Iléliostatiqiie, Depuis Copernic, il existe une

autre science du troisième ordre , qui a pour objet d'expliquer toutes les apparences célestes, en montrant comment elles résultent des mouvemens réels de la teire sur sou axe , de la terre et des planètes autour du soleil, et en supposant ce dernier immobile au centre du système planétaire. Nous savons aujourd'hui que cette immobilité n'est que relative; mais qu'elle soit absolue ou relative, les mouvemens apparcns restent toujours les mêmes; en sorte qu'afin de ne pas embarrasser les explications qu'on en donne de considérations étrangères, on doit regarder, dans ces explications, le soleil comme immobile ; et c'est pour cela que j'ai cru devoir donner à cette science le nom d' héliostatique , d'rilioç, soleil , et orâ^iç, repos, inimohilitc.

3. astronomie. Alors vint Kepler. Il compara d'abord à différens intervalles de temps les distances du soleil et les positions delà planète de Mars , soit entre elles, soit avec ces intervalles; et ensuite les distances au soleil des différentes planètes avec les temps de leurs révolutions. C'est ainsi qu'il découvrit les lois auxquelles il a donné son nom , e» qu'il suffit de combiner avec les élémens de leurs orbites, pour pouvoir calculer toutes les circonstances de leurs mouvemens, cl former des tables à l'aide desquelles on puisse déterminer leurs positions à toutes lus époques passées ou futures.

Les vérités relatives à ces lois, et aux procédés

par lesquels on donne aux observations astronomiques toute la perfection dont elles sont susceptibles, et on corrige les erreurs des instrumens , forment une science du troisième ordre^ qui est l'astronomie proprement dite, et que je désignerai simplement sous le nom ai astronomie .

4. Mécanique céleste» Pour compléter nos connaissances relativement à Tobjet qui nous occupe , il restait à découvrir la cause de tous les mouvemens célestes. Celte grande inconnue nous a élé révélée par Nev7ton *, il nous a appris comment l'attraction universelle , force inhérente à toutes les particules de la matière, produit ces mouvemens; et cette admirable découverte , en nous faisant connaître la cause des inégalités planétaires, et en nous procurant les moyens de les calculer, a donné naissance a une quatrième science du troisième ordre , que j'appellerai mécanique céleste, titre de l'ouvrage où elle a été si admirablement développée par l'illustre interprète de Newton. Quelle que soit l'analogie qui existe entre celte science et la précédente, elles ont toujours élé distinguées dans les ouvrages qui en traitent , e( un cours à' astronomie est tout autre chose qu'un cours do mécanique céleste.

h. Classification.

Ces quaire sciences du troisième ordre correspondantes aux quatre grandes époques des longs travaux par lesquels le ^énic de l'homme a pénétré les mys-

lères du ciel, sont, pour ainsi dire, les quatre degrés d'une science plus éienduc ou science du premier ordre, que je nommerai URAjNOLOGIE. Celte science présente deux parties , dont la première ne suppose que des connaissances élémentaires en mathématiques, et doit entrer dans Tinstruction commune j tandis que la seconde qui , pour être bien comprise, en exige de plus approfondies, doit être réservée pour renseignement supérieur. Elles comprennent , Tune Turanographic et Tliéliostalique , sous le nom d'uRAKOLOoiE élémentaire , et l'autre l'astronomie et la mtcanique céleste, sous celui d'uRANOGNOSiE, qui indique une connaissance plus approfondie de l'objet dont il est ici question. Voici le tableau de ces sciences :

' Science du i*f ordre, i Sciences du 2^ ordre, 1 Sciences du 3* ordre.

Uranographie.

'UulNOLOClS ÉLiMI^TÀlEI,

Heliostatique.

l:RA^'OLOGIE l

i AstroDoniie.

UrA>'0C50SII \

^ Mécanique céleste.

Obsertatioks. Si maintenaDt on veut faire à l'objet spécial de ces quatre sciences du troisième ordre , l'application des points de vue, comme on Ta faite pour les précédentes , il sera aisé de reconnaître le point de vue autoptique dans l'uranographie , quj emprunte à la seule observation toutes les vérités dont elle se compose ; le point de vue cryptoristique dans l'héliostatique , où l'on détermine les mouvemeus réels, cachés, en quelque sorte, sous les mouvemens apparens étudiés en premier lieu ; le point de vue troponomique dans l'astronomie , qui observe les divers chanf^emen* du ciel , et déduit les lois de ces yicissitudes ; enfin,

le point de Tue cryptologique dans la mécanique céleste , qui révèle aux hommes les causes plus cachées encore de ces grands phénomènes.

Définitions et classification des sciences du premier ordre qui n empruntent à V observation que des idées de grandeurs et des mesures.

Jusqu'à présent j'ai défini toutes les sciences du troisième ordre dont j'ai parlé, en faisant connaître les caractères qui leur sont propres et qui déterminent leurs limites respectives. Quant à celles du premier et du second ordre, je les ai circonscrites en indiquant seulement les sciences du troisième ordre qu'elles contiennent •, mais je ne me suis pas occupé de leurs rapports avec les sciences voisines des mêmes ordres. Il n'est pas nécessaire de le faire pour les sciences du second, suffisamment déterminées par ce que j'en ai dit \ mais ayant maintenant à classer celles du premier, je ne puis me dispenser d'examiner, à leur égard, ces rapports, et d'en délerminer avec plus de précision la nature et les limites, a. Énomération et définitions.

I . Arithmologie* L'arithmologie est la science de la mesure des grandeurs en général. Mesurer une grandeur, c'est exprimer par un nombre, soit entier, soit fractionnaire, la manière dont elle est composée avec une autre qui a été choisie arbitrairement parmi les grandeurs de même nature, pour servir de terme

commun de coiuparaisou à toutes lus graiideui s de cette sorte, et qu'on désigne sous le nom d'unilé. Ce nombre est ce qu'on appelle le rapport (i) de la grandeur qu'on mesure à celle unilé.

Ainsi , pour mesurer un poids, par exemple , on cherche de combien de poids d'un gramme il est composé, et si on trouve qu'il Test précisément de 35 grammes , on dit qu'il est me^u/e par ce nombre 35. Mais si, pour le composer avec un gramme, il faut , après en avoir réuni 35 , partager un autre gramme en cinq parties égales , et ajouter deux de ces parties à ces 35 grammes , ou , ce qui est la même chose, parlager le même gramme en dix parlies égales , et en ajouter quatre aux 35 grammes déjà ol)tenus , la mesure de ce poids sera exprimée par le nombre 35 | ou 35,4 » ce qui revient au même.

Soit qu'on emploie des chiiïres ou des letlres dans les expressions sur lesquelles on opère en arithmo-

(i) Le rapport d^une première grandeur à une seconde doit être défini, la manière dont cette grandeur est composée de la seconde. Newton disait , avec raison , qu'un nombre n'est qu'un rapport ; cette définition est exacte , mais elle suppose qu'on sait déjà ce que c'est qu'un rapport. En expliquant ce mot comme je Tiens de le faire, toute difficulté disparaît. Le nombre 6, par exemple , est la manière dont un tas de G pommes est composé avac une pomme , dont la réunion de G étoiles est composée avec une étoile , dont la longueur d'une toise est composée avec la ioDgueor d'uû pied , etc.

logie, ces expressions n'ont de sens qu'autant que ces lettres , comme ces chiffres , représentent exclusivement des nombres, c'est-à-dire, les rapports des diverses grandeurs que l'on considère, à leurs unités respeclives. Et lors même que dans les applications qu'on en fait à diverses sortes de grandeurs, on oltient des équations qui ont toujours lieu , à quelque unité que les grandeurs que l'on considère soient rapportées, les lettres qui entrent dans ces équations n'en expriment pas moins toujours des nombres qui changent réellement de valeur quand ou change d'unité , mais qui éprouvent ce changement de manière que les deux membres d'une même équation augmentent ou diminuent simultanément dans le même rapport , en sorte que l'égalité de ces deux membres subsiste toujours. Ce n'est pas ici le lieu de développer cette idée, sur laquelle repose la nécessité de ce qu'on appelle V homogénéité des termes d'une même équation relativement à chaque espèce de grandeur qui entre dans cette équation, toutes les fois qu'on n'a pas déterminé les unités de ces diverses espèces de grandeurs *, nécessité fondée sur ce (|ue riiomogénéité est la condition sans laquelle les différens termes des équations ne changeraient pas de valeur dans le même rapport , lorsque ces unités viendraient à être changées.

C'est dans Tideniité des diverses expressions par lesquelles on passe successivement , que se trouve

le canclère distinctîf de Tarît amologie à T^rd de sa première partie , raritkmosrapliîe ; et ce même caractère «sonsiste dans celle des dlilérentes équaiions qne Yoa déduit les unes des autres , lorsque , soit dans Fanaljse mathématîqne, soît dans la théorie des Conctioiis, on îait éprouver des changemens éqoivalens aux deux membres de ces équations ; savoir : dans Fanaljse mathématique , en lear faisant subir les UMJMM^s opérations d'addition , de soustraction , de mnltiplîcadon , de diTÎsion ou dVx traction ; dans la théorie des fondions , en les différenciant on en les înt^rant simultanément. Quant à la théorie de probabilités , elle repose toute entièi'e sur une idée qui parait d^abord étrange à ceux qui n^ont aucune nodon de cette théorie i c^est que toute pro< habilité n*est qu'une partie déterminée de la certitude , et qoe , conune telle y elle est représentée par tme fraction dont la certitude est Tunité. En sorte que quand deux probabilités représentées par deux fractions telles , par exemple , que | et | dont la somme est i, se trouvent réunies, la certitude résulte de cette réonion. Il est aussi faux de dire, comme on l'a fait quelquefois, que la certitude est une probabilité infinie, qu'il le serait de dire que la longueur d'un mètre est infinie relatÎTement aux diverses fractions du mètre. C'est ainsi que toute probabilité n est réelleamit qu'un nombre, que la théorie des probabilités lait essentiellement partie de laritlimologie ,

et que, dans le calcul des probabilités, il ne peut jamais être question de changer l'unité, comme ou change à volonté les unités auxquelles on rapporte l'étendue, le temps, les forces, etc., parce qu'il n'y a qu'une certitude.

2. Géométrie. La science la plus voisine de l'arithmologie, est la géométrie. Le premier caractère qui les distingue, consiste en ce qu'aux rapports de grandeur dont s'occupe la première, se joignent, dans la seconde, les rapports de position dans l'espace, des points, des lignes et des surfaces. C'est à la géométrie à combiner ces nouveaux rapports avec les premiers, et à montrer comment ils peuvent y être ramenés en déterminant la distance de deux points par la mesure de la droite qui les joint -, la position respective de deux droites par celle de leur plus courte distance et de l'angle que formentleursdireclions,'etc.

Un second caractère propre à la science de l'étendue, c'est qu'un certain nombre de rapports, soit de grandeur, soit de position, existant entre les points, les lignes ou les surfaces dont Mwe figure est composée, il en résulte entre ces points, lignes ou surfaces, une multitude d'autres rapports, suite nécessaire des premiers, et dont la détermination est le but que se propose le géomètre.

Enfin, on peut remarquer un troisième caractère

dislinctif entre l'arithmologie et la géométrie 5 savoir,

que les vérités dont se compose l'arithmologie résul- PftBms&B PA&TU. s

tenlderidenlité des nombres représentés sous différentes formes au moyeu des signes convenus, tandis que les théorèmes de la géométrie ne sont vrais qu'en vertu des propriétés de l'espace , et ne sont nécessaires qu'en admetant avec Claïke et les métaphysiciens qui l'ont suivi , que l'étendue est elle-même nécessaire et infinie, ef, que la portion d'espace occupée par un corps reste nécessairement , lorsqu'il en est enlevé, avec les mêmes rapports de grandeur et de position qu'avaient auparavant les parties de ce corps, même dans le cas où Dieu anéantirait tout ce qu'il y a de créé dans le lieu qu'il occupe. En ellet. quand le géomètre dit : «Appelons volume une portion déterminée de l'espace; elle sera séparée du reste de ce même espace par une limite nécessairement sans épaisseur ; car si elle en avait, ce serait une portion de volume qui aurait elle-même deux limites, une intérieure, l'autre extérieure. — Appelons surface celte limite, et distinguons une portion de la surface du reste, la limite qui l'en séparera n'aura ni épaisseur, puis([u'elle appartient à la surface, ni largeur, puisque ce serait une portion de surface qui aurait elle-même deux limites. — Appelons ligne cette nouvelle sorte de limite, et distinguons dans une ligne deux portions, elles seront séparées par un point, et le point ne pourra plus avoir aucune étendue; car s'il lui en restait, ce seiait une petite ligne qui serait elle-même terminée par deux points. »

Or, que ces distinctions successives s'arrêtent à li troisième, cela ne dépend pas de la nature de notre esprit, mais d'une propriété de l'espace tel qu'il existe réellement, et qu'on exprime en disant qu'il a trois dimensions.

Il y a plus. Reid a montré que si l'homme était réduit au simple sens de la vue, ne pouvant dès lors connaître que l'étendue superficielle à deux, dimensions, et prenant pour des lignes droites ce qui serait réellement des arcs de grands cercles tracés sur une surface sphérique dont le centre serait dans sou œil, les triangles qu'il considérerait comme rectilignes pourraient avoir deux angles ou même leurs trois angles droits ou obtus, et que la géométrie d'un tel homme serait toute différente de la nôtre, deux de ces lignes qu'il prendrait pour droites se rencontrant, par exemple, toujours en deux points, en sorte que la notion de deux droites parallèles serait contradictoire pour lui.

Enfin, on sait que le théorème fondamental de la théorie des parallèles, lorsqu'on les considère comme existant réellement dans l'espace à trois dimensions, ne peut être rigoureusement démontré. C'est que ce théorème est foudé sur des propriétés de l'espace qui supposent les trois dimensions et l'infinité de l'étendue.— Les vérités géométriques ont donc une réalité olyective, qui ne se trouve pas dans celles de l'ariihmologie.

Tels soDl les caractères distinciifs qui sépaient ces deux sciences, quelle que soit, d'ailleurs, l'analogie qui existe entre elles-, analogie qui a porte les auteurs dontj^ai parlé plus haut à placer la gcométriv? synthétique à la suite de l'arithmogaphie, à exposer la théorie des ligues et des surfaces dans les mêmes ouvrages où ils traitaient de la théorie des fonctions, et Newton lui-même à réunir dans son Arithmétique universelle la géométrie synthétique à l'analyse mathématique.

Quelques parties de la géométrie synthétique eu ont été séparées, sous des noms particuliers, comme si c'étaient autant de sciences à part. Telle est, par exemple, la géométrie c?e5cr/pfzVe, qui n'est à l'égard de la géométrie synthétique à trois dimensions, que ce qu'est, relativement à la géométrie plane, la solution des divers problèmes graphiques, sur la construction des perpendiculaires, des parallèles, des polygones, etc., que personne n'a jamais songé à séparer de cette dernière science. Quant à la trigonométrie rectiligne et à la trigonométrie sphérique , lorsqu'elles sont traitées synthétiquement, comme eîlçs l'ont été long-temps dans tous les cours élémentaires de mathématiques, elles doivent être comprises, la première dans la géoméirie plane, la seconde dans la géométrie à trois dimensions, qui sont les deux subdivisions de la géométrie synthétique. Je crois que celte manière de les exposer était de beaucoup

préférable ; elle n'empêchait pas, lorsqu'on eu" était à la géométrie analytique, de les traiter à l'aide de l'algèbre, par la méthode adoptée aujourd'hui, et qui conduit, surtout lorsqu'il s'agit de la trigonométrie sphérique, à des calculs fort compliqués, et qui ne sauraient laisser des idées bien nettes dans l'esprit des élèves. Quoi qu'il en soit, quand on se sert de cette dernière méthode, les mêmes sciences appartiennent évidemment à la géométrie analytique.

3. Mécanique, Il semble d'abord que quand on a dit que la mécanique est la réunion de toutes les vé* rites relatives aux mouvemens ou aux forces coDsi-« dérés en général, on a suffisamment distingué cetfce science de toutes les autres. Mais on pourrait objecter que, dans la géométrie, et surtout dans la théorie des lignes et des surfaces, on définit ces lignes et ces surfaces en déterminant le déplacement du point ou de Li ligne qui les décrit, et que ce déplacement est déjà un mouvement. La réponse que je ferai à cette objection, c'est qu'il n'y a réellement mouvement que quand l'idée du temps pendant lequel a lieu le dépiacemenî étant jointe à celle du déplacement lui-même, il en résulte la notion de la vitesse plus ou moins grande avec laquelle il s'opère^ considération tout-à-fait étrangère à la géométrie, qui fait le caractère propre de la mécanique, et la distingue à cet égard de la géométrie.

Ov. esî dîns l'usage de diviser la statique en stati-

que proprement dite et hydrostatique, el de faire la même divisioa dans la dynamique. Ces distinctions sont du genre de celles qui existent en histoire naturelle entre les genres d'une même famille, et qui, ainsi que je Tai dit, doivent être considérées comme des sciences du quatrième ordre. Mais alors ce n'est pas seulement pour ces deux sciences qu'il faudrait adopter cette division, on devrait aussi la faire dans la mécanique moléculaire, entre les calculs qui sont, par exemple, relatifs aux vibrations des corps solides, el ceux qui se rapportent aux mouvemens vibratoires des fluides, ce qui n'est nullement admissible. Il faudrait encore la faire dans la cinématique -, car, comment séparer la description de la presse hydraulique de celle des autres machines? Comment ne pas s'occuper de la détermination du rapport des vitesses virtuelles des deux pistons en raison inverse de leurs surfaces, fondée sur ce que le volume du liquide interposé reste le même, lorsque l'on traite de considérations analogues sur les autres machines ?

4. Uranologie. Dans la mécanique, les mouvemens ne sont considérés que comme possibles; car l'espace où se meuvent les corps étant, de sa nature, immobile , ce nV'st qu'autant qu'il y existe des corps qu'il y a effeciivement lieu à des mouvemens. C'est ce qui distingue la mécanique de l'uranologie, où il est question des mouvemens effectifs y soit apparens, soil réels, des globes semés dans l'espace.

*• Classification.

Les quatre sciences du premier ordre que nous veuons de définir sont réunies par un caractère commun, celui de n'emprunter à l'observation que des notions de grandeurs et des mesures. J'en formerai un embranchement, que je désignerai, conformément à l'usage, sous le nom de SCIENCES MATHÉMA- TIQUES , et je le partagerai en deux sous-embranchemens ; celui des sciences mathématiques proprement DITES, comprenant l'arillimologie et la géométrie, et celui des sciences physico-mathématiques, où seront réunies la mécanique et l'uranoîogie, ainsi qu'on le voit dans le tableau, suivant :

Einbranchgment , I Sous-embranchemens . 1 Sciences du ler ordrt.