MMM 27 RARE
Be TS AN er € ir red H NA alt Ke Qu NIET 265 Te b Ce Nr APR SROETE TON 2 ae LCel Tr f ? rd ho LE 0 À Œ
effet du principe de l’égalité du droit de tous les électeurs, principe qui est à la base même de la proportionnalité, que si, dans un parti quelconque, un nombre de voix déterminé obtient un représentant, tout autre parti doit pouvoir prétendre à un représentant pour le même nombre de voix au moins. Si l’on accorde 2 représentants à la liste IL pour 17,962 suffrages, c’est 8,981 qui devient le mètre électoral, et il faut logiquement accorder 3 sièges à la liste IT et 6 à la liste I, soit en tout 11 places. Or il n’y en a que 8 à répartir.
« Ce n’est pas la règle de trois en elle-même qui » est inexacte, car elle donne toujours la proportionna- » lité. L’inexactitude provient de ceci qu’on prend tout » simplement la plus grosse fraction pour un entier, sans » réfléchir que, lorsqu'il s’agit de proportionnalité, la » même fraction change tout à fait d'importance, suivant » que le nombre entier dont elle est accompagnée est plus » ou moins grand.
» Je n’ai pas d’objection à ce qu’on fasse d’abord le par- » tage au moyen de la règle de trois, mais alors il faut » attribuer le siège vacant, le huitième dans l’exemple » choisi, à la liste qui est le plus près d’atteindre le but, » c’est-à-dire d'obtenir ce huitième représentant. Après » le partage au moyen de la règle de trois, qui se fait à » raison d’un représentant pour 12,856 suffrages, il reste » de trop à chacun des trois partis les nombres de suf- » frages qui suivent, suffrages qui ne sont pas entrés dans » la répartition :
[ Il TT 3,952 3,801 9,106
» I manque donc aux partis les chiffres de voix suivants
7 CR TE ee A Be AT EN te PO ME Ne TS ES A, RO ET Re Ce RP EU HA QUE CHROMÉ RSS e; Ce * ï É
pour que chacun d’eux obtienne le huitième représentant : :
». D’après cela il semble que le parti HT soit le plus rapproché du but, mais ce n’est qu’une apparence, une apparence trompeuse. Il s’agit précisément de savoir quel parti est relativement le plus rapproché du but, car il ne faut pas oublier que les partis sont de forces différentes et poursuivent le but avec des vitesses différentes. C’est pourquoi, avant toute comparaison, les distances qui séparent les partis du but doivent être réduites à la même unité, en divisant chaque chiffre par le nombre de suffrages qui s’y rapportent. De cette maniére nous obtiendrons pour les distances relatives :
La liste 1 présente l’écart le plus faible : elle est donc le plus près du but et mérite d'obtenir le huitième représentant.
» Nous voudrions éclairer les réflexions que nous venons de faire, au moyen de l’exemple suivant emprunté à un autre ordre d'idées. Trois tireurs, À, B et C, se disputent des prix. Ils commencent tous trois en même temps, et il est convenu qu’un prix est gagné chaque fois qu’un tireur a touché 95 fois dans le noir de la cible, c’est-àdire qu’il a fait ce qu’on appelle un carton. Dans la pré-
vision qu’il ÿ a dix prix à répartir, on arrête le tir après |
que les concurrents ont fait les nombres de cartons suivanis :
À Br: C
Les prix se trouveront répartis de la manière suivante par le diviseur 5 fixé à l'avance :
» Mais il se trouve qu’on s’est trompé en comptant les prix et qu’il y en a onze à répartir au lieu de dix. A qui revient le onzième prix? Le plus juste serait de continuer le tir, mais cela est impossible pour différentes raisons. On doit donc chercher par le caleul quel est celui qui mérite le onzième prix.
» À a 15 cartons de plus qu'il ne lui était nécessaire : il lui en manque donc encore 10 pour qu'il ait gagné le prix supplémentaire. B n’a pas de cartons de trop : il lui en manque donc 25. Enfin C, qui en a 20 d’avance, n’en a besoin que de 5. A prendre les choses absolument, C est donc ici le plus rapproché du but : d’après la manière de comprendre des partisans des fractions forcées, c’est ce tireur qui pourrait justement prétendre au prix qui n’est pas encore réparti. Mais ce serait tout à fait injuste, car À, qui est quatre fois plus habile, aurait
plus vite fait les 10 cartons qui lui manquent que C les
o dont il aurait besoin. Cela ne dépend donc pas des écarts absolus, mais bien des écarts relatifs, c’est-à-dire réduits à la même unité. Nous aurons :
A B C » Ecart absolu . . 10 95 5 » Ecart relatif . . 0,05 0,5 0,11
On voit que A est le plus rapproché du but et mérite le onzième prix.
» Nous arriverions au même résultat en abaissant d’une manière appropriée et applicable aux trois tireurs le
nombre de points nécessaire pour obtenir un prix. En
pl A a Dr OT gl PE SE TRE 2 OS EE DATE Es QE ane ES TAC Lt
» appliquant, par exemple, aux nombres de cartons le » diviseur 23 au lieu du diviseur 95, nous avons immédia- » tement:
» Le nombre 23 n’est évidemment rien autre chose
» que le chiffre répartiteur ou commun diviseur de » M. d'Hondt (1). » | ;
CG. Commun diviseur. — Nous pouvons maintenant donner du commun diviseur une notion précise. M. d’'Hondi a eu l’idée ingénieuse et pourtant très simple de réaliser la représentation proportionnelle par la théorie des proportions. En négligeant les fractions, parce qu’il opère sur des quantités indivisibles et non sur des quantités divisibles à l'infini comme des nombres abstraits, il réduit les chiffres électoraux à une échelle telle que la réduction réponde parfaitement au nombre des sièges à répartir. Cela est mathématiquement exact, car si l’on divise plusieurs nombres par un même diviseur, les quotients que l’on obtient sont entre eux dans la même proportion que les nombres divisés ; et cela est juste, car tous les partis étant mesurés à la même aune, aucun d’eux ne peut protester contre le résultat de la répartition.
M. d’Hondit arrive ainsi à la formule suivante qui contient une définition du commun diviseur : La justice se trouve donc dans la division de tous les chiffres électoraux par le diviseur qui donne des quotients dont la somme soit égaie au nombre des sièges vacants. M. Maurice Vernes dit d'une manière un peu plus concrète : « Il sera attribué à cha-
(1) Hagenbach-Bischoff, loc. cit., p. 167-170 et p. 188-191.
ne %:
» cune des listes concurrentes autant de sièges qu’elle » contiendra de fois le chiffre répartiteur. Le chiffre ré- » partiteur est un chiffre tel que, en divisant par lui les » totaux obtenus par les différentes listes, on ly trouve » contenu autant de fois qu’il y a de sièges à conférer (1).»
La démonstration la plus claire et la plus lumineuse que je connaisse du commun diviseur est de M. Hagenbach- Bischoff. Elle a l’avantage d’être graphique, et par conséquent de parler aux yeux en même temps qu’à la raison.
En partant du point O on prend, suivant une échelle quelconque, sur laxe horizontal des abscisses, les distances OA, OB, OC, égales aux sommes des suffrages des différentes listes A, B, G. Aux points A, B, C& on élève des verticales, et sur ces verticales on marque à des distances égales des points qui représentent les candidats. Puis, en partant de l’axe horizontal, on fait tourner une droite autour du point O jusqu’à ce que » points en tout aient
(1) R. P., Bruxelles, 1889, p. 155.
rÉ Po Pre nue
été dépassés, » étant égal au nombre de candidats à élire. Le nombre de points dépassés sur chaque verticale donne le nombre de députés que peut réclamer chaque liste. Il est évident que par cette construction mathématique le problème de la répartition est résolu avec une rigueur
mathématique. «Car si nous tournons la droite, les ordon-
» nées coupées restent toujours exactement proportion- » nelles aux abscisses, qui représentent les nombres des » suffrages. Ces ordonnées sont obtenues en multipliant » les nombres des suffrages par la tangente de langle de » rotation, ou en les divisant par la cotangente de l’angle
» de rotation. Cette cotangente nous représente donc ce
» même diviseur par lequel il faut partager les différentes » sommes de suffrages : et, si je tourne jusqu’à ce que » points soient dépassés, je choisis le diviseur tel que la » somme des quotients, après avoir négligé les fractions, » soit égale au nombre des députés à élire (1). »
Nous disons : après avoir négligé les fractions. En effet la proportionnalité absolue ne peut être donnée que dans le cas où, les chiffres électoraux des listes étant égaux au commun diviseur ou en étant des multiples, la ligne tournante atteint exactement un point sur chaque verticale. C’est ce qui a lieu dans le cas du graphique ci-dessus, où il y a 9 députés à élire, et où les partis ont les valeurs W suivantés : À = x, B—Szx, CO = 5 x. Mais ce cas est évidemment très rare pour ne pas dire purement hypothétique.
Dans ia pratique le problème se présentera sous la forme suivante.
(1) Hagenbach-Bischoff, R. P., Bruxelles, 1890, p. 102, 103.
PRE PRET Te EPA PSN RE NM re RTE LT eh CS TAN NET ACTEUR FHRANIRS f Ce ‘ ANT Mat Ù fn, \ Re 5
CMS A, >
Douze représentants sont à nommer. Mais quand la ligne tournante Ss’arrête après avoir dépassé douze points, elle ne passe pas que par des points. Il y a donc des fractions de lignes, c’est-à-dire des excédents de suffrages qu’il faut négliger. En négligeant les fractions, le commun diviseur satisfait à toutes les hypothèses.
Sauf une cependant. Si les nombres entre lesquels il faut faire la répartition ne sont pas différents du diviseur luimême ou en sont des multiples parfaitement exacts, et si en même temps la somme des quotients dépasse le nombre des sièges ou lui est inférieure, la ligne tournante atteindra plusieurs points à la fois. Soit deux partis A et B. A — x et B— 4x. Il n’y a que 4 sièges à répartir, et x est le commun diviseur. Mais comment répartir 4 sièges entre À et B, puisque À + B — x + 4x, c’est-à-dire 5 fois le commun diviseur ? En effet, la ligne tournante ne dépassera pas 4 points exactement, mais 3, et puis 5 sans transition. Voici le graphique de cette hypothèse.
LPSC
Sms @ mme @ vase © mm @
Ge cas ne peut être tranché que d’une manière arbitraire. Il faut recourir à une règle spéciale comme dans le régime actuel lorsque deux candidats ont également droit à un siège : on se décide alors suivant l’âge des candidats. On peut ainsi attribuer le siège en litige soit au candidat qui à personnellement le chiffre électoral le plus élevé, soit au parti le plus fort. M. d’Hondt a soutenu successivement ces deux procédés : considérant tout d’abord qu'il n’y à concurrence qu'entre deux candidats de deux partis différents (1) ; réfléchissant ensuite que dans les élections proportionnelles la latte ne se produit pas entre les candidats, mais entre les partis (2).
Au reste l'hypothèse de ce troisième graphique, comme l'hypothèse du premier graphique, est toute théorique et pratiquement improbable. En fait le commun diviseur ne
(1) Système pratique et raisonné de représentalion proportionnelle, Bruxelles, 1882, p. 42. se
(2) Le Pourquoi du système de l'Association réformiste, R. P.; Bruxelles, 1895 p:30:
réalisera jamais ou presque jamais la proportionnalité absolue, et ne nécessitera jamais ou presque jamais l’emploi d’une règle complémentaire. C’est donc sur le second graphique qu’il convient de raisonner. |
Or nous avons dit que la droite tourne autour du point 0 jusqu’à ce que x points en tout aient été dépassés, 12 en l'espèce. Il suffit d'examiner le graphique pour voir que la position de la droite qui résout le problème n’est pas en général fixe, mais qu’elle est contenue entre deux limites bien définies, savoir : la position où la droite passe par le nme point et celle où elle passe par le n + 1me, Il n'entre pas pour cela la moindre incertitude dans la solution, parce que pour toutes les positions de la droite entre ces ; deux limites le résultat de la répartition reste absolument fixe et donné. Et c’est même un avantage positif de ne pas en être réduit à un seul diviseur pour procéder à la répartition, mais d'en avoir une série à sa disposition : il n’en est que plus facile d’en trouver un. |
Dire qu’il existe pour un cas donné plusieurs communs diviseurs, c’est dire que le commun diviseur est une quantité variable évoluant d’un minimum à un maximum. M. d'Hondt a déterminé l’un et l’autre.
Le bon sens nous indique qu'on ne peut jamais pour un siège exiger comme chiffre répartiteur une fraction du corps électoral supérieure à la fraction correspondante du nombre des sièges. S'il y a 3 sièges on ne peut exiger plus de 1/3, s’il y en a 4 plus de 1/4, s’il y en a 5 plus de 1/5, et ainsi de suite. Il serait aussi absurde d’exiger davantage que de vouloir couper une orange en quatre parties égales dont chacune serait supérieure à un quart. Le diviseur maximum est donc le diviseur que l’on obtient en divisant le nombre des électeurs par le nombre des
sièges, c’est-à-dire le quotient électoral. Formule : Æ. Ce diviseur servira de base de répartition lorsque les chiffres électoraux des listes seront identiques au diviseur ou en seront des multiples. Gest l'hypothèse du premier graphique.
Lorsque la répartition se fait à l’aide du diviseur maximum, il n’y a dans aucun parti des électeurs de trop. Dès que l’on prend un mêtre inférieur, il reste des excédents qui sont perdus : rechercher le diviseur minimum, c’est donc rechercher quel est le diviseur dans le cas où il y a le maximum de voix inutilisées. Cette hypothèse se réalise lorsque pour le dernier siège toutes les listes se trouvent en concurrence : ce Siège est attribué à l’une d'elles, et dans toutes les autres il y a un nombre de voix perdues égal au chiffre diviseur. En d’autres termes, lorsqu'il y a le plus grand nombre possible de voix perdues, le diviseur produit autant de sièges en trop qu'il y a de listes, sous déduction toutefois de celle qui obtient le dernier siège. Le diviseur minimum est donc le nombre des électeurs divisé par le nombre de sièges, plus le nombre de listes moins un. Formule : 75. (est l'hypothèse du troisième graphique.
Ce minimum n’assure pas la. ce batiqus Au-dessous de cette limite un parti ne peut rien obtenir; au-dessus il peut réussir, mais n’est pas certain du succès. Il est - d'ailleurs facile de déterminer quel commun diviseur donne en toute hypothèse droit à un siège. Si l'élection porte sur 3 sièges, un parti qui réunit plus du 1/4 des électeurs en obtient certainement un ; de même celui qui réunit plus du 1/5 si l'élection porte sur 4; et ainsi de suite. Généralisons : le nombre des électeurs divisé par le nombre de sièges plus un donne le diviseur minimum -dessus duquel tout parti a droit à un siège. Formule : Sr ï
Appelons E le nombre des votants, S le nombre des représentants à élire, L le nombre dés listes : nous avons trois. formules. Le commun diviseur évolue d’un maximum + à un minimum 45. Au-dessous de celui-ci, il est impossible d'arriver à la représentation. Entre les deux se place le diviseur +; au-dessus duquel tout parti est sûr d'obtenir un siège (1). L'existence d’un commun diviseur minimum (-—-{—;) est la confirmation de ce que nous avons dit plus haut (2). Puisque les calculs de répartition donnent naissance pour chaque élection à un mi-
nimum au-dessous duquel nulle fraction du corps électoral
ne peut être représentée, il ne saurait appartenir à la loi d’édicter un minimum ou quorum. Le minimum naturel est seul juste en théorie et seul exact en fait ; le minimum légal serait faux et arbitraire.
Jusqu'à présent, nous n’avons fait que déterminer les conditions auxquelles doit satisfaire un nombre pour pouvoir servir de commun diviseur. Nous avons en dernier lieu limité le problème en fixant les quantités maximum et minimum entre lesquelles seules le commun diviseur peut varier. Arrivons à la solution. Comment déterminet-on le commun diviseur ?
En 1882 un ingénieur belge proposa un procédé mécanique qui fonctionna notamment à l'assemblée générale de Association réformiste du 27 janvier 1883. L'appareil consistait en un cadre en bois, rectangulaire, de 1 mètre 50 de base sur 1 mètre de hauteur, formé de quatre lattes jointes les unes aux autres au moyen de vis très peu serrées, et dont celle de base était fixe. Les deux lattes de
(1) R. P., Bruxelles, 1883, p. 126.
(2) CF. supra p. 298. |
droite et de gauche étaient jointes entre elles par des fils placés à la distance d’un décimêtre l’un de l’autre, et, en portant la latte supérieure à droite ou à gauche, le cadre prenait la forme d’un parallélogramme. Au fur et à mesure que le cadre s’éloignait de la forme da rectangle et que la distance entre la latte supérieure et la latte inférieure diminuait, les fils se rapprochaient; mais, quelle que fût la position du cadre, ils conservaient toujours entre eux la même distance. C’était la distance entre deux de ces fils qui constituait le mètre électoral. Pour faire la répartition, on tracait perpendiculairement à la base et sous les fils des lignes représentant par des hauteurs proportionnelles la force des partis; puis on abaissait la latte Supérieure du cadre jusqu’à ce que les lignes représentant les forces des partis fussent autant de fois coupées par les fils qu'il y avait de sièges à conférer (1).
Supposons que l’on représente par 0 mètre 100 un chiffre électoral de 100 voix. Pour un parti A de 100 voix nous élèverons une perpendiculaire de 0 m. 100, et pour trois partis B, C, D, de 300, 520 et 643 voix, des perpendiculaires de 0 m. 300, 0 m. 520 et 0 m. 643. Il y a vingt sièges à pourvoir. Dans la position rectangulaire les fils sont à 0 m. 10 les uns des autres. Nous constatons que :
la ligne À de 0 m. 100 est coupée 1 fois.
+ B— 0 m.8300 5; OI.
ea 0;:m,520 TD LOIS
— D—0 m. 643 — 6 fois.
Soit en tout 15, et il y a 20 sièges à répartir. Descendons
(1) V. d'Hondt, Moyen mécanique de déterminer le diviseur électoral, . R. P., Bruxelles, 1882, p. 46.
la latte supérieure. Nous trouverons par tâtonnement qu’il faut l'arrêter lorsque les fils ont une distance de 0 m. 074. Alors en effet :
la ligne À de 0 m. 100 est coupée 1 fois.
=D 0m: 800 Sr ATOS:
—. C— 0m. 520 rw foIs
A1 D. 0m; 648 — 8 fois,
et les 20 sièges sont répartis.
En 1885 M. Hagenbach-Bischoff imagina la démonstration géométrique du commun diviseur que J'ai exposée plus haut. Il est facile de saisir comment un appareil peut mécaniquement traduire cette démonstration et servir de procédé de répartition.
Deux règles mobiles autour d’un axe commun 0. Sur Ja ligne OX on prend des longueurs OA, OB, OC... proportionnelles aux chiffres électoraux des différentes listes, et
aux points À, B, C... on élève des perpendiculaires subdivisées en parties égales : chacune de ces parties égales représente le mêtre électoral d’un siège. Quelle que soit la position de la rêgle OY, on a toujours des triangles semblables OAA’, OBB’, OGC’... donc les côtés AA’, BB’, CC”. sont respectivement proportionnels aux côtés OA, OB, OC... Donc les côtés AA”, BB’, CC’... représentent comme les côtés OA, OB, OG.... les chiffres électoraux des partis. Et comme ils sont divisés en parties égales au mêtré électoral, il suffit pour répartir les sièges de diminuer ou d'augmenter l’angle formé par les deux règles, de manière à trouver sur les lignes A4, BB’, CC... autant de subdivisions qu’il y a de sièges à répartir (1).
Presque aussitôt connu, cet appareil fut simplifié par un ingénieur belge qui proposa de se servir d’une feuille de papier ligné, d’une bande de papier blanc, et d’une épingle ou de préférence d’une pointe à dessin. Les lignes étant parallèles, le papier ligné remplace les points qui dans la figure ci-dessus marquent les subdivisions des perpendiculaires. La règle tournante est remplacée par une bande de papier : il suffit qu’elle soit découpée en ligne droite au moins sur le côté inférieur, sauf qu’à l’une des extrémités elle descend en courbe et fait un arc de cercle pour pouvoir être fixée au papier ligné au moyen de l’épingle (2).
Je n’insiste pas sur ces procédés mécaniques. Ils sont fort exacts, et ils ont le grand avantage d’être vivants et de parler aux yeux. Très instructifs, ils sont excellents pour la démonstration théorique. Mais on ne peut songer à les
(1) R. P., Bruxelles, 1888, p. 100.
(2) Id., p. 147.
faire adopter par un bureau de dépouillement. Ce n’est point l'usage de procéder à la répartition des députés avec la règle et le compas ou au moyen d'un appareil, et d’ailleurs leur maniement deviendrait assez difficile sil fallait opérer dans des circonscriptions un peu importantes. Passons sans plus tarder aux procédés arithmétiques.
M. d'Hondt proposa tout d’abord de considérer la recherche du commun diviseur comme une opération arithmétique ordinaire, et de le chercher, comme nous cherchons le quotient dans une division, par tâtonnement. Il se peut en effet qu'avec de la pratique et un certain flair mathématique on arrive à calculer assez rapidement par ce moyen le commun diviseur. Il n’en est pas moins vrai que la recherche du commun diviseur n’est pas une opération arithmétique courante ; et si l’on ne connaissait d'autre procédé de répartition que ce procédé de tätonnement, il faudrait renoncer à appliquer la théorie du commun diviseur, car il serait impossible de constituer les bureaux de dépouillement.
Aussi est-ce M. d'Hondt lui-même qui exposa, le 9 août 1885, à la Conférence internationale d'Anvers, un autre . procédé dit procédé théorique, qui est encore aujourd’hui le procédé le plus parfait que l’on connaisse pour trouver le commun diviseur. Voici son énoncé: on divise les chiffres électoraux des partis par 1, 2, 3, 4, 5...; on compare les résultats obtenus et on les range suivant leur importance; le quotient qui occupe le rang correspondant au nombre des sièges fournit le diviseur cherché.
Soit trois partis : À de 8,145 voix, B de 5,680 voix, et C de 3,795 voix. Divisons successivement ces chiffres Hs F 29, 4410
À B C Division par 1 : 8,145 5,680 3,795 — 2: 4,072 9,840 1,862 = 3: 9715 1,893 2.9 098
Disposons maintenant ces nombres d’après l’ordre de leur importance :
BA 8124 ee 2 5,680 | os 3,795.
Il y à sept sièges à distribuer. De ces divers quotients, le nombre 9,038 est le septième dans l’ordre d'importance : c’est lui qui est le commun diviseur. Remarqüons que le. quotient 4,893 étant le huitième serait commun diviseur pour huit sièges, mais que tout diviseur supérieur ne produirait plus une somme de quotients égale à 8 : en d’autres termes, tout nombre compris entre 1,893 et 2,039
est commun diviseur pour sept sièges.
L’exactitude de ce procédé se démontre au moyen des constructions graphiques de M. Hagenbach-Bischoff dont nous nous sommes déjà servi plus haut (1). Nous avons dit que sont élus les » candidats dont les points correspondent aux # angles de rotation les plus petits. Or à un angle plus petit correspond une cotangente plus grande. Nous pouvons donc dire que les # candidats sont élus auxquels correspondent les » angles de rotation les plus petits ou les x cotangentes les plus grandes. Géométriquement on calcule les plus petits angles de rotation jusqu’au ame; avec son procédé théorique, M. d’Hondt calcule jusqu’à la n®e les plus grandes cotangentes. Les nombres disposés par ordre d'importance ne sont autre chose que les cotangentes des angles dont il faut tourner la droite mobile pour que les points qui désignent les candidats soient dépassés par elle. C’est pourquoi l’ordre dans lequel ces nombres sont disposés est le même que celui dans lequel les points sont dépassés par la droite mobile.
Le procédé théorique est absolument sûr, très simple et facilement compréhensible. Mais il devient long si le nombre » est considérable. On a donc cherché à le simplifier et à y substituer un procédé pratique. Deux de ces procédés ont une réelle valeur.
L'un est de M. Hagenbach-Bischoff. Il consiste à diviser le total des suffrages par le nombre des candidats plus un : le nombre entier qui suit le quotient est le diviseur cherché. Soit 15,000 votants et 15 candidats. 297 — 937. 938 (937-+ 1)est le commun diviseur. Formule: (5) +1. Ce procédé dans des cas extrêmement rares donne plus de
(1) Cf. supra p. 318 et seq.
Rs
représentants qu'il n’en est demandé. Il peut également — et plus fréquemment — ne pas aboutir à la répartition de tous les sièges et en laisser quelques-uns vacants. M. Hagenbach-Bischoff a déterminé pour cette dernière “hypothèse le maximum d'erreur possible : si L est le nombre de listes, il ne saurait y avoir plus de L —9 sièges libres. Il à calculé en outre par les probabilités qu’avec 3 listes, dans 1/2 des cas il n’y a point de siège libre et dans 4/2 des cas un siège libre; avec 4 listes, point de siège libre dans 1/6 des cas, dans 4/6 des cas un, et dans 1/6 des cas deux sièges libres ; avec 5 listes, dans 1/24 des cas point de siège libre, dans 11/24 des cas un, dans 11/24 des cas deux et dans 1/24 des cas trois sièges libres (1). Que le commun diviseur trouvé soit trop fort ou trop faible, il est très facile de déterminer par tâätonnement le véritable commun diviseur, en diminuant ou en augmentant le diviseur trouvé d’une quantité nécessaire..
Suivant un autre procédé, on divise le total des suffrages par le nombre des candidats plus la moitié du nombre des listes, et on ajoute une unité au quotient. Soit 15,000 votants, 15 candidats et 5 listes. Le — 857. 858 (857 + 1) est le commun diviseur. Formule : Tux ed On diminue ainsi les chances d’avoir des sièges complémentaires, on augmente celles d’avoir des sièges excé- dants. Ce second procédé paraît done supérieur au procédé Hagenbach-Bischoff, dans lequel au contraire les sièges excédants sont bien plus rares que les sièges complémentaires.
(1) R. P., Bruxelles, 1890, p. 167.
D'autres procédés pratiques ont été mis en avant. Diviser le total des suffrages par le nombre des candidats augmenté du nombre des listes moins un, et ajouter une “unité au quotient; déduire ensuite les sièges excédants des plus faibles fractions. Calculer le commun diviseur par le procédé de M. Hagenbach-Bischoff, puis attribuer les sièges complémentaires aux plus fortes fractions. Procéder par le quotient électoral; multiplier alors les suffrages excédants de chaque liste par le nombre de sièges qui lui ont été attribués, et répartir les sièges complémentaires sur la base des chiffres ainsi obtenus. J’en passe.
À vouloir simplifier la recherche du commun diviseur, il ne faut pas cependant lui faire perdre sa valeur propre : el c'est ce qui arrive si un procédé conduit à une répartition de sièges complémentaires. C’est pourquoi je rejetterai en bloc tous les procédés pratiques : observant toutefois que le procédé de M. Hagenbach-Bischoff est appliqué au Tessin et à Soleure où il donne d'excellents résultats. Et, comme j'ai déjà mis de côté les procédés mécaniques et le procédé de tâtonnement, c’est dire que toutes mes préférences vont au procédé théorique de M. d’Hondi. La question ne se pose pas au point de vue théorique : sa supériorité est indiscutable et indiscutée. À mes yeux ce serait un motif suffisant pour l’adopter : mieux vaudrait quelque complication et quelque longueur dans les calculs qu'une répartition inexacte. J’estime d’ailleurs que l’on a grandement exagéré les difficultés pratiques de ce procédé. Il serait long à appliquer s’il y avait un très grand nombre de représentants à élire, et ceci est vrai. Mais en fait les circonscriptions électorales ne comptent guère plus de 10, 19, 15 représentants : c’est-à-dire que, dans chaque collège, un burea uunique — le bureau central — aurait à
faire 45 ou 20 divisions. On ne doit pas rejeter pour quelques calculs aussi peu nombreux et aussi simples le meilleur mode connu de trouver le commun diviseur. C’est ce qu’ont parfaitement compris les Belges, qui ont adopté -le procédé théorique de M. d’Hondt dans la loi DDPADAE du 12 septembre 1895.
D. Objections contre le commun diviseur. — 11 nous reste à réfuter les objections que l’on a adressées à la théorie du commun diviseur. Elles sont au nombre de trois. On lui reproche : de donner des résultats antiproportionnels, de reposer sur une base inexacte et d’être par nature impopulaire.
Première objection. Le commun diviseur ne réalise pas une proportionnalité parfaite : il peut mème donner la wajorité dans un corps élu à un parti qui ne la possède pas dans le corps électoral.
Il est parfaitement vrai que le commun diviseur présente une cause d'erreur : puisque l’on fait les calculs en négligeant les fractions, ces fractions sont inutilisées, c'est à-dire que les électeurs auxquels elles correspondent ne sont pas représentés et que leurs votes sont inefficaces. Or on peut déterminer avec précision quel est le maximum de cette cause d'erreur. On a calculé que pour la Belgique, étant donnée la distribution actuelle des circonscriptions électorales, il pouvait y avoir 5,92/00 du corps électoral non représentés. Si donc l’on suppose que le maximum possible de votes perdus soit perdu, et que ces voix inutilisées le soient dans tous les collèges au préjudice du même parti, une hypothèse peut se présenter : un parti, constituant plus de 47,04/00 du corps électoral et n'ayant aucun vote inefficace, pourra l'emporter sur celui qui représente environ les 52,96/00 du corps électoral, mais
qui a 5,92/00 de votes perdus. Faisons le même calcul
en ce qui concerne le système majoritaire actuel, nous trouverons qu’un parti comptant les 75/00 des électeurs peut être mis en minorité par un parti ne comptant que les 25/00. Les proportionnalistes belges ont aussi démontré que, si la Belgique formait un collège unique, le sys-
tème majoritaire actuel permettrait la perte de 759,999 -
votes sur 1,520,000, et le commun diviseur seulement la perte de 9,934 (1). Ces comparaisons tendent à prouver que si le commun diviseur ne réalise pas la proporticnnalité absolue, il assure le maximum possible de représentation et réduit au minimum possible les causes d'erreur.
Et c'est bien là en effet l'appréciation exacte qu’il convient de porter sur le commun diviseur. Il n’est point parfait : encore convient-il de remarquer qu’en mettant les choses au pire il assurera toujours l’exacte représentation des 94,08/00 du corps électoral; et qu’il ne convient pas de s'arrêter à l'hypothèse d’une minorité des électeurs obtenant la majorité dans le corps élu, tant est invraisemblable le concours de circonstances qui est nécessaire pour sa réalisation. Mais, si le commun diviseur n’est point absolument parfait, il est relativement parfait, car on ne connait pas de système électoral donnant ni de meilleurs ni d’aussi bons résultats.
Ce point a été mathématiquement démontré par M. Mansion, professeur à l’Université de Gand. Voici son exposé :
« Théorème : dans le système d’Hondt de représenta- » tion proportionnelle le nombre des suffrages dits ineffi- » caces est minimum.
» Démonstration algébrique. Soit x sièges à répartir RE PE PO ERA OU MAD MES ER NE OR DRE D 0 de
(1) R. P., Bruxelles, 1895, p. 30, 31 et 44, 45.
CE sc A ET L- 7: =:
entre quatre partis qui ont obtenu respectivement, les catholiques P suffrages, les libéraux Q, les radicaux R, les socialistes S, en tout N suffrages. Soit D un diviseur de P, Q, R ous, deS par exemple, et
P= (pa) D, Q—(q +6) D, R—(r +0) D, S—çsd
-p, 4, T, S étant des nombres entiers tels que
prq+r+s=n et a, b, c des fractions. D est le mètre électoral du système d’'Hondt : il est le plus grand de tous ceux qu'il est possible de choisir parmi les diviseurs qui donnent des quotients entiers dont la somme est au moins égale à n. Les catholiques auront p sièges, les libéraux q, les radicaux r, les socialistes s, absolument comme si le nombre des suffrages émis eût été pour ces quatre partis respectivement É : | pD, qD, rD, sD.
Le nombre des suffrages efficaces est donc |
pD + qD +rD+sD=(p+q+r+s) D=nD et celui des suffrages inefficaces N— D.
Comme D est le plus grand possible dans le système d'Hondt, le nombre nD des suffrages efficaces est le plus
- grand possible, et par suite le nombre N— xD des suf- frages inefficaces le plus petit possible (1). »
M. Mansion passe ensuite à une démonstration non algé-
brique. Il suppose une élection qui a compté 121,000 votants, et il calcule quels seraient les résultats avec les différents systèmes électoraux : aux deux termes du rai-
(1) R. P., Bruxelles, 1895, p. 46, 47.
sonnement il trouve le système majoritaire avec 61,600 suffrages efficaces et 59,400 suffrages inefficaces, et le commun diviseur avec 410,000 suffrages efficaces et 11,000 suffrages inefficaces. Et il conclut : « En général, dans tout » système, le nombre des votes efficaces est égal au nom- » bre de députés multiplié par le nombre de suffrages qui » dans ce système donne droit à un député. Comme ce » nombre de suffrages donnant droit à un député est plus » grand dans le système d’Hondt que dans tout autre, » le nombre des votes efficaces y est le plus grand pos- » Sible (4). » é
La supériorité du système d'Hondt sur tout autre système de répartition est donc indiscutable. Je donnerai d’ailleurs au témoignage de M. Mansion toute sa valeur, en disant qu'il émane d’un homme qui est tout à la fois un mathématicien distingué et un adversaire déclaré de la représentation proportionnelle.
Deuxième objection. Le commun diviseur est un procédé inexact de répartition. La règle de trois seule est une base mathématiquement certaine, et par suite on ne saurait adopter d'autre procédé de répartition que le quotient. Les partisans du quotient ont ainsi l'air de croire que le quotient et le commun diviseur sont des procédés: contradictoires reposant sur des principes différents : il n’en est rien. Et nous allons démontrer comment ils se rattachent l’un à l’autre.
Soit o sièges à répartir entre deux groupes de 3,000 et 2,000 votants. Appliquons la règle de trois. Nous avons le quotient pour mêtre électoral, el nous donnons 3 sièges au premier groupe, 2 au second, ce qui est parfaitement exact.
(1) À. P., Bruxelles, 1895, p. 49, 50.
LT
Mais si les chiffres électoraux des listes ne sont plus des multiples exacts du quotient, les divisions ne se font pas sans restes : ily a des fractions. À qui attribuer les sièges non pourvus? Remarquons, comme nous l'avons dit plus haut, que l'application de la règle de trois et l'emploi du quotient ne soulèvent pas de difficultés lorsqu'il s’agit de répartir des quantités divisibles à l'infini : ces quantités se fractionnent proportionnellement à l’importance des fractions. Mais en matière électorale il s’agit de quantités indivisibles ou plus exactement divisibles jusqu’à l'unité : ce sont les sièges et les députés. Ne pouvant les fractionner, il semble tout simple de les attribuer aux plus fortes fractions. Ne sont-Ce pas elles qui se rapprochent le plus de l'unité et qui y tendent le plus? C’est ici que git le vice du raisonnement. | Nous lavons déjà indiqué en reproduisant les démonstrations de M. Hagenbach-Bischoff (1) : les partis sont de forces différentes et marchent au but avec des vitesses différentes. Et M. Hagenbach-Bischoff éclairait cette affirmation d’un exemple saisissant. Si trois tireurs ont fait respectivement 190; 50 et 45 cartons, et ainsi gagné 10 prix attribués par avance à raison de un pour 25 cartons, à qui donner le onzième? Au troisième, diront les partisans du quotient, car ila 20 cartons inutilisés, le deuxième point -etle premier 15. Erreur : le onzième prix revient au premier. Il faut réduire à l'unité les écarts absolus (15, 0, 20) pour obtenir les écarts relatifs (0,05 ; 0,5 ; 0,11). Et n’est-il pas évident que le premier tireur, qui est quatre fois plus habile, aura plus vite fait les 10 cartons qui lui manquent que le troisième lés 5 dont il a besoin ?
(1) Cf. supra p.311 et seq.
Il faut raisonner de même en matière électorale. Soit 119 sièges à répartir entre trois partis ayant obtenu respectivement 39,276, 27,501 et 45,293 voix. Si nous supposons trois cantons de 39,276, 27,501 et 45,295 habitants chargés de fournir un contingent de 112 soldats, le problème reste identique. Or sous cette dernière forme il a été traité par M. l’abbé E. Gelin, professeur de mathématiques supérieures, dont voici la solution : «Si l’on » partage le nombre 112 en parties proportionnelles aux » nombres d'habitants des trois cantons, on trouve :
» Pour le premier canton . . . 39,276 » Pour le deuxième canton . . 27,501 » Pour le troisième canton . . 45,293.
» La répartition ne pouvant être faite qu’en nombres en-
» tiers, on demandera au premier canton 39 hommes, au » deuxième 27, au troisième 45, en tout 111 hommes, et » il restera un homme à demander en plus à l’un des trois » cantons. Si l’on attribue cet homme de plus au premier » canton, l'augmentation éprouvée par ce canton sera de » 0,724, et l'augmentation éprouvée par chacun de ses » habitants sera
» Si on l’attribue au deuxième canton, l’augmentation » éprouvée par ce canton sera 0,499, et l’augmentation » éprouvée par chacun de ses habitants sera
» Enfin, si on lattribue au troisième canton, l’augmenta- » tion éprouvée par ce canton sera 0,777, et l’augmenta- » tion éprouvée par chacun de ses habitants sera
» L'augmentation relative la plus petite est pour les ha- » bitants du troisième canton. On demandera donc 39 » hommes au premier canton, 27 au deuxième et 46 au » troisième (1). » M. l’abbé E. Gelin a déclaré avoir trouvé cette solution chez M. C. de Comberousse, ingénieur civil et professeur de mathématiques spéciales au collège Chaptal, au Conservatoire des arts et métiers et à lEcole centrale, lequel dit : «Il semblerait au premier » abord que l’on doit choisir le canton pour lequel la » partie décimale négligée (c’est-à-dire la fraction) est la » plus considérable. Mais on ne tiendrait pas compte ainsi » du nombre des habitants. Il faut chercher l’augmenta- » tion absolue que subit le résultat trouvé lorsqu'on prend » pour chaque canton un soldat de plus, et la comparer » au nombre d'habitants du canton. Le canton pour » lequel on trouvera ainsi le plus petit quotient devra évi- » démment fournir un soldat de plus (2). » Ajoutons que cette théorie, soumise à l'approbation de mathématiciens de haute valeur, a été par eux approuvée sans réserves (3).
Lorsqu'il s’agit de répartir des quantités indivisibles et lorsque ces quantités ne sont point des multiples du quotient, il y a des parties décimales négligées, des fractions. La science nous apprend que l’on ne saurait attribuer aux plus fortes fractions les quantités non réparties : il faut
(1) Traité d'arithmétique élémentaire à l'usage des élèves des cours professionnels, des candiduts aux écoles spéciales des Universités et à - l'Ecole militaire de Bruxelles, 3e édit., Bruxelles, 1890, p. 340.
(2) Cours de mathématiques, 2? édit., t. I, Arithmétique et algèbre élémentaire, Paris, 1876.
(3) Citons entre autres : M. Mansion, professeur à l'Université de Gand; M. Gilbert, professeur à l’Université de Louvain; M. Verbelst, professeur à l’Athénée de Bruxelles; M. Germaal, professeur à l’Athénée royal de Chimay; M. Vuibert, directeur du Journal de mathématiques élémentaires de Paris.
Ltar Or | LE ere VO Tes ATEN En de oi EU A
réduire à la même unité ces fractions qui représentent les
écarts absolus, détérminer ainsi les écarts relatifs, et pro- …
céder à la répartition complémentaire d’après ces écarts
relatifs. Or le commun diviseur conduit au même résultat.
Dans l’exemple choisi, avec le diviseur 985, on obtient. d'emblée 39,27 et 46. Le commun diviseur n’est donc qu'une application de la règle de trois : au lieu de recourir à cette réduction à l’unité qui est compliquée, on détermine le commun diviseur et le but est atteint.
Le quotient et le commun diviseur sont l’un et l’autre
