Ouvr. cité. Revue archéologique, 1856-57, 11, 2. Ibid

AVS

contre l'emploi de l’abaque à colonnes de divers ordres pour le

calcul usuel instantané. Il est à croire, en effet, qu'au temps de |

Pythagore, on ne donnait pas aux chiffres des valeurs de

position, mais on en donnait certainement aux rangées de

cailloux ou de jetons. ; Hérodote (11, 36) dit : « Les Grecs calculent avec de petites |

pierres (2oyiéoyreu Ynças:), en portant la main de la gauche vers

la droite, tandis que les Egyptiens la portent de la droite vers la

gauche !. » Qu'est-ce que cela signifie, sinon qu'on faisait passer

les cailloux d’une colonne à droite à une colonne à gauche, ou

inversement, lorsqu'on faisait un calcul : le sens importe peu,

c’est affaire de convention. Prenons la disposition en colonnes

telle qu’elle est dans l'abacus de Boëce. (Remarquons en passant

que les colonnes sont numérotées d'après un système d'écriture

numérique qui n'était pas, ce semble, usité aux époques

antérieures, et qui consiste en ce que les lettres associées,

séparées ou non par des points, se multiplient, comme dans la

notation algébrique, au lieu de s’additionner. Le nombre malle

y est aussi écrit de deux façons, M, et 1, d'après le procédé

multiplicateur que nous connaissons, de la barre transversale ?.)

Tableau 1.

10 milliards! 1 milliard |100.000.000 | 10.000.000 | 1.000.000 | 100.000 | 10.000 1.000 100 |

XIMI | IMI | CMI | XMIÏ | M.

1. V. ci-dessus, p. 8. — On usa sans doute plus tard indifféremment des deux méthodes ; puis la méthode égyptienne prévalut.

2. Ceci est d’ailleurs tout à fait indépendant du tableau lui-même, et ne fait rien préjuger de l’époque où l’on commença à se servir de celui-ci.

Le nombre 4 milliards, 315 millions, 26 mille, 407, soit 4.315.026.407, est marqué sur ce tableau (tableau 1) par des points qui représentent les petits cailloux.

Examinons comment pouvaient s'effectuer avec cet abaque les quatre opérations arithmétiques.

Addition. — Au nombre 26.407 qui constitue la fin du nombre inscrit ci-dessus, proposons-nous d’additionner 9.786, par exemple. J'ajoute (tableau ?) 6 cailloux à la colonne I, ce qui fait 13; j'en laisse 3 seulement et j'en enlève 10 qui sernnt remplacés par un seul à la colonne X, et ainsi de suite. C'est notre opération

Tableau 2.

d’addition exécutée en fait. Il y aura finalement, sur le tableau, la disposition et le nombre de cailloux ci-dessus, représentant la somme 36.193. On devait faire autant d'opérations qu'il y avait de nombres à additionner. L'habitude permettait d'effectuer très vite cette série plus lente, à première vue, que notre opération unique.

Soustraction. — C’est encore la mise en action, palpable, de ce que nous faisons nous-mêmes. Soit à retrancher 12.124 du nombre précédent. J'enlève un caillou à la colonne X et le remplace par dix autres sur la colonne I, qui en aura 13 (tableau 3),

desquels j'en retranche 4, il en restera 9!; j'en enlève 2 aux 8 qui restaient sur la colonne X et ainsi de suite.

1. Bien entendu, le calcul de tête permettait de placer tout de suite 9 cailloux, au lieu d’en poser d’abord 13 et d’en ôter 4.

La différence 24.069 apparaissait ainsi :

Tableau 3.

Multiplication. — Pour multiplier par 10, 100, 1.000, ete., on n'avait qu'à faire avancer tous les cailloux d'un, deux ou trois rangs. S'il s'agissait de deux nombres quelconques, voici, sans doute, comment on opérait. Soit à multiplier 342 par 27 (tableau 4). Le nombre 342 étant inscrit, on le multipliait d'abord par 7f. Ce produit partiel, 2.394, facilement obtenu par un mouvement de cailloux qu'il serait fastidieux d'expliquer, on faisait glisser ceux-ci plus bas, en les laissant dans leurs colonnes respectives. Puis, avec d’autres cailloux, on inscrivait de nouveau 342, mais en le faisant avancer d’un rang pour le multiplier par les deux dizaines, c’est-à-dire qu'on inscrivait 3.420. La nouvelle multiplication étant faite et donnant 6.840, on faisait comme auparavant glisser les cailloux, qui venaient se mélanger aux premiers. On avait ainsi le produit total 8. 11.13. 4. Il n'y avait plus qu’à simplifier par 9.234, en enlevant dans chaque colonne les dizaines de cailloux, pour les remplacer par des cailloux uniques à la colonne suivante. Et ainsi de suite, si les chiffres du multiplicateur étaient plus nombreux. La simplification pouvait se faire à chaque fois, ou seulement à la fin, au gré de l'opérateur.

1. L'usage avait assez appris quels étaient les produits des neuf premiers nombres multipliés les uns par les autres, pour que la prétendue table de Pythagore ne fût nullement nécessaire à la pratique des opérations.

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