BD 6' BD

Ces égalités donnent

lËT "^ b ''

D'autre part, des relations :

Xp 6a' Xp-i b a

nous concluons

Xp — I — • Xp

ja -\- pb a + (p + i)by

b et, conséquemment,

a?p i — Xp ab

Des égalités (1) et (2) nous déduisons OpOp i ab

""Bïr'-(a+p6)[a + (p+i)6]- Si nous supposons, en particulier, a= 2b etp = 2, la formule précédente donne alors

BD 10* En admettant que BG soit la droite qu'il faut partager en dix parties égales, on voit comment on peut tirer de cette

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQIJGRRE

remarque un procédé rapide pour résoudre le problème en question. En appliquant au segment — — la même construc-

lO

lion, on aura la centième partie de BD; et ainsi de suite.

Seconde solution. — Soit AB le segment proposé; par A traçons une droite arbitraire Ajs, puis prenons (§38) la symétrique deB par rapport à As; nous obtenons ainsi un triangle isoscèle BAC que nous allons considérer. Par le point R, milieu de AB, menons RT parallèle à BC, puis joignons les points R et T à un point P, arbitrairement choisi sur BC. Des points R et T nous déduisons successivement, par la construction indiquée par la figure, les points S, Q, K et I; c'est ce dernier que nous visons plus particulièrement, et nous nous proposons de chercher le rapport des segments IR et AB.

Fig. 31.

Nous poserons PC = m, PB = n; le théorème de Ménélaus appliqué au triangle ABC et à la transversale PTS donne

AS m

et, par suite.

BS n'

AS m AB ~ m + n'

oa, en obseivant que AB = 2ÂR,

AS 2m AS 2m

ÂR "" m + n' ^^ RS " n — m' ^^

La droile PI pouvant èlre considérée comme la polaire de A, par rapport au faisceau des droites (PR, PS), le point I est conjugué harmonique de A, par rapport au segment RS. On a donc

IS AS 2m

ÏR ""ÂR "" m + n' De cette égalité on déduit

RS "" 3m + n * ^ ^

Les relations (2) et (3) donnent, par combinaison,

AS 3m + n

IS n — m '

celle-ci, par comparaison avec (1), conduit à révaluation du rapport cherché. On a, d'abord,

IS m(n — m)

ÂB "" (m + n)(3m + n) ' ^ ^

puis, finalement,

IR n — m

AB 2(3m + n) ' ^ ^

En supposant n = 2m, c'est-à-dire en prenant le point P symétrique de B, par rapport à G, on a

IR T ÂB ~Tô*

Dans cette même hypothèse l'égalité (4) donne

AB "■ i5'

Ainsi, l'application de la construction que nous indiquons ici, fournit un moyen rapide de trouver la dixième ou la quinzième partie d'une droite; mais le premier partage, comme nous l'avons déjà fait observer, présente seul ud intérêt particulier.

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