La solution par la fausse équerre. — Le but

est placé en B ; on le suppose visible, du point A, mais on admet que, pour des raisons diverses, dans le détail desquelles il est inutile d'entrer ici, on veuille placer la batterie en un cerlain point G, différent de A. Dans ces conditions, on propose de déterminer la ligne de visée GB.

Dans la partie du terrain qui est accessible, jalonnons une droite A ; et, après avoir relevé Tangle BAG avec la fausse équerre, cherchons, sur A, le point M d'oîi Ton voit BG sous un angle BMG = BAG. Revenons au point A ; et, avec la fausse équerre, relevons maintenant Tangle BAM. L'instrument donne, en même temps, un angle a supplémentaire de BAM; c'est celui-ci que nous allons considérer. Ayant transporté la fausse équerre en G, visons le point M avec une des branches de l'instrument; l'autre branche, celle qui est inclinée sur la première de l'angle a, détermine la direction inconnue.

Il existe, il est vrai, deux droites partant de G et faisant avecGMl'anglea, enquestion. Mais, dans lapratique, cette ambiguïté ne saurait exister ; parce qu'on sait de quel côtéj par rapport à GM, se trouve lebut invisible.

Pour mesurer la distance GB, on pourrait déterminer d'abord les distances AB, MB, B^ comme nous l'avons

^ ' ' indiqué précédemment

(chap. IV); puis, on appliquerait le théorème de Ptolémée au

DE LA nÈGLE ET DE L'ÉQUEnRE

(|aadrilatère BAMG. Mais ce procédé serait beaucoup trop long; il est préférable d'opérer de la manière suivante.

Ayant relevé TanglcBCA, ce qui est possible, puisque la direction de GB est maintenant connue, on tire un alignement CD, de telle sorte que MGD = BDA. Le quadrilatère BGMA élant inscriptible, GMD = ABG; les triangles ABG, MGD sont donc semblables, et Ton a

103. La solution par les alignements. — Le but, placé en B, est suppose visible des points A, C; il est au con-

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traire invisible de M, point situé sur AG et l'on veut établir la ligne de visée qui, partant de M, aboutit au point B.

Dans la partie des alignements AB, GB, qui est accessible, on prend : deux points P, Q et Ton effectue la construction indiquée par la figure.

On trouve ainsi un point R; MRestla ligne cherchée.

Pour établir, en peu de mots, ce théorème; formons la perspective de la figure 276, de façon à rejeter à Tin- b*^ fini la droite AMG; nous obte- ^i9* ^*-

nons alors la figure 218. Aux quadrilatères BQSP, HSKR, correspondent les parallélogrammes B'Q'S'P', H'S'K'R' ; aux

286 ISSAI SUR LA GÉOMÉTBIE

droites QH, PK, les parallèles Q'H', P'K' et il faut démontrer que B'R' est parallèle ]i la direction commune des droites Q'H', P'K'.

En effet, les triangles semblables Q'S'H', P'S'K' donnent

ST^ ■" sïi''

H'R' H'I ou

Dans le triangle B'IR', Q'H' partage les côtés en IR', IB', en segments proportionnels; Q'H' est donc parallèle à B'R'. La construction indiquée plus haut se trouve ainsi justifiée.

Si nous revenons à la figure 277, on peut demander de calculer la longueur MB. A cet effet, on pourra considérer le triangle ABC et les droites AD, CE, BM qui, dans ce triangle, concourent en R. Le théorème de Gergonne (Premièt'e partie, § 1) donne