PRÉFACE

branche d’analyse ; il démontra le premier que la fraction con-

tinue égale à la racine d’une équation rationnelle du: second degré, devait être périodique, et il en‘éonclut que le problème de Fermat, concernant l'équation 3° — 4yÿ* = 1,.est toujours résoluble ; proposition qui n’avait pas encore été établie d'une manière rigoureuse, quoique plusieurs Géomètres eussent donné des méthodes pour la résolution de cette équation.

Le même savant , par des recherches ultérieures qui sont consignées dans les Mémoires de Berlin, a démontré le premier que tout nombre entier est’ la somme de quatre quarrés ; om lui doit également plusieurs autres démonstrations importantes; mais la plus remarquable: de ses découvertes est une méthode générale de laquelle découlent comme corollaires. une infinité de Théorèmes sur les nombres premiers.

Cette méthode, singulièrement féconde, est. fondée sur la considération des formes tant quadratiques que linéaires qui conviennent aux diviseurs de la formule 4° + au”, où # et x sont deux indéterminées, et & un nombre donné. I} restait cependant à établir, d’une manière générale , la relation qui doit exister entre les formes linéaires et les formes quadratiques appliquées aux nombres premiers ;. car au défaut du principe qui contient. cette relation (1) ; la: Théorie de Lagrange, qui donne une infinité de Théorèmes pour les nombres premiers 4n + 3, n’en fournit qu'un très-petit nombre relatifs aux nombres premiers 472 + 1.

Un Mémoire que jai publié dans le volume de PAcadémie

(1) Voyez sur cet objet les Mémoires de l’Académie des Sciences de Berlin, äunée 1779, pag. 3b0 et 352.

L + : } SO mm em ns in, SÉCURE. |

. PRÉFACE. x} des Sciences pour l'année 1785, offre les moyens de démontrer le principe dont il s'agit, et renferme d’ailleurs des propositions qui paraissent avancer la science des nombres. J’y ai donné 1°, la démonstration d’un Théorème pour juger de la possibilité ou de l'impossibilité de toute équation indéterminée du second degré, ramenée à la forme ax? + by? = cz*; 2°. la démonstration d’une loi générale qui existe entre deux nombres premiers quelconques, et qu’on peut appeler /oz de réciprocité ; 30. l'application de cette loï à diverses propositions; et son usage, tant pour perfectionner la Théorie dé Lagrange, que pour vaincre d’autres difficultés du même genre,

Le même Mémoire contient en outre Pébauche d’une théorie entièrement nouvelle sur les nombres considérés en tant qu’ils sont décomposables en trois quarrés ; théorie à laquelle appartient le fameux Théorème de Fermat , qu'un nombre quelconque est la somme de troistriangulaires, etcetautré Théorème du même auteur, que tout nombre premier 82 -+ 7 est de la forme p° + q° + 2r°.

Depuis Pépoque de la publication de ce Mémoire, je me suis occupé à diverses reprises de développer les vues qu'il contient, et d'apporter quelques perfectionnemens à différens points de la Théorie des Nombres ou de l'Analyse indéterminée (1). Mes recherches à cet égard ayant été suivies de

(1) Je ne sépare point la Théorie des Nombres de l'Analyse indéterminée , et je regarde ces deux parties comme ne faisant qu'une seule.et même branche de l'Analyse algébrique. En effet, il n’est pas de Théorème sur les nombres qui ne soit relatif à la résolution d’une ou de plusieurs équations indéterminées. Ainsi quand on assure , d’après Fermat, que tout nombre premier 4n +- 1 est la somme de deux quarrés, c’est comme

Er

xÿj PRÉFACE. | quelques succès, je me proposais d’abord d'en publier le résultat dans un Mémoire particulier ; j'ai cru ensuite devoir profiter de cette occasion pour traiter la Théorie des Nombres avec plus détendue qu’on ne la fait jusqu’à présent, et en y comprenant le résultat des principales recherches d’Euler et de Lagrange sur la même matière.

C’est ainsi que je me suis déterminé à composer l’ouvrage que j'offre en ce moment au Public; je le donne non comme un traité complet, mais sirnplement comme un essai qui fera connaître à-peu-près l’état actuel de la science, et qui contri-

buera peut-être à en accélérer les progrès. # .. .. +. . +. :

si on disait que l'équation 4 —y* + 2° est toujours résoluble tant que 4 est un nombre premier de la forme 4 1. On peut ajouter que dans ce même cas l'équation A=—y° + 2° n'aura jamais qu'une solution, ce qui est un second Théorème contenant

-une propriété caractéristique des nombres premiers 4n + 1.

nie DEP cordes. Son neue - See Ut Rue le bien OUTRE. |

EEE tr TABLE DES MATIÈRES.

INTRODUCTION

Contenant. des notions générales sur les Nombres.

O: considère les nombres en tant qu'ils résultent de la pli de plusieurs

facteurs, “pag. ‘1 Des Ha diviseurs d'un nombre donné, et de leur somme, 4 On détermine combien il y a de nombres ae petits que 1 de premiers à IV, 5 On cherche combien de fois un même nombre premier 6 peut être facteur dans le produit 1.2.3...N, ” 8 Propriétés générales des nombres premiers : leur répartition en diverses progressions arithmétiques dont la raison est constante, 10