GB = G'B

AG

AG

Cette solution exige que l'on con- ^*^- ^*^-

naisse la distance AB. Si cette longueur ne peut pas ôtre calculée, il faut alors, pour que la position de B soit déterminée.

Fig. W.

que Ton puisse indiquer, sur le terrain, deux points P, Q en ligne droite avec B. D'ailleurs, P, Q sont inaccessibles; car,

^88 ESSAI SUR LA GÉOMl^TRlE

dans rhypothèse que nous avons faite, B ne peut être aperçu que cVun seul point do la partie accessible. Voici comment on peutrésoudre ce cas, l'un des plus difficiles du problème actuel.

Traçons Ox rerpcndiculairement à OB, dans la région accessible; prenons, sur Ox, un point 0' arbitraire, mais tel que les lignes OT, O'Q passent dans le voisinage du terrain oîi Ton veut établir le centre d'attaque. Les i^erpendiculaires OA, OC, élevées aux droites OP, OQ, coupent les lignes OQ,OP en des points A, C; la droite GA est la ligne do tir.

Pour démontrer que les trois points G, A, B sont en ligne droite (*), on peut raisonner de la manière suivante. Les côtés des angles droits BOX, AOP, GOP rencontrent PQ en six points formant une involution dont le point central est la projection de sur PQ. D'autre part, le quadrilatère complet AG, 00', P'Q' donne, lui aussi sur PQ (théorème de Desargues) par ses côtés O'G, OA; OG, O'A; et ses diagonales 00', AC, six points en involution. Dans ces deux ponctuelles en involution, cinq points sont confondus ; par conséquent elles coïncident, et l'on peut conclure que AG passe par B. '

La longueur de la ligne de tir peut s'obtenir de bien des façons et, notamment, en observant que le rappoit anharmonique (D, G, A, B) est égal à celui des points (0' G P' R) .

La solution précédente est, comme on le voit, une nouvelle application de la transformation des figures, que nous avons nommée transfoi^mation réciproque (**) ; elle exige l'emploi de l'équerre ordinaire. Si l'on ne dispose que d'une fausse équerre, on opérera comme nous allons l'indiquer, en effectuant une transformation homologique de la figure inaccessible.

Soit toujours désigné par B (fig, 282) le but qu'il faut atteindre et qui n'est visible que d'un seul point 0, lequel ne peut, pour certains motiis, servir de centre d'attaque. Effectuons la construction indiquée par la figure, en supposant

Q'OB = QOB, P'OB = POB;

la droite P'Q', ainsi obtenue passe par B. Si l'on ne veut pas, pour reconnaître cette propriété, invoquer les principes de la transformation homologique, il suffira d'observer que

(*) Cette propriété m'a été communiquée par M. Laurens. (**) Journal de MathémcUiques spéciaXcs^ 188Î, p. 49.

les droites OB, 00' étant les bissectrices des angles formés par les droites OQ'OQ, OP', OP : les ponctuelles (0', P', fi» n (0-, Q', S, Q) sont harmoniques. Cette remarque une fois faite, un théorème élémentaire bien connu prouve que P'Q', RS, PQ sont des droites concourantes. On pourra donc installer la batterie en P' ; P'Q' sera la ligne de tir .

Quant à la distance PB',

Fig, «««.

elle se calculera, si Ton veut, par le procédé indiqué plus haut. Nous abordons maintenant un cas plus difficile; c'est celui oîi le but est invisible de tous les points de la partie accessible.