Diogène Laërce, 11, 6 — Cicéron, De finibus, v

Les voyages de Platon, en Egypte et en Italie durèrent pendant les dix ou douze ans qui suivirent la mort de Socrate, c’est-à-dire de 400 à 488 avant Jésus-Christ, environ. On peut croire qu’il séjourna en Egypte au moins cinq ou six années, ce qui lui permit de s’instruire à fond des connaissances égyptiennes. Et à ce propos, il est bon d'écarter le préjugé assez répandu d’après lequel les Egyptiens auraient possédé un Savoir scientifique immense, comparable à la science moderne, qu'ils auraient gardé jalousement et qui ne se serait transmis que fort restreint aux autres peuples. Il est inadmissible que les philosophes grecs qui allaient s’instruire en Egypte, entre autres un Platon, que Son extraordinaire intelligence rendait capable de tout voir et de tout comprendre, n'aient pu rapporter en Grèce qu'une si petite part de ce fameux savoir encyclopédique,

dans la géométrie grecque la méthode analytique !, l'étude des sections coniques (ellipse, parabole et hyperbole), et le concept fécond des lieux géométriques. Ces théories, qu'on désigna dans leur ensemble sous le nom de géométrie transcendante, Éfoyos Jewuetpiæ, conduisirent à la découverte (due à Platon ou à ses disciples) d'un certain nombre de courbes savantes et d'instruments permettant de déterminer pratiquement quelquesunes d’entre elles.

Depuis lors la géométrie ne cessa de progresser jusqu'à Euclide ?, qui réunit dans son clair traité toutes les propositions connues avant lui. C’est à Euclide qu'il faut attribuer la méthode de la réduction à l'absurde, consistant à prouver que toute proposition contraire à une proposition énoncée conduit à quelque contradiction. La plupart des propositions de la géométrie élémentaire telle qu’elle est encore enseignée de nos jours se trouvent contenues dans le livre des Eléments * d'Euclide. Les

1. Viète, au commencement de son Zsagoge in artem analyticam, caractérise ainsi les deux méthodes des anciens : « 11 est en mathématiques une méthode pour la recherche de la vérité, que Platon à nommée analyse, et qu’il a définie ainsi : garder la chose cherchée comme si elle était donnée, et marcher de conséquences en conséquences, jusqu'à ce qu'on reconnaisse comme vraie la chose cherchée. Au contraire, la synthèse se définit: partir d’une chose donnée, pour arriver, de conséquences en conséquences, à trouver une chose cherchée. » M. P. Tannery, à la vérité, ne considère pas cette définition de l’analyse comme une découverte mathématique. Platon n'aurait pas été, à proprement parler, un mathématicien. Il aurait plutôt essayé de tirer des procédés de la géométrie des formes de raisonnement applicables en philosophie. (Dictionnaire de Daremberg et Saglio, art. Geometria.)

2. On ne connait pas exactement la date de sa naissance et de sa mort, non plus que les circonstances de sa vie. On sait seulement qn'il ouvrit une école à Alexandrie, en 520 avant Jésus-Christ, sous le règne de Ptolémée, fils de Lagos.

3. Les Eléments comprennent treize livres, précédés de quelques définitions (lignes, angles, cercles, triangles, quadrilatères, etc.), les axiomes où communes sentences, tels que : Les choses égales à une même chose sont égales entre elles, ete. — Voici un aperçu de la matière de chaque livre :

Liv. I®:Sur une ligne droite donnée, décrire un triangle équilatéral. — Egalité des triangles. — Mener une perpendiculaire à une droite. — Angles égaux opposés par le sommet. — Parallélisme. — Egalité des parallèles dans les parallélogrammes.

Liv. IT: Triangles oxygones et amblygones. — Carrés des côtés de l’angle aigu, droit, obtus. — Carrés. — Figures équivalentes.

Liv. III : Cercle. — Trouver le centre d’un cercle. — Tangentes et sécantes. — Angles opposés des quadrilatères inscrits égaux à deux droits. — Tangente moyenne proportionnelle entre la sécante et sa partie extérieure.

Liv. IV : Polygenes inscrits et circonserits au cercle.

Liv. V : Rapports et proportions.

Liv. VI:Similitude des triangles. — Diviser une ligne en moyenne et extrême raison.

Liv. VII, VIII, IX: Théories arithmétiques.

Eléments étaient complétés par le livre des Données, sorte de recueil de corollaires pratiques. Euclide avait encore écrit quatre livres sur les Sections coniques, dont les mathématiciens regrettent vivement la perte, car il en avait considérablement développé la théorie, et trois livres de porismes, genre de propositions dont on n’a pas une idée très nette. On pense qu’ « un recueil de porismes était un tableau des diverses propriétés ou expressions différentes des courbes, et que ce tableau présentait les transformations de ces propriétés les unes dans les autres f ». La doctrine des porismes aurait été la géométrie analytique des anciens, et il n'aurait manqué à Euclide que l'usage de l'algèbre pour créer les systèmes de coordonnées, qui datent de Descartes.

Un demi-siècle environ après Euclide, parut Archimède?, que l'on regarde, autant qu'il est possible de se prononcer, comme , le plus grand génie mathématique de l'antiquité. C'est à lui que sont dus les théorèmes sur les relations des éléments de la sphère avec ceux du cylindre circonscrit, sur la mesure du cercle *, sur les volumes des segments des sphéroïdes et des conoïdes * paraboliques ou hyperboliques, sur les spirales ou hélices, la proportion de leur aire avec celle du cercle et la manière d'en mener les tangentes, sur le centre de gravité des figures planes, sur la quadrature de la parabole’, premier

Liv. X : Grandeurs incommensurables.

Liv. XI: Plans, — Similitude et proportionnalité des solides.

Liv. XII : Polygones inscrits semblables, leur rapport. — Mesure de la pyramide. — Les cônes et les cylindres de même hauteur sont entre eux comme leurs bases.

Liv. XIII :Le pentagone équilateral inscrit est incommensurable avec le diamètre. — Pyramide, octaèdre et cube, inscrits dans la sphère; rapport du côté avec le diamètre de la sphère.

l. Chasles, Des méthodes en géométrie, note 3, p. 277. — Cf. du même auteur : Les trois livres des porismes d’Euclide. Paris, Mallet, 1880.

2. Archimède (287-212 av. J.-C.), né en Sicile, où il paraît avoir passé toute sa vie, mourut lors de la prise de Syracuse par Marcellus. Pour la liste de ses ouvrages qui nous restent, v. p. 2, note 2.

3. Tout cercle est égal à un triangle rectangle, dont un des côtés de l’angle droit est égal au rayon de ce cercle, et dont l’autre côté de l'angle droit est égal à la circonférence de ce même cercle.

4. Corps engendrés par la révolution de sections coniques autour de leurs axes.

9. Un segment quelconque, compris par une droite et par une parabole, est égal à quatre fois le tiers du triangle qui a la même base et la même hauteur que le segment.

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exemple de la quadrature rigoureuse d'un espace compris entre une courbe et des lignes droites; enfin, sur la méthode des limites, qu'il appelait méthode d'exhaustion!, et qui est l’origine de l'analyse infinitésimale. Le premier résultat, immensément fécond, de cette méthode fut le calcul du rapport de la circonférence au diamètre, rapport considéré comme la limite commune des polygones inscrits et circonscrits, dont Archimède multipliait respectivement à l'infini le nombre des côtés; de cette manière la raison du polygone circonscrit au polygone inscrit avait pour limite l'unité, c’est-à-dire que sa différence avec l'unité arrivait à être plus petite que toute quantité donnée. D'une façon générale, l'idée directrice d'Archimède fut de concevoir une grandeur comme étant comprise entre deux autres grandeurs, de telle façon que celles-ci puissent de part et d'autre s'en approcher continuellement, sans jamais se confondre avec elle.

La gloire d'Apollonios de Perge ?, contemporain d’Archimède, balance presque celle de l'illustre Syracusain. Il est célèbre par son application de la géométrie à l'astronomie, et, en ce qui concerne la géométrie pure, par son admirable traité en huit livres sur les sections coniques. Cet ouvrage renferme la détermination des propriétés des asymptotes, des foyers de l’ellipse et de l'hyperbole, des théorèmes sur les diamètres conjugués, sur les points conjugués harmoniques, base de la théorie des polaires réciproques, et, ce qui est d’un usage universellement pratique, la question des maxima et minima, traitée avec une ampleur telle que l’on y retrouve presque tout ce que nous apprennent sur ce sujet les méthodes analytiques d'aujourd'hui. Les travaux d’Apollonios et ceux d'Archimède peuvent être considérés comme l'origine et le fondement des deux grandes questions qui ont l'une ou l'autre sollicité les recherches des plus grands mathématiciens, et qui constituent même la division de

1. Cette méthode, déjà entrevue par Euclide, consiste à retrancher d’une quantité cherchée A une suite S, de termes finis, de sorte que la différence À — S, demeure inférieure à toute quantité donnée. C'est, en fait, l'évaluation de A sous forme de séries.

2. Né à Perge, en Pamphylie, il vécut à Alexandrie sous le règne de Ptolémée Philopator (222-205 avant J.-C.). Les dates de sa naissance et de sa mort ne sont pas certaines. — Cf. Hültsch, art. Apollonios (R. E., de Pauly-Wissowa, p. 151-160).

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toutes les sciences mathématiques en deux classes. La premiere est la quadrature des figures curvilignes, qui a donné naissance au caleul de l'infini (Képler, Fermat, Newton, Leibnitz) et qui a été mise en avant surtout par Archimède; la seconde, celle des sections coniques, traitée par l’un et l’autre, plus spécialement toutefois par Apollonios, est le prélude de la théorie des courbes géométriques, déterminées par des intersections de surfaces (Descartes, Pascal, Bernouilli, Antoine Parent).

Au temps même d’Archimède et d’Apollonios, et, après eux, la géométrie s'enrichit encore des découvertes d’Eraltosthène (284-204 avant J.-C.) !, de Nicomède (vivant vers 150 avant J.-C.), de Dioclès, de Théodose et de Geminus, ces trois derniers du premier siècle avant l’ère chrétienne*?. Le grand astronome Hipparque, qui n'est guère que de 50 ans postérieur à Archimède, fut amené par ses calculs sur le mouvement des astres, à ébaucher la trigonométrie, dont on avait déjà même quelque idée avant lui; mais il ne poussa pas fort loin les applications de cette science #. On attribue parfois à Hipparque la division du cercle en 360 degrés, du degré en 60 minutes et de la minute en 60 secondes. D’autres croient cette invention beaucoup plus ancienne. Quand nous aurons dit de Geminus (vers 73-70 avant J.-C.) qu'il étudia spécialement l’hélice usuelle, c’est-à-

1. V. art. Eratosthène, dans la R.-E., de Pauly-Wissowa, t. VI, pp. 358-389.

2. Nicomède est l'inventeur de la conchoïde, courbe ingénieuse, dont Newton se servit pour construire géométriquement les racines des équations du 3° et du 4° degré. A Dioclès on doit une courbe du même genre, la cissoïde, qu'il imagina pour résoudre le problème de la duplication du cube; il résolut, ainsi que Théodose, un certain nombre de problèmes intéressants sur la sphère. Quant à Eratosthène, il est connu surtout par ses recherches arithmétiques sur les nombres premiers:

3. V. ci-dessus, p. 3. — « La corde de l'arc a été la seule ligne trigonométrique dont les anciens se soient servis. » (P. Tannery, Recherches sur l'histoire de l'astronomie ancienne, 1893, ch. 111, 7.) Hipparque avait calculé une table des cordes. « Il semble, dit aussi M. Paul Tannery (ibid.), qu'un tel travail avait dû être la conséquence immédiate de celui d’Archimède sur la circonférence du cercle ; la comparaison de cette circonférence au diamètre appelait celle des arcs à leurs cordes, et on peut même supposer que le géomètre de Syracuse avait au moins abordé cette question dans le livre sur la circonférence, dont il ne nous reste qu'un fragment, sous le titre de Kÿxhou uéronotc. Nous savons, d'autre part, par Eutocius, qu'Apollonius, dans un ouvrage perdu, POxutoxtov, avait donné pour le rapport de la circonférence au diamètre une valeur plus approchée que celle d’Archimède. Dans la table des cordes de Ptolémée (liv. I, ch. 1x de la Syntaxe), nous trouvons les cordes calculées pour des arcs variant de 1/2 degré en 1/2 degré. Elles sont exprimées en fractions sexagésimales du rayon (compté pour 60 parties). »

dire la spirale décrite sur la surface du cylindre droit circulaire, et qu'il dressa en quelque sorte le bilan des sciences mathématiques inventées jusqu'à son époque, nous n’aurons guère à ajouter que les noms de Ménélaos d'Alexandrie, et de Ptolémée, contemporain d’Hadrien, ce qui nous conduit vers la fin de la période que nous voulons examiner. Encore ces deux derniers sont-ils plutôt des astronomes que des géomètres proprement dits. Notre attention doit être attirée de préférence sur les savants qui ont appliqué la géométrie à des problèmes se rattachant directement aux travaux publics.

Il. — Géométrie appliquée.

Son étendue d'après les écrits de Héron d'Alexandrie.

Proclus, et avant lui Anatolius, auteur du ri° siècle, citent l’un et l’autre, d’après Geminus, quatre sciences empruntant à des degrés divers les théories de la géométrie : la géodésie, l'optique, la mécanique et l'astrologie !.

De ces quatre sciences, deux seulement ont pour nous un intérêt immédiat, la géodésie et la mécanique. La citation de Geminus qui a été fournie plus haut*® explique ce que les anciens entendaient par la géodésie, par comparaison avee la géométrie. Cette science, qui est en même temps un art (yzwdaigia, partage des terres), distinguée dès le temps de Pythagore de la géométrie théorique, se borna tout d'abord aux opérations d’arpentage; puis on y comprit tout ce qui concernait les mesures pratiques de surfaces et de volumes *.

Pour connaître la valeur, le degré de perfection de cette science dans l'antiquité, et de l’art qui en était issu, nous avons en première ligne un ensemble de documents de la plus haute

1. Ce mot est simplement synonyme de notre mot usuel astronomie. Il ne s'agit pas de l'astrologie divinatoire.