BG.MR

Cette égalité, dont le second membre ne renferme que des quantités connues, permet de calculer le rapport QR : QG. Le point Q se trouve ainsi déterminé, etc. . .

(*) 11 y a, bien enlendu, aux problèmes de cette espèce, des solutions très variées. On peut, pour ces solutions, s'accorder de simples alignements; ou, dans d^autres cas, la fausse équerre, Téqucrrc ordinaire, le cordeau divisé. Il faut aussi discuter la solution proposée, et, notamment, voir si elle est générale dans le sens que nous avons donné à ce mot, au cours de cet ouvrage; ou au contraire, si, au point de vue pratique, elle est seulement réalisable dans certains cas.

Ainsi, dans le cas présent, si l'on peut de terminer, par des coups d'équerre, Torthocentre H du triangle ABG, dont les sommets sont inaccessibles, en prenant, si la chose est possible, les symétriques de H, par rapport aux côtés de ABC, on obtient trois points appartenant à la circonférence que Ton veut construire point par point. On est ainsi ramené à un problème plus simple et dont la solution n'ofifre aucune difficulté. Mais cette manière de résoudre le problème est soumise à objection, au point de vue pratique ; car les constructions indiquées ne sont pas réalisables, dans tous les cas. Cette solution n*est donc pas générale.

7. — Doux points A, B, sont inaccessibles et invisibles pour tous les points de la ligne AB; on propose de jalonner cetle droite, point par point.

Fig, 353.

Voici une indication pour la solution de ce problème. Les points A, B sont visibles, on doit le supposer, de deux points donnés P, Q. En effectuant les alignements qu'indique la figure, on a

RK~Rj"""Rr' QL~QP~""ûr' Les points K, L, peuvent donc être déterminés, etc..

8. — Par deux points A, B, tracer une circonférence allant passer par le point de concours inaccessible co, de deux droites données A, A'.

On tracera d'abord uoe droite A'^ passant par A, et par (o ; puis, par B, on mène une semi-droite BG faisant avec BA un angle égal k S%A^; BG rencontre A' en un point G appartenant à la circonférence cherchée, etc.

9. — Par un point A, tracer un arc de circonférence qui, prolongé, passe par les points o), o)', inaccessibles, mais déterminés : le, premier, par les droites A, o ; le second, par deux autres droites A', §'.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQI'ERRE 3G i

10. — Déterminer Torthocentre H d'un triangle ABC, dont les sommets sont inaccessibles.

Il s'agit de tracer deux droites, dans la partie accessible, allant concourir en II.

On coupe le triangle ABC par une droite A, menée dans la partie accessible ; A forme avec les côtés de ABC, pris deux à deux, trois triangles. Si Ton peut construire les orthocentres de ces triangles, on obtient trois points situés sur une droite passant par II, etc.

Autrement. Sur la partie accessible de AB on prend deux points P, Q, et l'on trace les droites, 8, 6', qui partant des points P, Q, iraient aboutir en G. Soit H' l'orthocentre de PQG ; si, de IF, on abaisse une perpendiculaire sur AB, cette droite est Tune des hauteurs de ABC ; etc.

11. — Déterminer le centre de gravité G, le centre du cercle inscrit, le centre du cercle circonscrit, etc., d'un triangle, dont les sommets A, B, G, sont situés en dehors des limites de l'épure.

On prend, sur la partie accessible du côtéBQ, deux points quelconques P, Q ; et, par ces points, on mène des parallèles aux côtés BA, CA. Elles se coupent en un point R; soit (j' le centre de gravité du triangle PQR. Ayant mené, par R, une droite allant passer par le point inaccessible A; celte droite AR coupe BG en un point &), centre d'homothétie des triangles ABG, PQR. Ainsi, GG' va passer par le point inconnu F, etc.

Gctte solution est générale ; elle s'applique à. tous les cas gui peuvent se présenter, si petites que soient les portions accessibles des côtés de ABG.

On observera, en outre, qu'elle convient & la recherche de tous les points remarquables d'un triangle dont les sommets sont inaccessibles.

Gomme solutions particulières des problèmes posés, on peut indiquer les suivantes :

1» Centre de gravité. Une parallèle ft BG coupe les parties accessibles des droites AB, AG, aux points B', G' La droite qui va du milieu de B'G', au sommet A, passe par G, etc.

20 Centre du cercle inscrit. On élève, dans la partie accessible, aux côtés AB, AG, des perpendiculaires de même longueur et, par les extrémités obtenues, on mène des parallèles à ces côtes*, elles se coupent en un point, qui appartient à la bissectrice de l'angle A. etc.

S" Centre du cercle circonscrit. On détermine les milieux des côtés du triangle ABG, comme nous venons de Texpliquer, quand nous avons cherché le centre de gravité, etc.

Autrement. En coupant le triangle ABG par une transversale A, on obtient trois nouveaux triangles et le cercle qui passe par les centres des cercles circonscrits à ces triangles va passer par le point inconnu, etc.(*;

(•) Nous nous appuyons ici sur cette propriété : les centres des cercles circonscrits aux triangles formés par les côtés d*un quadrilatère complet appartiennent à une même circonférence.

Ge théorème a été donné par nous, avec plusieurs autres, dans la Revue

Autrement. On détermine Torthocentre H et Ton prend les symétriques de H par rapport aux côtés BG, CA, AB. On obtient ainsi trois points du cercle circonscrit, etc.

12. — Etant donnés trois points A, B, C, formant un triangle tel que le centre de la circonférence circonscrite soit située en dehors des limites de répure, on propose de tracer cette circonférence, point par point, en ne faisant usage que de la règle et de réquerre.

Soient B', G' les milieux des Fig,354,

côtés AB,AG. Ayant pris sur B'G'un point arbitraire M, on élève à MA, au point M, une perpendiculaire qui rencontre les perpendiculaires élevées aux milieux des côtés AB, AG, en des points B", G". Les droites BB", GG", concourent en D; ce point appartient à la circonférence en question.

13. — Mener, par un point donné A, une normale à un arc de cercle dont le centre w est située dans la partie inaccessible de répure.

Examiner le cas où A est à Tinfini.

On prend trois points P, Q, R, sur Tare donné ; les perpendiculaires élevées aux milieux des cordes PQ, PR, se couperaient en cd, si Ton pouvait les prolonger. On est ainsi ramené au problème classique : mener, par un point A, une droite allant passer par le point de concours, inaccessible, de deux droites données.

Dans le cas particulier où l'on veut mener une normale parallèle à une direction donnée, on trace une corde perpendiculaire à cette direction, etc.