LES PROBLEMES DU POINT INACCESSIBLE

La position d'un point M dans une région inaccessible, soulève évidemment des problèmes différents de celui que nous avons traité dans le chapitre précédent. On peut demander, par exemple, d'évaluer la différence des distances du point inac* cessible à deux points donnés, ou le rappDrt de ces distances, etc. On peut aussi se proposer d'évaluer la longueur de la perpendiculaire abaissée de M sur une droite donnée; puis, imaginer que le point inaccessible soit mobile, et demander alors comment varie sa distance à un point donné, fixe, ou même mobile, ainsi qu'il arrive dans le problème de la poursuite, etc, etc..

â06 ESSAI SUR LA GÉOMÉTRIE

Ces différentes questions vont nous occuper; mais nous examinerons d'abord un cas particulier du problème général, traité au Chapitre précédent.

46. Le Problème de la plate-forme. — Nous supposons qu'on ne puisse se mouvoir que dans un espace très limité, comme celui que présentent les talus d'une forteresse, la terrasse d'un château, ou même le pont d'un bateau ; et, dans ces conditions, nous voulons déterminer la distance qui sépare l'observateur d'un point R, visible dans l'espace environnant; on pourra, si l'on veut, supposer que R est, relativement, assez éloigné.

1® Une première solution découle du théorème de Chasles (Première partie, 2, p. 9). Prenons, sur la plate-forme donnée,

un triangle DPQ aussi grand que possible, et dont un côté PQ passe par le point visé. Déterminons ensuite, entre les côtés DP, DQ, une droite AG passant par R ; enfin, traçons AP et CQ. Le théorème cité donne RC= AC.BP.DQ

BA.DQ -AD.BP' Gomme le point A peut être pris arbitrailement sur DQ, en choisissant pour A, le milieu de DQ la formule précédente se simplifie, et l'on a

2AG.BP 2BA - BP '

2« La solution de Carnot. Soit ABCD la plate-forme donnée ;

effectuons les tracés indiqués (fig. 492); nous allons montrer que

OR ~ OH " ÔK * En effet, K, 0, H, R forment une ponctuelle harmonique; donc

BÔ ~" RH"^ RK'^^^ ou 2 ^__-^ ' ï

OR OR-i-OK 0R~0H""ÔR'

DE LA RÈGM ET DE l'ÉQUERRB 207