les iioins de ^elcun, i;clci/eux. gelétiois, .... etc., ou par les notations abréviativos G,, (i^. (Ij, .... (r,,.

ClIVl-imi-: I. — TlIKOHIli DU TEMPÉRASIKNT. 5o;)

n'est évidommi'iit pas la seule possible, et toule subdivision de l'oclavc en n parties é.ualcs peut fournir une solution nouvelle, bonne ou mauvaise, selon la valeur donnée à n.

Nous distinguerons ces solutions les unes de.s autres en les désignant par la valeur de /( qui les caractérise; par exemple, nous appellerons tempéramenl i»., ou tempéramani a'i, les tempéraments qu'on obtient en divisant l'octave en 12 ou en 24 parties égales.

Ou remarquera que la valeur de n devra toujours être comprise entre i?. et 53 : elle devra être au moins égale à 12, puisque la gamme chromatique a 11 sons; d'autre part, elle ne devra pas excéder 53, car nous allons voir (jue, pour n — 53, on a un tempérament fournissant une précision telle qu'il serait inutile de la dépasser.

904. Considérons, dans le Tableau I ( n" !»00), les colonnes (A) et ((') (jui représentent les intervalles de la gamme juste et ceux de la gamme tempérée en douze gétés (tempérament 12). On voit (]ue les intervalles justes sont pour ainsi dire distribués par groufjes correspondant respectivement aux intervalles tempérés.

.\insi. ;i l'intervalle de \''- correspondent les (luatre intervalles iustes — > — > — et — ;

à l'intervalle de as'- correspondent les trois intervalles justes — . i et ^> • • ■ etc., etc.

On remarque aussi que, dans un même groupe, les valeurs justes sont à peu près équidistantes entre elles; ainsi, entre les deux premiers et entre les deux derniers des quatre intervalles correspondant à is'-, la différence n'est autre que le comma .r; el. entre le second et le troisième de ces intervalles, la dilTérence est x" — .i-, dont la valeur est sensiblement égale encore à x.

Cet échelonnement à peu près constant, amiucl se succèdent les valeurs justes d'un même groupe, est une sorte de moyenne entre les valeurs de plusieurs des commas existant dans la gamme. Pour cette cause, on le désignera dans ce qui suit sous le nom de comma tempéré, ou, abréviativement, et. ou cété (^). Sa valeur exacte sera délinie ci-après.

Nous voyons que, dans la plupart des groupes de valeurs justes, on observe le même échelonnement de i"^'-; toutefois, pour les groupes correspondant aux valeurs de -p"- el de Ss'-, l'échelonnement est de 2'-'-.

On peut donc dire que, dans la gamme juste, tous les groupes de valeurs voisines embrassent à très peu près un nombre exact de cétés.

U en est de même pour les lacunes qui séparent ces groupes; ainsi, entre l'unisson el le groupe des valeurs de is'-, la lacune est de S"'-. Entre ce groupe el celui des valeurs de 2S'-, la lacune est de 2'^-'-; les lacunes suivantes valent respectivement 2'-'-, S''-'-, 2'=-'-, 2"^'-, .... etc. La figure ci-dessous récapitule les largeurs en cétés des divers groupes d'intervalles et des lacunes qui les séparent.

1 ?2 3iSe7ô9H!/!\

Gétés...

Groupe:

Lacunes 3

Il 1 i l 1

Octave ; valeur totale de '22ffétés ou 53 ce tes

.•\insi, l'octave contient cinquante-trois de ces couunas tempérés ou cétes : nous didinirons donc le cété comnio étant la cinquante-troisième partie de Toctave. U suit de là i[ue

( ' ) La CTnc.i|itiuii du c.t, ou i''l.', on foiimia luiiipiMv. nst assez sumhlalile à celle du i;.!.. nu jrélc, ou (;''•"''' louipLTë; à Lanalogie des deu.v concoi)tions e;)rrespond celle des deux déiinmiiiatinns.

Celles-ci sont fondées sur des noms de lettres de l'alphaliet. ce qui n'a rien de enntiaire aux usages des musiciens : ainsi, le mot gamme vient de 1" (leltie grecijue); les mits bémol el bécarre viennent de B (lettre latine), etc.

IIIXIK.ME l'MlTIE. — TE.MPKR.VMEXT.

le tempérament 53 doit donner une grande précision ('): on peut s'en assurer en comparant entre elles les colonnes (/) et ( ^O^u Tableau I ci-dessus (n° 900). Dans la colonne (/), les intervalles sont exprimés en celés; les nombres de cette colonne sont obtenus en diminuant proportionnellement ceux de la colonne (d), de telle sorte que la mesure de l'octave passe de 55-^,8o à 53<^'-,oo. Dans la colonne (g), les intervalles sont également exprimés en cétés, mais ici leurs expressions sont les valeurs approximatives qu'on obtient en considérant la colonne (h), et en évaluant à l'estime les espacements existant entre lignes successives : on voit que les nombres des colonnes (/) et (g) sont presque identiques, et qu'avec le tempérament 53, un quelconque des cinquante-trois sons de l'octave peut èti-e pris pour tonique, sans que les trente-six intervalles de la gamme chromatique cessent d'être représentés avec une grande justesse C).

ARTICLE II. Autres solutions.

905. Nous venons de trouver pour ainsi dire les deux solutions limites du problème du tempérament : le tempérament la, dont la simplicité ne saurait être dépassée, mais dont la précision laisse à désirer, et le tempérament 53, qui manque de simplicité, mais dont la précision est telle qu'il serait sans intérêt d'en obtenir une plus grande.

Cherchons s'il existe, entre ces deux cas extrêmes, une solution intermédiaire, conciliant dans la mesure du possible les deux conditions contradictoires de précision et de simplicité, et, à cet effet, abordons le problème du tempérament dans toute sa généralité.

906. Rangés par ordre de simplicité décroissante, les divers intervalles qu'il s'agit d'exprimer sont :

1^ 2 3^ 4^ 2^ (i^ 9^ m^ jG^ ^^^

Plus ces intervalles sont simples, plus notre esprit a de facilité pour les concevoir avec précision et plus notre oreille exige, par suite, qu'ils soient réalisés avec justesse.

La précision de l'unisson étant toujours réalisée dans un même instrument, le premier intervalle qu'on doive chercher à rendre rigoureusement est l'octave. Pour que tous les intervalles musicaux pussent être rendus par un nombre limité de sons, il faudrait (n° 901 ) (ju'ils admissent une commune mesure, c'est-à-dire qu'un certain petit intervalle unitaire put être considéré comme partie aliquote de chacun des intervalles à exprimer. Mais, ceux-ci étant incommensurables entre eux, aucun intervalle, petit ou grand, ne sera simultanément partie aliquote de deux des intervalles à représenter; donc, si l'on veut (jue l'expression de l'octave soit exacte, il faut prendre une de ses parties aliquotes pour intervalle unitaire, et c'est pourquoi tous les tempéraments doivent s'exécuter en divisant l'octave, et non tout autre intervalle, en un certain nombre n de parties égales.

907. Nous avons vu que n doit être compris entre la et 53; cherchons maintenant à apprécier la plus ou moins grande convenance des solutions intermédiaires.

\ cet effet, considérons {voiv fig. 428) une graduation logarithmique d'échelle quelconque (') s'étendant de i à 53, et construisons, à la même échelle, une cherche repré-

(') Comparant entre eux les raisonnements i]ui nous ont conduits à eoncevoir successivement les tempéraments il! el 5!5, nous voyons que ce dernier est aussi propre à exprimer les valeurs des commas que le premier à exprimer celles des secondes, c'est-à-dire des « tons » et des « demi-tons ».

(•) On verra plus loin (n"i)59) que l'erreur ne dépasse jamais j]^, de ton tempéré, et s'abaisse même à yrilô de ton pour les intervalles ( quinte «t quarte) exigeant le plus de justesse.

(') La figure suivante est à l'échelle de ■i"" pour le logarithme de a (octave). Cette échelle très réduite suffit ici pour une figuie d'exposition; mais, si le lecteur voulait élalilir lui-même un dessin d'étude composé de deux parties susceptibles de glisser elTectivement l'une sur l'autre, il aurait sans doute avantage à adopter une échelle moins réduite, par exemple celle des règles à calculs.

— TlIKORIE 1)1 TKMPKRAMKNT.

sentant des valeurs proportionnelle^^ aux intervalles dont l'exactitude importe le plus. Ces intervalles sont d'abord (outre l'octave et l'unisson dont la justesse est absolue) ceux de

Graduation

logarithmique

1 1 1 1 1 1 ili

iillillllillll

quinte et de quarte; viennent ensuite les tierces et les sixtes majeures et mineures; mais, comme tous ces intervalles sont deux à deux renversements les uns des autres et doivent (puisque l'octave est juste) être aiTectés d'erreurs égales et contraires, il suffit, en définitive, de faire figurer sur la cherche les intervalles suivants :

Octave. Quarti'. Tiene majeure. Tierce iiiini'ure.

Les grandeurs de ces intervalles sont, comme on l'a vu plus haut (Tableau I. n" 000), proportionnelles à

Marquons donc, sur le bord de la cherche, quatre traits

ayant mêmes écartements que les nombres correspondants de la graduation logaritlimique; marquons en outre, de part et d'autre de chacun des traits q, T, t, deux points indiquant où seraient ces traits si leurs positions étaient erronées d'un comma x en plus ou moins (')•

Ceci posé, il est évident que, pour apprécier la plus ou moins grande convenance de chacune des solutions que comporte le problème du tempérament, il suffît de faire glisser la cherche sur la graduation logarithmique de telle sorte que son trait O coïncide successivement avec les traits 53, ■J2. .-m, . . ., i4, i3 et 12, et d'observer, pour chacune de ces quarante-deux positions, si les traits y, T et < de la cherche correspondent sensiblement à des nombres entiers de la graduation logarithmique.

On voit ainsi que, quand le trait c^ de la cherche est mis en regard du nombre .')3, les traits q, T, t correspondent presque rigoureusement à d'autres nombres entiers; au contraire, quand le trait Ô delà cherche est placé sur le nombre 12, le trait q seul correspond à peu près à un nombre entier, 5; mais les traits T et < correspondent assez mal aux nombres entiers ^ et 3, et il suffit de consulter la position des points qui encadrent les traits T et < pour constater l'importance du défaut de correspondance ( environ f de comma). Entre ces deux positions extrêmes de la cherche, on ne trouve guère que des solutions moins bonnes; toutefois, quand on met le trait c) de la cherche en coïncidence avec le nombre 3i ou avec le nombre 34 de la graduation logarithmique, on constate pour les

( ' ) Ainsi, le trait 0 ayant élé marqué en regard du nombre 55,8 de la Rradnation logaritlimique, le trait q a l'tc marqué un regard de 33,2, et les deux points aecompagnanl le trait q ont été placés à i comma on deçà et à 1 comma au delà, c'est-à-dire en regard de 22,2 et do 3^, > re.spectivement.

DIXIK.MK PARTIE. — TEMPERAMENT.

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TIIEORIK 1)1 TKMPKRAMKNT.

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