Détermination des courants maritimes

«Pour déterminer, dit M. Réveille (/oc . ct/.j, la position du navire, on sait que Ton observe une série de hauteurs prises à différcQts moments et qu'on appelle hauteurs à

intervalle.

Si l'on a pris quatre hauteurs à intervalle, ces quatre droites de hauteur, ramenées au quatrième horizon, et corrigées de Terreur personnelle (♦*), doiventconcourir.il n'en est pas ainsi, ., „^.^ à cause des courants et Ton reconnaît

que si i, 2, 3, 4 sont les droites de hauteur, il faut tracer une transversale A, telle que les chemins AB, BG, CD soient proportionnels aux intervalles des observations. »

On voit, d'après cela, comment la détermination des courants maritimes conduit à un problème de Géométrie, pouvant s'énoncer ainsi :

Quatre droites 1, 2, 3, 4 étant données^ tracer une transversale A, telle que les segments interceptés soient proportionnels à des nombres donnés.

Nous rappellerons d'abord comment on résout le problème suivant: Etant données trois droites i, 2, 3 e/ une direction xy ; on propose de mener, parallèlement à xy, une transversale A

(*) Les idées développées dans ce paragraphe sont empruntées, pour la plus grande partie, à une note publiée par M. J. Reveille, professeur d'Hydrographie, daDS la Revue maritime et coloniale, tome LXXXIX 296» livraison, mai 18S6,p. 274. Celle note est intitulée : Détermination des œurantSf par une série de quatre hauteurs à intervalle.

Ce problème a été traité par M. Fasci dans un article ayant pour titre Mémoire sur le point observé et la détermination des courants à la surface de la mer, La solution que nous développons ici est celle de M. Reveille.

(*•) Si Ton observe trois hauteurs d'astre simultanées ; les trois droites de hauteur correspondantes doivent se couper au même point, qui est la position vraie du navire.

En général, il n'en est pas ainsi, et les droites forment un triangle L*erreurse mesure par le rayon du cercle inscrit; c'est Terreur personn^/ie.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUEBRE

Fig. 344. »(>

telle que les segments interceptés soient proportionnels à des nombres donnes.

Menons A'B'C parallèle à a;y, et déterminons, sur cette droite, un point G' tel que

BV m

m, n désignant les nombres donnés.

Soit le point de concours des droites I, 2; ce rencontre la droite 3 en G.

En menant, par G, une parallèle à xij^ le problème est résolu; il n'admet, d'ailleurs, qu'une solution.

Supposons maintenant que l'on fassevarier la direction de xy ; nous allons montrer que A enveloppe une parabole inscrite

au triangle 1,2, 3.

En effet, à un point A ne correspond qu'un seul point B; et réciproquement; la droite AB, dont les extrémités décrivent sur OA, OB des divisions homographiques enveloppe, comme on sait, une conique F inscrite à l'angle AOB. Pour une raison analogue, F est inscrite à l'angle BO'G. Ainsi, 'F est une conique inscrite au triangle i, 2, 3. Si Ton observe que les angles 0, 0' interceptent, sur la droite de l'infini, des segments infiniment grands, on voit que Ton peut considérer cette droite comme représentant une position particulière de A. La conique F est donc tangente à la droite de l'infini; en d'autres termes, F est une parabole.

Pour déterminer les points de contact de F avec les côtés du triangle OO'O', on peut observer d'abord que : si A vient en 0, G coïncide, au même instant, avec 0'; et le point B occupe, sur 00', une position limite w^.Ge point (ordonnant lieu à la relation

a)''0 "" n Le même raisonnement

Fig. 545,

prouve que les points de contact de F , avec les côtés O'O", 00'

35i ESSAI SUU LA GÉOMÉTRIE

sont des points co, 0/ tels que

coO' m (o'O 71

La connaissance de trois droites tangentes à la parabole F, et celle des points de contact, permet, de bien des façons, de construire le foyer F de cette courbe.

Cela posé, revenons au problème que nous avions en vue.

Soit r la parabole, déterminée comme nous venons de le dire, et tangente aux droites i, 2, 3 ; soit, de même, F' la parabole analogue inscrite au triangle formé par les droites 2, 3, 4. Les paraboles F, F' ont trois tangentes communes en évidence; les droites 2, 3, d'une part; et la droite de Finfini, d'autre part. Ces deux courbes admettent une quatrième tangente commune. Cette droite constitue, précisément, la transversale A que nous nous proposions de tracer dans lo plan des droites données 1, 2, 3, 4.

Imaginons le triangle foi me par la droite inconnue A et par les droites 2, 3. On sait que le cercle circonscrit à ce triangle passe par les foyers F, F' des paraboles F, F'. De cette remarque, découle la construction suivante :

On détennine les foyers des paraboles F, F' ; par ces poinls, et par le point de re^icontre des droites 2, 3, on fait passer une circonférence qui coupe celle-ci en deux points M, N; MN e^i la droite cherchée.

Remarque. — La vitesse du courant (l) se calcule en divisant l'un des segments AB par Fiotervalle des observations qui correspondent aux droites i, 2.

148. Le passage entre deux forts. — Imaginons que - ■ ■ ■- ■ , , ,

(*) On vérifie ces résultats par le calcul en cherchant réqualion tangeD-

lielle de F. A cet eflet, ayant posé

OA = u, OB = V, 00' = c, OC' = bs

BG w

on trouve facilement la relation : m- + (m -f- n, - =r n,

L'enveloppe de ABC est donc une parabole; cette équation prouve

aussi que les points de contact de ctttocourBe avec les côtes du triangle

OO'O" sont bien cçux que nous avons déterminés par des Considérations

gcomélriques.

tC-^O

deux forts, à feux croisés, aient pour centres les points 0, 0\ Soit h la portée des pièces, et soient A, A' deux circonférences décrites, des points O, O' comme centres, avec A pour rayon. Nous voulons chercher quelle est la ligne qu'il faut suivre pour passer entre les deux forts, en s'exposant le raoinspossible.

Nous admettrons, en principe, que la probabilité 0, que ToQ soit atteint par les projectiles d'un fort, tant qu'on demeure soumis à Taction de son tir, est : 1® pro- ^^0' ^^^'

portionnelle au temps et 2® en raison inverse de la distanco.

Soit MN (*) le chemin suivi dans le champ do tir du forlO; prenons, sur MN, deux points voisins B, B'.. Quand ou va do B à B', ô varie proportionnellement à BB', mais on raison inverse de OB.

(*•) Cette trajectoire doit être perpendiculaire à la ligne dos coAiros; c'est un fait qu'on peut cousidérer, croyons-nous, comme évident. Pour* tant, si l'on croit nécessaire de le démontrer, *

on pourra raisonner, ainsi qu'il suit. ,' ^

Soit A une transversale oblique à la ligne des centres; abaissons OH O'K perpendiculaires sur A; prenons, sur 00', 01=011; puis, par le point I, élevons A' perpendiculaire à 00'.

Nous avons

01 + O'I >OH + b'K; ou, puisque 01 = OH,

01 > O'K, et, par suite,

BB' > pp'.

Gomme aa' est égal à AA.', et comme los deux droites sont à égale distance du centre O, la probabilité que nous éludions sera la môme pour A A' et pour aa ; mais comme BB' est plus grand que p^' et, plus rap- jj,. „,-

proche de 0', il y a plus de chances ^10,^4/.

d'ôtreatleint en adoptant le chemin AA'BB'* comme nous Pavons avancé*

Pour le trajet MN, on a donc

BB' étant infiniment petil.

Posons

NOH = a, BOH = (p, 00* = /.

Nous avons

BH = OH tg (p, et, par conséquent,

(1) BB' =d(BH) = OH-^.

D'ailleurs,