Théorème de Gergonne (* \). — Lorsque trois droites

partant des sommets d\in triangle kBG, concourent en un point

et rencontrent les côtés de ce triangle aux points A', B', C, on a

Ok! . OB' , OC ,,,

AA' ^ BB' ^ ce ^ ^

(*) On trouve aussi dans les Annales de Gergonne plusieurs mémoires de Servois, de Brianchon, de Sturm, etc.. intéressant la géométrie de la règle et nous aurons occasion de citer quelques-uns d'entre eux dans la suite de ce travail. La présence de ces mémoires dans les Annafes de Gergonne nous a été signalée par M. Brocard.

(•*) Ce théorème fait partie des questions proposées dans les Annales de Gergonne (t. IX, 1818 et 1819, p. 116). Gergonne rapportant [loc, cit.^ p. 277) la solution proposée par divers auteurs, pour ce théorème et pour son analogue dans Tespace, dit : a Nous sommes tombés très simplement sur ces deux théorènips en cherchant à décomposer une masse supposée réduite à un point en trois ou quatre autres situées au sommet d'un triangle ou d'un tétraèdre. » Gergonne avait ainsi retrouvé la méthode statique deJean de Ceva, à laquelle nous faisons allusion un peu plus loin.

s IS8AI sua LA GÉOMÉTRIE

Nous représenterons la position d'un point 0, dans le plan d'un triangle ABC, au moyen de trois nombres a, p^ y que nous définissons ainsi : a représente la surface du triangle BOC; a est positif, lorsque le point est situé, par rapporta BC, du même côté que A; il est négatif dans le cas contraire. Cette convention s'étend aux nombres p et y; et, dans ces conditions, quelle que soit la position du point dans le plan ABC, on a toujours

s désignant la surface du triangle ABC.

Pour abréger le langage, nous dirons que a, p, y représentent les coordonnées du point 0, relativement à la figure ABC.

Gela posé, nous avons

OA'

et, de même,

AA'