Essai sur la théorie des nombres

À zx juger par différens fragmens qui nous restent, et dont quelques-uns sont consignés dans Euclide, il paraît que les anciens Philosophes avaient fait des recherches assez étendues sur les propriétés des nombres. Mais ik leur manquait deux instrumens pour approfondir cette science ; l'art de la numération qui sert à exprimer les nombres avec beaucoup de facilité , et l'Algèbre qui généralise les résultats et qui peut opérer également sur les connues et les inconnues. L'invention de lun et l’autre de ces arts dut donc influer beaucoup sur les progrès de la science des nombres. Aussi voit-on que l'ouvrage de Diophante d'Alexandrie , le plus ancien auteur d’Algèbre qu’on connaisse , est entièrement consacré aux nombres, et renferme des questions difficiles résolues avec beaucoup d’adresse et de sagacité.

Depuis Diophante jusqu'au temps de Viète et de Bachet, les Mathématiciens continuèrent de s’ogcuper des nombres, mais sans beaucoup de succès , et sans faire avancer sensiblement la science. |

Viète, en ajoutant de nouveaux degrés de perfection à VAlgèbre, résolut plusieurs problèmes difficiles sur les nombres. Bachet, dans son ouvrage intitulé Problèmes plaisans et délec-

DO RTE

vi} PRÉFACE.

tables , résolut l'équation indéterminée du premier degré: par une méthode générale et fort ingénieuse, On doit à ce même savant un excellent commentaire sur Diophante, qui fut depuis enrichi des notes marginales de Fermat.

Fermat , Pun des Géomètres dont les travaux contribuèrent le plus à accélérer la découverte des nouveaux calculs, cultiva avec un grand succès la science des nombres, et s’y fraya des routes nouvelles. Ona de lui un grand nombre de Théorèmes intéressans, mais il les a laissés presque tous sans démonstration. C'était: l'esprit du temps de se proposer des problèmes les uns aux autres. On cachait le plus souvent sa méthode, afin de se réserver des triomphes nouveaux tant pour soi que pour sa mation; Car il y avait surtout rivalité entre les Géomètres français et les anglais. De là il est arrivé que la plupart des démonstrations de Fermat ont été perdues, et le peu qui nous en reste, nous fait regretter d’autant:plus cellés qui nous manquent.

Depuis Férmat jusqu'à Euler, les Géomètres , livrés entierement à la découverte ou à Papplication des nouveaux calculs, ne s’occupèrent point de la Fhéorie des Nombres. Euler , le premier, Sattächa à cette partie; les nombreux Mémoires qu'il a publiés sur cette matière dans lès Comuinentaires de Pétersbourg , et dans d’autres ouvrages ; prouvent combien il avait à cœur de faire#faire à la science des Nombres les mêmes progrès dont la plupart des autres parties des Mathématiqeus lui étaient redevables. Il est à croire aussi qu'Euler avait un goût particulier pour ce genre de recherches, et qu'il s'y livrait avec une sorte de passion, comme il arrive à presque tous ceux qui s'en occupent. Quoi qu'il em soit, ses savantes recherches

" PRÉFACE. “+ le conduisirent à démontrer deux des principaux T'héorèmes de Fermat, savoir, 1°. que sia est un nombre premier, -et-x un nombre quelconque non divisible par @, la formule 2x ést toujours divisible par a; 2°. que tout nombre premier de forme 47 + 1, est la somme de deux quarrés.

Une multitude d’autres découvertes importantes se font remarquer dans les Mémoires d’Euler. On y trouve la théorie des diviseurs de la quantité a" +8", le traité de partitione numerorum, qui est inséré aussi dans son Jntrod. in Anal. tnfinit., Pusage des facteurs imaginaïres ou irrationnels dans la résolution des équations indéterminées , la résolution générale des équations indéterminées du second degré, en supposant qu’on en connaisse une solution particulière ; la démonstration de beaucoup de T'héorèmes sur les puissances des nombres, et particulièrement de ces propositions négatives avancées par Fermat; que la somme ou la différence de deux cubes.ne peut être un cube, et que la somme: ou la différence dedeux biquarrés ne peut être un quarré. Enfin on. trouve dans ces mêmes écrits un grand nombre de questions indéterminées résolues par des artifices analytiques très-ingénieux.

Euler a été pendant long-temps presque le seul Géomètre qui. se soit occupé de la Théorie des Nombres. Enfin Lagrange est entré aussi dans la même carrière, et ses premiers pas ont été signalés ‘par des succès égaux à ceux qu'il avait déjà obtenus dans des recherches d’un genre plus sublime. Une méthode générale pour résoudre les équations indéterminées du second degré, et, ce qui était plus difficile , une méthode pour les résoudre en nombres entiers, fut le coup d’essai de ce savant illustre ; bientôt après il appliqua les fractions continues à cette