à ++. à pour somme 0,202247 ; en négligeant

1 LA La .

LS les autres sommes se réduisent pareille- : o

ment à des constantes dont il est aisé de trouver des valeurs approchées ; on aura donc la somme cherchée

u = log (log © — 0.083566) —.0.2215.

(595) La propriété dont jouit la suite précédente, d'avoir une somme infinie , peut jeter quelque jour sur la loi générale des nombres premiers.

En effet, considérant 4 comme une fonction de « qui satisfait à * léquation

1 1 1 1 Cr NU TELE BRUIT S PAU LE

[2] si © devient w—æ, on aura

du &æ ddu

1 1 æ LE OR PI DE 0 20 LE Et en supposant © très-grand ou & très-petit par rapport à ©, ces

1 do

suites se réduisent à leur premier terme et donnent du = -,—

Dans la même hypothèse ‘de w très-grand, on peut supposer que la valeur de «, développée suivant les puissances descendantes de w, est De BEN + etc. , l'éxposant m7 étant plus grand que les sui-

vans. En ne considérant be que le premier terme de celte suite, on

1 do 1 aurait du — re d’où résulte u— C— AE

Mais si m était une quantité finie positive , lorsqu'on fait 3 —c, u se réduirait à la constante €, ce qui ne peut avoir lieu, puisqu'on sait que x est alors infini ; d’un autre côté, on ne peut supposer #7 —=0, parce que la distance entre deux nombres premiers consécutifs aurait pour limite ‘une constante Z , tandis. que par la mature de ces nombres elle doit augmenter chats Donc il faut que »2 soit infiniment

petit, et alors Au" Bo. etc: prendra la forme 4 log «1 B; fai-

sant donc 4 = 4logw +8, oi. ie, d’où résulte

1 loge + C, quantité qui devient infinie, comme elle doit l'être,

lorsque © est infinie.

- (596) Ayant & — 4 logo + B, on en déduit aisément la fonction y, au moyen de l'équation y'—y==1, ou eŸ— ; laquelle donne =, et en intégrant y—= Sup ee —°+ “ae + = PE = ce qui s'accorde avec la nie sale donnée ci-dessus, en prenant 4=1, B——0.08366.

Il est remarquable qu’on déduise ainsi du calcul intégral une propriété essentielle des nombres premiers; mais toutes les vérités mathématiques sont liées les unes aux autres , et tous les moyens de les découvrir sont également admissibles. C’est ainsi qu'on a cru devoir employer la considération des fonctions, pour démontrer divers théo- * rèmes fondamentaux de la Géométrie et de la Mécanique.

SE AT eee —

$ IX. Démonstration de divers Mcènree sur les progressions arithimétiques.

(397) S o1T proposée la progression arithmétique A—C, 24—C, 34—C......nA—C, (Z)

dans laquelle Æ et C' sont des nombres quelconques premiers entre eux; soit Ü un nombre premier non-diviseur de 4; si l'on détermine x de manière que 4x—C soit divisible par 8, la valeur de x sera généralement de la forme x—a+65, d'où Von voit que les termes

divisibles par 8 dans la progression proposée forment eux-mêmes la progression arithmétique

Aa—C, A(a+0)—C, A(a+ 2@)—C, etc.

et qu’ainsi sur 0 termes consécutifs, pris partout où l’on voudra dans la progression (2), 1 y en à toujours un divisible par 6, lequel est suivi et précédé d’une suite d’autres termes également divisibles par 8, et distans entre eux de l'intervalle 8.

Cela posé, soit 8, À, m...4d, ©, une suite de nombres premiers, pris à volonté, dans un ordre A de mais dont aucun ne divise 4. Nous, allons Chuicles quel est, dans la progression (Z), le plus grand nombre de termes consécutifs qui seraient divisibles par quelqu'un des nombres de la suite 4, À, w...4, ©, que nous appellerons (a). Il faut pour cet eflet examiner d’abord les cas les plus simples.

(598) 1°. Si l'on ne considère que deux nombres premiers 0,A, il ne peut y avoir plus de deux termes consécutifs divisibles l’un par 8, l’autre par À, et ces termes peuvent être désignés par (8), (A). Le terme qui suit (A) ne peut être divisible par 8, car l'intervalle avec (8) n'étant que de deux termes, ïl faudrait qu'on eût 6— 2; maïs ce cas est exclu, et nous ne considérons dans la suite (a) que des nombres premiers impairs. Par la même raison, le terme qui précède (8) ne saurait

être divisible par À et encore moins par 4; donc dans ce premier cas le maximum cherché M=—2. és

(599) Soient les irois nombrespremiers 8, À, 4; on pourra concevoir trois termes consécutifs divisibles par ces nombres , lesquels seront (6), (À), (4). Pour que le terme qui suit (4) soit divisible par 8, il faut que 8 soit 3, et pareillement pour que le terme qui précède 8 soit divisible par #, il faut que x soit 5. Mais comme les nombres premiers que nous considérons sont nécessairement.différens entre eux, il nya qu'une de ces deux suppositions qui puisse avoir lieu. Dans le cas donc def—3, on pourrait avoir quatre termes consécutifs (3),(A), (4), (3), divisibles chacun par l’un des nombres premiers 3, À, 4. A la suite de ces quatre termes on n’en peut pas mettre un cinquième; car la moindre valeur que puisse avoir (A) étant 5, le. premier terme divisible par 5, après (A), serait le septième et non le cinquième. Donc dans le cas où la suite (a) est composée de trois nombres premiers, on a au plus VW —4, encore faut-il que l’un de ces nombres premiers soit 3.

(400) Supposons maintenant que la suite (a) soit composée de quatre nombres premiers 0, À, w, ». Si l'on considère quatre termes consécutifs divisibles par ces nombres, savoir: (9), (A), (4), (»); pour en ajoutér un cinquième, il faudra que À soit 3; alors on aura les cinq termes consécutifs (8), (3), (w), (»), (5)..Si l'on veut ajouterià ceux-ci

«un sixième terme, cela ne se pourra que lorsque 0— 5, car alors on aurait les six termes (5), (3), (x), (»), (3), (5). La progression ne peut plus être continuée n1 vers la droite, ni vers la gauche, car p et y devant être plus grands que 5 ,1les termes divisibles par & ou par » vont beaucoup au-delà. Donc dans le cas où la suite (a) est composée de quatre termes, il n’y a au plus que six termes consécutifs de la progression (Z) qui soient divisibles par quelqu'un des termes de la suite (a). On a donc alors M—6, mais ce maximum n’a lieu. que lorsque deux des quatre nombres premiers sont 3 et 5.

(401) On concoit..en effet que les nombres premiers les plus petits sont les plus propres à donner la plus grande valeur de A, toutes choses d’ailleurs égales, puisque de plus grands nombres premiers rendent plus grands les intervalles des termes dont ils sont diviseurs,

En vertw de cette observation, on peut considérer tout d'un coup la suite naturelle des nombres premiers 3, 5, 7...4, ©, en en laissant seulement deux indéterminés, tels ile sont restés de les cas précédens ; et le maximum trouvé pour cette suite aura liéu à plus forte raison pour la suite (a), composée d'un Mes nombre de termes 0, A, p.41, ©

Soient donc les cinq ‘nombres premiers 3, 5, 7) Ÿ ACHOUE: déjà trouvé qu'avec les quatre seuls 3, 5, 4, w, on pouvait RE tR les six termes consécutifs (5), (3), (4), Fe (5), (5). Si à la place de 4 ou © on prenait 7, alors on ne pourrait former au plus que les huit termes (5), (5), (7), (o), (5), (5), (D), (5), car leur continuation à droite exigerait que © fut 5, et à gauche que 4 füt 7. On obtiendra un résultat plus grand en laissant (L) et (w), comme dans le premier arrangement, et én ajoutant (7) d'un côté, ce qui permettra de l'ajouter en même temps de l’autre, puisque Pintervalle des deux termes (7) et (7) sera de sept termes, comme il doit être: on aura ainsi les huit termes consécutifs (7), (5), (3), (4), (w), (8), (5), (7). Mais de plus on voit que (3) peut être ajouté de chaque côté, à cause de l'intervalle requis entre les (3) les plus proches ; et de cette manière on aura une combinaison de dix termes, savoir: (3), (7), (6); (3), (4), (a) ; (5), (5), (7), (6). Elle ne peut être prolongée ni d’un côté ni de l'autre, parce qu'il faudrait pour cela que © ou + füt 5, ce qui n’a pas lieu, 5 étant déja employé. Donc dans le cas où la suite (a) est composée de cinq termes, le maximum cherché est M = 10.

(402) On aurait pu, par une simple observation , arriver immédiatement à ce résultat. Puisque les termes divisibles par 3 et représentés par (3) se succèdent à un intervalle de trois rangs, que les termes divisibles par 5 , se succèdent à un intervalle de cinq rangs, et ainsi de suite, la série des termes consécutifs qu’on veut former au plus grand nombre possible, a cette propriété commune avec la série des nombres impairs, commençant à un terme quelconque, puisque dans cette dernière les termes divisibles par 3, par 5, etc. se succèdent pareillement à des intervalles de 3 termes, de 5 termes , etc. Maïs le moyen d'obtenir le plus grand nombre de termes consécutifs de cette suite, qui soient divisibles par quelqu'un des nombres premiers 3, 5, 7, 11, etc., est de considérer la suite des nombres impairs dans ses moindres termes, c'est-à-dire dès l’origine de cette suite. Gar à une distance plus grande

AR ee PERTE ŸET

SE EE ES RER ARE UE à Pr |

on ne manquerait pas d’être arrêté par des nombres premiers plus grands que les nombres premiers donnés, et qui empêcheraiént la Continuité des termes qu’on veut former. Il faut donc tout simplement considérer la série 1, 3, 5, 7» 9 13 elc., qu ‘on peut fplemens prolonger dans autre sens, ce qui donnera.

LOTS 75/3 —5; 3, T1; lo 3; 5, 73 Dee

ou parce que les signes desnombres sont indifférens, lorsqu'on a égard seulement à leur propriété d'être divisibles ou RU re RE par” un nombre. donné :.0n pourra-considérer la double suite