COS

c'est réquation polaire de la cissoïde.

En prenant AB pour axe des ce, A pour axe des t/, Téquation précédente donne

c'est, dans le système d'axes adopté, l'équation cartésienne de la cissoïde.

La génération précédente n'exige, comme on le voit, que l'usage de la règle et de l'équerre ; car (§ 26) nous savons

(*) Il va sans dire que le problème de la duplication du cube ne ressort nullement de la géométrie de la règle ; nous n'en parlons ici qu'incidemment à propos de la cissoïde qui doit, à ce problème fameux, sa première renommée.

(**) Il est bien entendu qu'en écrivant AI = CD, nous voulons eiprimer non seulement que les segments AI et CD sont égaux, mais aussi qu^ils ont la même direction.

DE LA RÈGLE ET DE l'ÉQUERRE 87

porter un segment donné CD sur sa direction, en prenant pour origine un . point quelconque A. Mais nous allons faire connaître d'autres constructions, point par point, de la cissoïde, qui se prêtent mieux que la précédente à l'emploi de ces deux, instruments.

92. Générations diverses de la cissoïde. — 1« Prenons encore les deux parallèles A, A', puis effectuons avec elles

Fig, 64. Fig, €5.

la construction (t, 2, 3, fig. 64) {*). On obtient un point I qui décrit évidemment une cissoïde.

On peut présenter cette construction, dans une forme un peu différente, en effectuant la construction (1, % 3, fig. 65).

2° Aucune construction ne peut, croyons-nous, dépasser en rapidité celles que nous venons d'indiquer et qui n'exigent, pour la détermination d'un point de la cissoïde, que trois lûouvements de la règle ou de l'équerre; mais en voici unp qui, bien que plus compliquée, offre un intérêt particulier; elle permet, en effet, de construire une cissoïde dont l'asymptote ^' ne peut être placée dans les limites de l'épure.

Soient 0, 0', 0" trois points en ligne droite ; on fait la con-

p Pour at)réger, noas convenons de désigner ainsi une construction effectuée avec la règle et i'éqlierre dans l'ordre marqué par les chiffres qui sont placés sur la Gguro ; de plus, pour éviter toute ambiguïté nous indiquerons les angles droits par un petit arc de cercle. Enfin, dans les constructions qui ont pour objet la génération de certaines courbes, c'est la transversale 1 que nous supposerons mobile; elle détermine la mobilité des autres droites *> 3, etc.

struction (1, 2, 3, 4, 5, fig. 66); le point I décrit une cissoïde, quand la transversale 1 est supposée mobile.

En effet, si nous posons

O'I = p, Wx = 0), 00' = d, O'Ô" = rf ,

OMO' = O'Ml = a, nous avons

MO' = (d -f (f) sin tt), et p = (rf + d') sin w tg a. (1)

Fig, 66.

D'autre part, le triangle OMO' donne

d MO (d + d') cos (!>

sin a sin (a -j- w) sin a cos (o -f" sîi^ <«> cos a Si nous éliminons a entre (1) et (2) nous obtenons

d(d + d') sin« 0)

d' cos (I)

c'est bien l'équation de la cissoïde donnée plus haut. Le point 0' est le sommet de cette cissoïde et la distance du point 0'' à Tasymptote de la courbe est égale à h,

En supposant que d' soit suffisamment petit on voit que cette longueur h peut être aussi grande que Ton voudra ot l'on pourra construire la cissoïde, dans le voisinage de son sommet, sans avoir besoin de connaître l'asymptote de la courbe. 3** Prenons deux points 0, 0'; la construction (1, 2, 3, 4,

DS LA RÈGLE BT DB L-tQUBRRE

fig. 67) donne un point I; ce point décrit une cissoïde, quand la transversale \ tourne autour du point 0.

Il serait de peu d'intérêt, croyons-nous, de multiplier ces constructions qui varient à Tinfini; nous avons choisi les précédentes parmi celles qui offrent le plus d'intérêt et de simplicité, et nous allons maintenant nous occuper du tracé de la tangente à la cissoïde. pi^^ ^^

93. Tracé de la tangente. — Considérons deux transversales AGD, AC'D' et prenons sur ces droites AI = CD, AI = CD' ; les deux points I et F, ainsi obtenus, sont deux points de la cissoïde. Les deux droites G'G et n sont deux transversales réciproques, dans le triangle ADD' ; on peut donc dire que les points M et M' sont symétriques par rapport au.

milieu de Dl)'. Si nous supposons maintenant que la transversale AC'D' vienne se confondre avec AGD, la droite II', par définition, a pour position limite la tangente, au point I, à la cissoïde et, d'autre part, CG' devient, à

Fig, 68.

la limite, la tangente au cercle au point G.

De cette remarque résulte une construction de la tangente à la cissoïde ; cette construction est indiquée sur la figure ci-dessous. Pour obtenir la tangente I[x', on a pris D{i. = Dfx.

Pour simplifier les explications, et aussi pour les rendre

B6SAI SCm LA GÉOMÉTRIE

plus faciles à saisir, nous avons tracé, dans ces deux figures, le cercle qui admet AB pour diamètre ; mais il va sans dire

que le tracé de ce cercle

u'est pas nécessaire;

et cette remarquée son

y I / importance, dans un