CL. Énumération et définition

i . Arithmographie. Tout le monde sait que pour écrire les valeurs des grandeurs dont la composition est connue , en emploie :

i°. Les dix caractères o, 1,2,0, 4 , 5, 6, 7 , 8 , g , qu’on appelle chiffres ;

2°. Cinq signes à l’aide desquels on exprime les résultats des opérations connues sous les noms d’addition, soustraction, multiplication, division, extraction ;

3°. Des lettres dont on se sert pour représenter les nombres, lorsque les opérations qu’on a à exécuter sur ces nombres doivent être indépendantes de toute valeur particulière qui leur serait assignée.

Toute combinaison de chiffres, de signes ou de lettres, représente un nombre, et la numération elle-même n’a pour objet que de faire connaître à

quel nombre répondent celles de ces combinaisons qui ne contiennent que des chiffres.

Le même nombre peut être exprimé parune multitude de combinaisons différentes, et Farithmographie ou l’art d écrire les nombres n’a qu’un seul objet , celui de transformer ces diverses expressions en expressions équivalente» , jusqu’à ce qu’on *

arrive à celle qui est la plus simple et la mieux appropriée à l’usage qu’on se propose d’en faire (1). C’est ainsi que Vr se transforme successivement

en 7-*“T> 7 *+*7» 7>333 .

Toutes les opérations qui sont du ressort de l’arithmétique et de cette première partie de l’algèbre dont je viens de parler, se réduisent évidemment à de pareilles transformations. Il faut que les quantités sur lesquelles on opère soient écrites ou puissent l’ètre parune première combinaison de chiffres, de signes ou de lettres , pour qu’il y ait lieu de remplacer cette expression par une expression plus simple, et, en définitive, parune expression ou exacte , ou aussi rapprochée qu’on leveut, etquine contienne

(i) L’expression des nombres fractionnaires en de'cimales , est en général la plus commode; elle est la seule qui ne contienne que des ebiffres , et je la considère comme faisant partie de la numération, où l’on doit dire qu’il faut placer une virgule entre les unités simples et les dixièmes, pour marquer l’espèce d’unité désignée par chaque chiffre; mais on a cependant asser souvent besoin de laisser ces nombres sous la forme de fractions ordinaires , quoiqu’alors cette expression ne contienne pas seulement des chiffres, ruais encore le signe d’une opération, la division.

que des chiffres , pourvu toutefois qu’on ait les valeurs en chiffres de chacune des lettres contenues dans cette combinaison. C'est à la science qui apprend à faire ces transformations que j’ai donné le nom tf arithmographie , d’api8,u.of, nombre , et ?pâ<pa>, j'écris. Et l’on peut dire que l’élève à qui l’on enseigne cette science , la possède parfaitement,, lorsqu’il sait ramener à une valeur exprimée seulement avec des chiffres , toutes sortes d’expressions telles que

(5-I-4)1 — a|/io*— 56

ou

c*H-5l/à(3a-f-c) 4fl.

bien entendu que , pour la dernière , il connaisse les valeurs des lettres a , b , c , et qu’avant de remplacer chaque lettre par sa valeur , il sache mettre cette expression sous la forme plus simple :

». Analyse mathématique. Dajis l’arithmographie ainsi définie , les valeurs de toutes les lettres qui entrent dans des expressions de la nature de celles que je viens de mettre sous les yeux du lecteur, sont connues ou censées l’être. Mais quand, au contraire, les valeurs d’une ou de quelques-unes de ces lettres sont inconnues , qu’on donne entre des expressions

qui les contiennent des relations auxquelles doivent satisfaire ces inconnues , et qu’on demande de les déterminer d’après ces relations , au lieu de trouver, comme dans l’arilhmographie , par voie de composition, les valeurs des expressions donton connaît les élémens, il faut, au contraire , décomposer les expressions entrelesquellescesrelations sontdonnées, pouren déduire les valeurs des élémens inconnus. La science du troisième ordre, qui enseigne les procédés par lesquels on peut atteindre ce but , est cette seconde partie de ce qu’on appelle ordinairement algèbre , à qui, d’après la nature des opérations par lesquelles elle nous conduit à la détermination des inconnues, convient si bien le nom d analyse mathématique. On sait que les relations dont je viens de parler s’expriment par ce qu’on appelle des équations , et l’on peut dire que le caractère distinctif qui sépare cette science de l’aritbmograpbie , consiste en ce que , dans cette dernière , les transformations successives qu’on fait éprouver à une expression , n’en altèrent point la valeur , tandis que celles qu’on fait subir aux équations, changent à la fois la valeur dedeurs deux membres , mais de manière que l’égalité de ces deux membres subsiste toujoui's , parce qu’ils éprouvent les mêmes changemens.

3. Théorie des fonctions. Jusque-là les quantités dont on s’occupe ont ou sont censées avoir des valeurs déterminées, connues ou inconnues . Mais lors-

qu on applique les nombres à la mesure de diverses sortes de grandeur dépendantes les unes des autres , comme dépendent , par exemple , le volume d’un corps terminé par une surface donnée , de l’aire des tranches qu’on y forme , en le coupant par des plans parallèles ; l’aire d’une surface , de la longueur des droites par lesquelles on la divise en bandes parallèles ; l’espace qu’un point parcourt dans un temps donné, de la vitesse avec laquelle il se meut; cette vitesse, de la force qui agit sur le point mobile , etc. , on découvre que les nombres qui expriment ces différentes grandeurs , ont des relations qui peuvent être ramenées , en général , à ce double problème : Connaissant les relations par lesquelles sont liées des quantités qui varient simultanément , trouver celles qui en résultent entre ces mêmes quantités et les limites des rapports de leurs accroissemens respectifs , et quand on connaît, au contraire, ces dernières relations , remonter à celles des variables primitives. Les lois mathématiques, sur lesquelles repose la solution de ce double problème, sont l’objet du calcul différentiel et du calcul intégral , dont la réunion donne naissance à une autre science du troisième ordre, que, pour la désigner plus simplement, j’appellerai théorie des fonctions , à l’exemple de l’illustre Lagrange.

4- Théorie des probabilités . L’homme est porté naturellement à rechercher les causes plus ou moins

probables des événemens dont il est témoin ; son imagination et ses désirs le transportent sans cesse dans un avenir toujours incertain; de là l’idée de probabilité , soit dans la recherche des causes , soit dans la prévision des événemens futurs ; et une des plus belles conceptions du génie de l’homme a été d’exprimer par des nombres ces divers degrés de probabilité, qui, au premier aspect, semblent si peu susceptibles de mesure. C’est de l’ensemble des vérités relatives à cet objet, que je formerai une quatrième science du troisième ordre, qui complétera toutes nos connaissances relatives à la mesure des grandeurs en général; connaissances parmi lesquelles on doit placer ce dernier genre de recherches dont nous trouvons partout à faire des applications, quelle que soit la nature de l’objet que nous étudions. A cette science je conserve le nom de théorie des probabilités , quelle a d’ailleurs toujours porté.

b. Classification.

Les quatre sciences que nous venons d’énumérer et de définir, embrassent l’ensemble de nos connaissances relativement à leur objet spécial, la mesure des grandeurs en général. Leur réunion constituera une science du premier ordre , à laquelle je donnerai le nom d’ARITHMOLOGIE, d’«j nombre , et a» jo « > discours , connaissance. Mais de ces quatre sciences, les deux premières renferment des notions plus simples , et les deux dernières une connaissance plus approfondie de leur objet. L’arilh-

mologie se divisera donc naturellement en deux sciences du second ordre, dont la première, sous le nom J’arithmOLOGIE élémemtaire, comprendra l’arithmographie et l’analyse mathématique.

Quant à la seconde , formée par la réunion de la théorie des fonctions et de celle des probabilités, j’ai d’abord hésité sur le nom que je devais lui donner, et il m’a semblé nécessaire d’éviter de tirer ce nom du mot ap/fl^cf, parce que ce ne sont pas des nombres proprement dits, mais des grandeurs exprimées en nombre , qu’on y considère. Je me suis arrêté à la dénomination de MÉGÉTHOLOGIE, de piytüof, grandeur. Le tableau suivant expliquera cette classification.

Science du ip* ordre. I Sciences du 2® ordre. I Sciences du 3® ordre .

ARITHMOLOG1E.

AxiTBHOLOGIE ELEMENTAIRE

MÉiîÉTIIOLOC IK.

Arithmographie.

Analyse mathématique.

Théorie des fonctions.

Théorie des probabilités.

Observations. Il est aisé de voir que ces quatre sciences du troisième ordre ne diffèrent entre elles qu'en ce que l’objet commun auquel elles se rapportent , et que je viens de signaler , y est considéré sous divers points de vue. Dans l'arithmographie , les différentes expressions d’un même nombre que nous transformons les unes dans les autres , sont en quelque sorte sous nos yeux , et nous voyons immédiatement , sinon avec les yeux du corps, du moins avec l oeil de l’intelligence, que ces divers changemens n’altèrent en rien la valeur du nombre exprimé. C’est là un premier point de vue où nous ne nous occupons que de ce qui est susceptible d’intuition immédiate. — Dans l’analyse mathématique , il ne s’agit plus de calculer des quantités dont la composition nous est connue ; il faut les décomposer pour déterminer les valeurs des inconnues

enveloppées et en quelque sorte cachées dans les équations qu on a à résoudre, second point de vue. — Le troisième , celui de la théorie des fonctions , est caractérisé par les changemcns successifs des quantités qui varient simultanément , et par les lois que nous déduisons de la comparaison de leurs accroissemens respectifs. — Enfin , dans la théorie des probabilités , quatrième point de vue , on cherche à découvrir des inconnues plus cachées encore , si l’on peut s’exprimer ainsi , que celles dont s occupe L’analyse mathématique , et qui se lient à cette felation de causes et d’effets qui est comme la grande loi à laquelle tout est subordonné dans l’univers.

Ces quatre points de vue n'ont pas lieu seulement à l’égard des nombres ; ils se représenteront dans tous les objets des sciences dont j’aurai à traiter par la suite, parce que, comme je l’ai expliqué dans la Préface , où j’ai exposé la série des idées qui m ont conduit à la classification que je publie aujourd hui , il est de l’essence même de l intelligence humaine de s’élever successivement dans l’étude d’un objet quelconque , en examinant d’abord ce qu’il nous présente immédiatement , et qu’il met en quelque sorte sous nos yeux ; ensuite de chercher à déterminer ce qu’il y a de caché dans ces mêmes objets; et c'est à ces deux points de vue que se bornerait notre étude , s’ils s offraient à nous les mêmes en tout temps et en tout lieu. Mais dans la nature , tout éprouve de continuelles variations , que nous comparons , pour déduire de cette comparaison les lois générales qui président à ces variations. Enfin , sous un quatrième point de vue , qui complète tout ce que l’homme peut savoir de l’objet qu il étudie , il cherche à découvrir quelque chose de plus caché encore que les inconnues déterminées dans le second point de vue , et c est ici que se présente à nos recherches tout ce qui est relatif à l'enchaînement des causes et des effets. — En un mot , observer ce qui est patent ; découvrir ce qui est caché ; établir les lois qui résultent de la comparaison des faits observés et de toutes les modifications qu’ils éprouvent suivant les Lieux et les temps ; enfin , procéder à la recherche d’une inconuue plus cachée encore que celle dont nous venons de parler, c’est-à-dire , remonter aux causes des effets connus , ou prévoir les effets à venir, d’après la con

naisiance de6 causes; voilà ce que nous faisons successivement, et les seules choses que nous puissions faire dans l'étude d un objet quelconque , d après la nature de notre intelligence.

La nécessité de rappeler souvent ces points de vue , m’a déterminé à leur donner des noms qui pouvaient seuls me dispenser de recourir sans cesse à des circonlocutions aussi embarrassantes pour 1 auteur, que fastidieuses pour le lecteur.

J ai donc donné le nom d ' autoptique au premier point de vue, c est-à-dire , à l'étude qu’on fait de ce qui s’aperçoit à la simple inspection d’un objet, de avros 3 L’objet même, et de oTmifuxi , je vois .

Le second point de vue où nous nous proposons de déterminer ce qui est caché dans un objet, s’appellera cryptoristique, de ypv7rros , caché, et de îpiÇa, je détermine , d’où l’adjectif cpia-TiKos, qui détermine.

Quant au troisième point de vue , son caractère essentiel est d étudier les cliangemens qu éprouvent les mêmes objets , suivant les lieux et les temps , et de déduire de la comparaison des êtres ainsi modifiés , les lois qui président à ces cliangemens ; j,e le désignerai sous le nom de troponomique , de Tpows , clian gement , et de eopos , loi.

Enfin, le quatrième point de vue, où l’on achève de découvrir ce qu’il y a de plus caché dans l’objet qu’on étudie, recevra le nom de cryptologique.

Mais en disant que ces divers points de vue se reproduisent dans toutes les branches des connaissances humaines , je n'entends pas dire que ce soit toujours identiquement de la meme manière. Restant les mêmes quant au fond, ils éprouvent nécessairement quelques modifications , d’après la nature des objets auxquels ils s’appliquent, comme on l’observe si souvent dans les classifications naturelles des végétaux et des animaux, relalivementauxcaraclèresqui en distinguent les divers groupes. Ainsi , par exemple , dans la plupart des sciences noologiques, le point de vue cryptoristique prend un caractère interprétatif, qu’il présente plus rarement dans les sciences cosmologiques; et dans les unes comme dans les autres , les changemens qu'étudie et compare le point de vue troponomique , ont lieu taptôt

successivement dans le même objet , tantôt' entre des objets de même nature , existant en divers lieux, ou à des époques différentes ; et dans les sciences connues sous le nom d’art, et dont le but est l’utilité , la grande inconnue à déterminer , ce sont les profits et les pertes effectifs ou éventuels des entreprises industrielles ; c’est pourquoi les moyens d’arriver à cette détermination sont l’objet du point de vue cryptoristique , tandis que le point de vue cryptologique soccupe principalement d une autre sorte d’inconnues , les perfectionnemens à apporter aux procédés utiles. J’aurai soin , dans la suite de cet ouvrage, de signaler ces modifications à mesure qu elles se présenteront.

L’ordre dans lequel je présente ici ces quatre points de vue est celui que suit 1 intelligence humaine en s élevant graduellement dans la connaissance de l’objet quelle étudie. C’est donc aussi 1 ordre qu’on doit suivre dans une classification naturelle des sciences; mais il ne doit pas alors empêcher de remarquer l’analogie qui existe ,

i°. Entre le premier et le troisième points de vue, fondés également sur l’observation ou l’intuition , et qui ne diffèrent qu en ce que, dans le premier, on étudie l’objet tel qu’il se présente, indépendamment des changomens qu’il peut éprouver , et de ses rapports avec d’autres objets , taudis que , sous le troisième point de vue . on l’observe relativement à ces changomens et à ces rapports ;

a°. Entre le second et le quatrième points de vue . qui recherchent tous deux ce qu’il y a d’inconnu dans cet objet , et dont la seule différence consiste en ce que , dans 1p second , il suffit , pour découvrir ces inconnues , des connaissances acquises dans le premier , et que, dans le quatrième . la recherche plus difficile d’inconnues plus cachées encore ne doit être tentée qu’après qu’on a réuni sur cet objet toutes les notions acquises dans les trois précédons. C'est celte dernière analogie qu'il m’a paru convenable d’indiquer par les noms même cryploristique et crypto logique , déduits d’une même racine , que je leur ai donnés.

On verra dans la suite de cet ouvrage que tous les arts appartiennent à l’un de ces deux derniers points de vue ; la raison

t?n est simple : toutes les vérités dont ils se composent ne sont que la découverte, des moyens par lesquels l’homme peut atteindre un but déterminé. Ces moyens étaient une chose cachée pour celui qui se proposait de l'atteindre. Au reste , on se tromperait fort si on concluait de ce que je dis ici que tontes les sciences cryptoristiques ou cryptologiques sont des arts.

§ II

Sciences du troisième ordre relatives à la mesure et aux propriétés de l' étendue.

Les sciences relatives à la mesure et aux propriétés de l’étendue sont tellement liées avec celles qui se rapportent à la détermination des grandeurs en général, qu’on les a souvent entremêlées dans les ouvrages qui en traitent. Ainsi , dans la plupart de ceux qui ont été publiés dans le siècle dernier, on joignait à l'arithmétique et aux notions les plus élémentaires de l’algèbre, la partie de la science de l’étendue à laquelle, à l’exemple des anciens, on restreignait alors le nom de géométrie. On les a séparées depuis dans les traités plus modernes, mais on réunit encore à la théorie des fonctions ses applications à l'étendue ; et l’illustre Lagi'ange, dans le premier ouvrage qu’il a publié sur cette théorie, y a même réuni ses applications à la mécanique. Ces réunions peuvent être sans doute justifiées par le but que se propose un auteur, ou par l’avantage qui peut en résulter pour un professeur, de trouver dans le même traité

toutes les parties qu’il veut embrasser dans un eours. Mais comme la distinction des objets auxquels se rapportent les sciences doit être un des principaux fondemens de leur classification, j’ai dû faire cesser cette confusion, et cependant rapprocher, autant qu’il m’était possible , des sciences si étroitement unies; c’est donc ici que les sciences relatives aux propriétés de l’étendue, doivent trouver leur place.

a. Enumeraliou et définitions.

1 . Géométrie synthétique. Parmi les sciences du troisième ordre qui ont pour objet spécial les propriétés de l’étendue, se présente d’abord la géo métrie synthétique, où en partant de vérités évidentes et très-simples , et les combinant de toutes les manières possibles, on parvient à en découvrir d’autres de plus en plus compliquées , par une intuition continuelle du rapport de dépendance nécessaire qui -enchaîne toutes ces vérités. Ce que je nomme ici géométrie synthétique , est cette partie des mathématiques approfondie par les anciens , qui lui avaient donné le nom de géométrie , et à laquelle les modernes n’ont presque rien ajouté, tout en créant les autres sciences du troisième ordre relatives à l’étendue, et dont nous allons parler.

2. Géométrie analytique. La première est celle où l’on sc propose de déterminer ce qui est encore inconnu dans les figures dont on s’occupe, en appli-

quant l’analyse mathématique à cette espèce particulière de grandeurs. On la désigne ordinairement sous le nom d application de l’algèbre à la géométrie; mais il me semble préférable de l’appeler géométrie analytique , pour mieux indiquer son but et la nature des procédés qu’elle emploie.

3. Théorie des lignes et des surfaces. Quand un point change de situation dans l’espace d’une manière continue, il en résulte une ligne; et cette ligne, en éprouvant à son tour un changement semblable, déci’it une surface. Pendant le déplacement qui a lieu dans l’un et l’autre cas , des relations constantes subsistent entre les droites ou les angles qui déterminent à chaque instant la situation conlinuement variable de ce point ou de cette ligue. De là, 1 idée si féconde de représenter les lignes et les surfaces par les équations qui expriment ces l'elations. Déjà sans doute on a lait usage, dans l’analyse mathématique, d’équations de ce genre, pour représenter les courbes ou les surfaces qu’on y considère, et en démontrer diverses propriétés ; mais par l’application de la théorie des fonctions aux variations simultanées des lignes ou des angles dont nous venons de parler, on parvient à des lois générales communes à toutes les courbes , à toutes les surfaces, telles que les formules par lesquelles on représente toutes les quantités qui en dépendent , longueurs, aires ou volumes. Je désignerai cette application de la théorie des fonctions à la

mesure de l’étendue, sous le nom de théorie des lignes et des surfaces.

4* Géométrie moléculaire. Maintenant se présente une autre science du troisième ordre , que l’on ne compte pas ordinairement parmi les sciences dont nous nous occupons ici, mais qui doit y entrer, parce quelle n’emprunte à Inobservation que des mesures, circonstance qui, comme on le verra bientôt, est le caractère distinctif de l’embranchement auquel elles appartiennent. Cette science qui a pour objet la détermination de ce qu’on nomme formes primitives dans les corps susceptibles de cristalliser, d’après les formes secondaires données par l’observation, ou, réciproquement, d’expliquer l’existence des formes secondaires quand on connaît les primitives, est connue sous le nom de cristallographie. Il suffit d’ouvrir l’ouvrage où elle a été exposée par le grand physicien qui l’a créée , pour s’assurer qu’elle est purement mathématique , et que tout s’y borne à combiner des figures polyédriques de manière à en produire d’autres. J'ai cru devoir lui donner le nom àe géométrie moléculaire , qui me semble exprimer d’une manière plus précise son objet, et sa liaison intime avec les sciences dont je viens de parler.

h. Classification.

Le nom de GÉOMÉTRIE, en n y comprenant pas seulement les travaux des anciens, mais ceux des

modernes, sur les propriétés de l’é tendue, est évidemmentcélui qui convient pour désigner la science du premier ordre, formée par la x-éunion des quatre sciences du troisième que je viens de définir. Si nous î-éunissons d une part la géométrie synthétique avec la géométrie analytique, et de l’autre la théorie des lignes et des surfaces avec la géométrie moléculaire, nous aurons deux sciences du second ordre, dont la première peut être considérée comme élémentaire, relativement à la seconde, qui nous donne une connaissance plus approfondie des formes que nous présentent les corps ou que nous concevons dans l’espace ; c’est pourquoi je donnerai à la premièrele nom de géométrie élémentaire, et à la seconde celui de THÉORIE DES FORMES , ainsi qu’on le voit dans le tableau suivant :

Scicmcedu !•» ordre» I Sciences du a® ordre. I Sciences du 3* ordre

^GÉOM*T*IE ÉtSMINTi'IE-.