T1» O; 73 5, 95131850, 5, 7»: % IL 13, DS

dans laquelle les termes divisibles par 5, 5, 7, etc. se succéderont toujours à des intervalles de 5, 5, 7, etc. termes, et cette suite aura l’avantage d’être composée desmoindres nombres possibles. Désignant comme ci-dessus chaque terme par le moindre nombre premier qui en ‘est diviseur, on pourra la représenter ainsi :

.(49 3) Maintenant si les nombres premiers donnés sont 3,5, 7, +, o, on metira dans la suite précédente les indéterminées, (L), (&);: à la

place des deux termes (Gi) et (G) qui occupent de milieu, et on prendra

dans les termes précédens et suivans tous ceux qui n’excèdent pas (7). De cette manière, on a immédiatement pour le cas dont il s’agit la

suite OM B);°6), (4); (@); 6), &y, (7); (6); ui est composée de dix termes et donne le maximum M 10, comme on l’a déjà trouvé. |

Rien de plus facile ensuite que de généraliser le résultat pour tant de nombres premiers qu'on voudra, Si on a, par exemple, les, six

nombres premiers 3, 5, 7, 11, 4, &, on voit que la combinaison qui

produit le, plus, ab nombre-de termes. consécutifs crasibles par quel-

qu'un, de ces nombres, premiers,, est

(m1) (3); (7) G) (3), (Y), (o), (&yA (5); (7). (5); (ir); ce, qui donne le m#7aximum cherché, M= +2.

QUATRIÈME PARTIE. 203 En adtëtiaht encore un nombré premier de plus; de sorte que la

Suite (a) füt composée des sept termes 3, 5, 7, 11, 13, 4, à, on autait la combhmaison

(8), (13), Gi) (3), (7 (3); (5); (b); (@), (5), (); (7); GG), (1), Cr 3), (3),

laquelle est composée de seize termes et donne M—16. Elle, ne peut être prolongée plus loin, parce que le terme qui viendrait à la suite, d'un côté où de l'autre, est.(17) ;+ or quand même ou w serait égal à 17, on ne peut l'employer pour continuer la suite, puisqu'il laisserait vers le milieu une place wide.

(404) Maintenant j'observe que le nombre 16 qui satisfait à la quéstion précédente n’est autre chose que 17 — +: , 17 étant le nombre premier qui Suit immédiatement 13; et il est aisé dé voir que ce résultat, ainsi généralisé , est exact; Car la progression dont nous venons de faire usage n’est autre chose que la progression des nombres impairs 1, 3, 5, 7, 9, etc. répétée dans déux sens différens , et dans laquelle on a désigné chaque terme par le plus petit nombre premier qui en est diviseur; de sorte qu'on peut établir ainsi la correspondance de ces deux progressions :

1, 15, 19, 11, : 0, ÿ GA LPS 3, 5, ÿ, 9; 11, 193, 15, 17 (5),G5), (11), (5), (7), (5), (5), (4), (0), 6), 6), (7): 6), (1),(3), (6);

or par cette disposition on voit SR que le nombre de termes

compris entre les deux désignés par 17; 17, est 17— 13; donc on a M= 17—71

Il n’est pas moins facile de voir en général , que si la suite. (a) est compôsée de # nombres premiers, dont deux, AL ét &, sont indéterminés, et les À — 2 ‘autres forment la suite naturelle 3, 8, To 115 19, 17, ec. jusqu'à 747%; le maximum cherché sera : M= ma) 1,

m9 étant le terme de rang Æ—1 dans la suite des nombres premiers 8, 5, 7, 11, etc.

Cette formule s’accorde avec les résultats particuliers que nous ayons Wouvés, ét il en résulte le théorème général qui suit :

dire 1. 0

(40) «Soit donnée une progression arithmétique quelconque. 4—C;, » 24—C,34—C, etc., dans laquelle 4 et € sont premiers entre eux ; » soit donnée aussi une suite 0, À, w...4, w, composée de 4 nombres » premiers impairs, pris à volonté et disposés dans un ordre quelconque; » Si on appelle en général x® le 2‘ terme de la suite naturelle des » nombres premiers 3, 5, 7, 11, etc., je dis que sur #7" termes » consécutifs de la progression proposée, il y en aura au moins un qui » ne sera divisible par aucun des nombres premiers 8, À, w...4, ©.»

En effet, on vient de prouver que dans la progression dontil s’agit, il ne peut y avoir.au plus que 74 termes consécutifs qui soient divisibles par quelqu'un des nombres premiers 8,.A, w...4, ©. Done sur a termes consécutifs, il y en aura au moins un qui ne sera divisible par aucun de ces nombres.

Ce théorème très-remarquable est susceptible de Dieu belles applications. On en jugera par les deux conséquences que nous allons en tirer.

(406) La progression 4—C, 24—C, 34—C, ete. étant continuée jusqu'au #2" terme 24—C, soit ZL le plus grand entier compris dans ÿ/(24—C) ; soit en même temps © le nombre premier immédiatement au-dessous de Z, et le nombre premier qui précède w; si dans la progression 4—C, 24—C,54—C, etc., on prend partout où l’on voudra L termes consécutifs, il faut, en vertu du théorème précédent,

-que sur ces + termes il y en ait au moins un qui ne soit divisible par

aucun des nombres premiers 3,105 a te ele Et qui sera par Conséquent un nombre premier, É progression étant terminée au terme

nA = C:

Le nombre des termes de la Progression , depuis celui qui ap= proche le plus de ÿ/(24—C) jusqu'au dernier terme 2 4—C, est à

peu près 7 — (5): (car on suppose C<4, et on a 4 < 74).

Donc ‘dans les z termes de la HIPOT OR dont il s’agit, il y aura au A vi

[na ?

à peu près dans y T. Ce nombre peut étre aussi grand qu'on veut,

moins autant de nombres premiers qu'il y a d'unités dans—, ou

en donnant à 2 la valeur convenable. Donc « Toute progression arithmétique dont le premier terme et la raison » sont premiers entre eux, contient une infinité de nombres.premiers. »

Cette proposition, qui est très-utile dans la théorie des nombres,

avait été indiquée dans les Mémoires de l'Acad. des Sciences, an 1785; mais jusqu'à présent sa démonstration n'était point encore connue et paraissait offrir de grandes dificultés.

(407) On pourrait, s'il était nécessaire, resserrer graduellement les limites entre lesquelles doit se trouver un nombre premier; car le nombre A4 qui fixe l'étendue de ces limites, diminue en même temps que », et à peu près en raison de ÿ/2; donc lorsque 7 est moindre , ou que la progression est moins avancée, il faut un moindre nombre de termes consécutifs pour trouver parmi eux un nombre premier, que lorsque la progression est plus avancée. Par cette raison on trouverait une quan-

tité plus grande que y = pour Île nombre des termes de la progression

qui sont des nombres premiers; ce résultat augmenterait encore en excluant les nombrés premiers impairs qui peuvent diviser 4; car si le nombre de ceux-ci est z, alors au lieu du nombre #{*=° mentionné dans le théorème du n° 405, on devrait prendre #%-1-?, Mais ces observations sont peu importantes, et il suflit d’avoir démontré généralement que toute progression arithmétique, dans laquelle € et 4 sont premiers entre eux, contient une infinité de nombres premiers. Quant à la multitude des nombres premiers contenus dans z termes de la progression arithmétique, elle ne peut être déterminée que par d’autres considérations,

(408) Examinons plus particulièrement la progression des nombres impairs 1, 5, 5, 7, 9... 2n—1, et proposons-nous de trouver combien de termes il faut ajouter à cette progression ,.pour que parmi ces termes il se trouve nécessairement un nombre premier.#

Soit L le nombre premier qui satisfait à la question, et le nombre premier qui suit immédiatement + ; il faudra, suivant notre théorème, que w soit le plus grand nombre premier contenu dans ÿ/(22--2—1); donc &— 24 + 1 < 27. Mais © — + ne saurait être moindre que 2, on aura donc @°—2%+1<on—4%; d'où résulte w—1<y(2n—4), et par conséquent À <— 1+y/(27— 4). Cette solution générale fournit le théorème suivant :

« Soit le plus grand nombre premier contenu dans y/(27—4)—1 ; » je dis que parmi les 4 nombres impairs qui suivent immédiatement » 2n—1, il y aura toujours au moins un nombre premier. »

bise Ru ME

(409) Par exemple, soit 27—1=—115, ou »=—57; le nombre premier le ‘plus grand contenu dans \/110— 7 est 7. Donc parmi les sept nombres impairs qui suivent 115 et qui sont: 115, 117) 0 121, 125, 125, 127, il ÿ a nécessairement un nombre premier; C'est 127, qui est précisément le septième.

Ici la limite fixée à 7 ne s’est trouvée que de la grandeur nécessaire ; le plus souvent, et surtout lorsque 7 est très-grand , elle est beaucoup trop étendue; on l’agrandirait encore, mais -on simplifierait l'énoncé du théorème, en disant que de Z à L+24/L il doit nécessairement se rencontrer un nombre premier.

Ce théorème estau moins un premier pas vers la solution du pr SHoue

- regardé comme très-difiicile, de trouver un nombre premier plus grand

qu'une limite donnée.

\ Remarque. Si on donnait à x des valeurs trés-petités, on trouverait

“que” ce théorème est sujet à quelques exceptions ; mais comme on a

supposé que est un terme de la suite 3, 5, 7, 11, ete. , il! faut que y/(22—4)—: soit plus grand que 3, ainsi on doit faire > 10, et alors il n’y aura aucune exception.

$ X. Où l’on prouve que tout diiseur quadratique.de la Jormule t°+ Nu°, contient au moins un nombre Z plus petit que N et prernier &.N ou à EN.

(410) Érr.. proposition est nécessaire pour compléter la démons= tration du théorème XII de la troisième partie; elle se vérifie immé-

diatement dans tous les exemples. qu'on, peut se proposer, et même on.

peut donner Ja valeur générale de Z dans un grand nombre de diviseürs quadratiques qui contiennent'un coefficient déterminé et s'étendent ainsi à une infinité de valeurs de Ÿ: Mais nous ne donnerons de ces eas particuliers que ceux qui sont nécessaires pour conduire à a dé monstration générale.

Comme "nous avons principalement en vue les Hreities de la Fable VHY, qui font le sujet du théorème cité, nous ferons usage des mêmes dénominations. Soit donc le diviseur quadratique . sise via F—cy" +i20ys+ as, où l'on a a—D=N, à et, c>2p, et c<2V3N; on suppose que les trois nombres 4, b, & n’ont pas de commun. diviseur; car s'ils en avaient un, il est HER que la proposition énoncée ne pourrait avoir lieu.

(4x1) Cela posé, remarquons d'abord qu'il y a deux cas principaux où on obtient immédiatement la valeur de Z.

- Si l'un des dèux nombres a et c n'a point de diviseur commun avec N, où s'il na que 2 de commun diviseur , Ce nombre pourra être pris pour Z.

2°. Si le diviseur quadratique proposé manque de second terme, de sorte qu'on ait,T Cr 4; et N —.ac, il est visible que le nombre c+a, compris dans T, est plus petit que ac et n'& aucun diviseur commun ayeC ac; done dans.ce cas, en;a généralement Z=e+ a.

Il ne s’agit done plus. que d'examiner les cas où à -n’étant pas zéro, les coefliciens a et c ont chacun un diviseur commun avec W.

Dans cette double:supposition, non-seulement:il est possible de trou-

ver le nombre cherché Z dans la formule proposée cy°+2byz + az’,

mais il est possible de le trouver dans la formule moins générale... cy® + 2by + a. Nous allons donc faire voir qu'on peut toujours satisfaire à l'équation Z = cy° + 2by a, en supposant Z moindre que IN et premier à V ou à +.

(412) Soit 8x le plus grand commun diviseur de c et N; nous représentons ainsi ce diviseur afin d'exprimer que À n’a que des facteurs inégaux, et pour pouvoir conclure de l'équation ac—&6*=— IN que 6A est le plus grand commun diviseur de c et de à. Soit donc exc, b—0x0", N=6AN, on aura N'æac — 10" , et le diviseur Z deviendra

Z = End y" + 2018 y + a.

J'observe d’abord que Z ne peut avoir aucun diviseur commun avec OX; car si un même nombre premier © divisait Z et OA, il est évident, par la formule précédente, qu'il diviserait a; donc les trois coefhiciens a, b, c seraient divibles par un même nombre, ce qui est contre. la supposition. CA

Maisona MN —6:AÙN; donc s’il y a un commun diviseur entre Z et IN, ce même diviseur aura lieu entre Z et JV’; et réciproquement si Z et N° sont premiers entre eux, Z et IV le seront aussi, comme la question l'exige.

Tout se réduit donc à faire ensorte que Z et ]V’ n'aient pont entre eux de commun diviseur. Or la valeur de Z étant multipliée par c’ donne

c'Z = A (Gc'y + L'YÆEN, et d’ailleurs les nombres c’ et V” sont premiers entre eux, puisque 8x est le pue grand commun diviseur de c et N. Donc on sera assuré que Z et N n’ont point de commun diviseur impair, si on fait ensorte que êc'y +8" et N' soient premiers entre .eux.

(415) Appelons &', a", &”....a® les : différens nombres premiers impairs qui peuvent diviser JV’; si on désigne par g®" le terme de rang i— 1 dans la suite naturelle des nombres premiers 5, 5, 7, 11, etc., et que d’après le terme général êc'y + L', où 8 et &’ sont premiers

entre eux, on forme la progression arithmétique indéfinie dans les deux

sens :

co — ac +8, —0c 48, D, OH, af HE,

RER SEE D ERP PSE SNL QE PRIS RE PEUR - MR AU Ur min er eu 2 22 SLR LE

Ua été démontré (n° 405) que sur (= termes consécutifs de cette progression, il y, en aura au moins un qui, n'étant ‘divisible: par-aucun des nombres premiers .#’, &",....a®, sera nécessairement. premier à JV.

On trouvera donc ainsi tant de valeurs dé Z qu'on voudra, lesquelles n ‘auront aucun diviseur commun avec !V; maïs ilreste à tie voir que parmi. ces” valeurs il y en aura toujours au-moins une moindre que À.

(414) Observons d’abord'que pour avoir les limites des valeurs de He

qui rendent Z moindre que IV, il faut résoudre l'équation. .....

N=cy" +207 a, laquelle donne pour ces limites

= ee) ne DR c Je Leur différence 2 V(cN—c) est à très-peu près le nombre des valeurs

de y qui rendent Z < M; car au moyen des valeurs précédentes, et en observant qu'ona bc, on trouve aisément que le nombre de

ces valeurs est égal à l’entier compris dans = y(cN—c), ou ne peut

surpasser cet entier que d’une unité. Appelant donc x ce nombre, NEReT av/(cN—c)\ … ; ? 24/(cI\—c)

on aura mn —œ£ re) ; ou dans certains Cas, n=iHE(NE SO) 5

mais On peut s’en tenir généralement à la première valeur , et le calcul ne, sera que plus concluant en faveur de notre proposition. On peut donner à cette valeur une forme plus commode. Puisque

a et c ont chacun un "commun diviseur avec V, et que à n'est pas zéro , il faut que 2 soit divisible au moins par deux nombres premiers

impairs différens l'un de l’autre ; ainsi à ne sauraït être moindre que 3x5, et comme ôn a c>> 2b, on doit donc avoir aussi € 30.

Le même nombre c, supposé le plus petit des deux « et CE est <2VEN ; ét comme on a cV—c Pa la valeur de #’ peut être mise sous la forme

ne D vin ), ee

où l'on a >2, > 1; ce qui ‘donne

ss VAN.

ro THÉORIE DES NOMBRES.

JL faut maïntenant faire voir que, quel que soit le nombre ? des facteurs premiers différens dont V' est composé, on aura toujours pr L!.

(415) Reprenons la valeur N° = ac — Ad°®,:et supposons que le plus grand commun diviseur entre:& et AV soit ur, w? étant le plus-grand. quarré-qui -en.est facteur; il faudra que 2’ soit divisible par y: ainsi en faisant a—œ"ya", bd = pb”, on aura N'y? v(dé— nb"). Le facieur 4? pourrait se Re a l'unité, mais y.est un facteur impair qui reste nécessairement, puisqu'on raisonne dans Fhypothèse die a et D on peut faire voir qu'il est plus es que 5150"; car a et c étant PP et l’autre © 254, ôn a! ae ls ce qui donné dE AN". Cela posé, on voit que N' ne peut avoir moins de deux facteurs i impair différens , ou que £ ne peut être moindre que 2. Nous allons examiner successivement les différens cas qui ont lièu selon. les différentes valeurs de c. .

Supposons 1°. que IV’ na que deux facteurs ; » et'&; Je nornbre ? étant 2, On aura HV =Y —3, puisque 3 ‘est: de prenifer termé de læ suite By 55:7., 141 etc. Il faut “donc. as que »’.est plus grand, que :5.

Ayant d'une part N— 4, et de ne N Fa un, on à à plus forte raison & > 5%; et Comme les fnôifidres nombres à prendre pour A et» sont 5 et 5,. on aura & >> 45. Ainsion-ne saurait supposer & moindre que 46 ou 47;.0on peñt prendre 4 =—#46,-parce que le facteur 2 ne Change rien au résultat qu'on veut obtenir. Mors on aura NAN = (av. “ | moindre valewr: de. est done N=—3.5:46—69p0 ,,

d'où résulte » >= 5 600 > 0,37. Donc si N'na que detis facteurs

premiers impairs , On aura 74>> ut),

De Supposons, que NV’. a trois facteurs premiers, et de de que ces facteurs sont inégaux, afin de rendre. d'autant plus grande Ja valeur de 1; on fera donc W'= 26, i—53, ce qui donnera PER EELE il faudra encore qu’on ait N\ Fe SH l" 5 et par conséquent ab > 3À, La quantité 3 a pour munimum 5.5.5, ow-45; donc a6 >45. Mais les nombres «et 6 doivent étre inégaux entre eux et différens de 5 et 5; on ne peut donc prendre pour «et 6 des valeurs moindres. que 11: Elles donnent N'=y.7.11, êt la. moindré valeur de NAN sera

Av,7e11, ou 3.5.7.11. Mais il est “éviden que VG. bapsta)iest > 55 Donc on a encore »'> y".

ns OU RER SRITS

en PR Cet MR rit tant eine. SP LE

QUATRIÈME PARTIE. ri 3°. Soit N'=va6y; ces quatre facteurs étant impairs et inégaux, on aura 1—4 et pÜ—=y"=—7. Dans ce cas la moindre valeur de

N —Favely sera 5.5.7.11.13;0r G. 5.7.11.13) ou V7. 11.13.15) est. évidemment plus grande que 7; donc on a encore #° > pt».

42. En admettant un facteur de plus, -onvauraiti=5, pr = 11, et la moindre valeur de IV étant 3:5.7.11.13:17 ou 11.13.17.105,

eu SN > ur.

L'inégalité devient évidemment de plus en FEA grande en faveur de »’, à mesure que le nombre des facteurs augmente au-delà de trois : ainsi la proposition est rigoureusement démontrée lorsque /V’ aura un nombre quelconque de facteurs impairs, inégaux.

S'il y a des facteurs égaux dans !V', ils n’entreront que comme facteurs. simples dans la valeur de z, et par conséquent dans celle de wG® ;

on aurait VN > 17, ét par conséquent #° > —

mais w N sup mentes et Finégalité déviendra encore plus grande: en faveur de 7’. Il en-sera de. même du facteur 2, qui, lorsqu'il a si augmente la valeur. de #{ sans augmenter celle de pG®,

Donc dans toutes.les formules qui ne-se-rapportent pas aux cas 1 et 2 du n° 411, on pourra toujours trouver um ou plusieurs nombres Z plus petits que V et premiers à. W ou à : N.

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Pr TI

$ XI Méthodes pour trouver combien, dans une progression arithmétique quelconque, 1 y à de termes ur ne sont divisibles par aucun des'nombres PTE COMPTES dans une . Suite donnée.

(416) Cor s1DÉRONS de nouveau la progression arithmétique nu m0 rade Cr die (RAC)

dans laquelle Avet C sont premiers entre eux, ét soit 0 un nombre premier non-diviseur: de 4: Si on détermine le nombre 8 ès petit que 8, de manière que 48° + C soït-divisiblé par 8, et qu'on fasse 2 Bs — 4°, toutes.les valeurs'de x comprises dans cette formule rentourne divisible par 0. Cela posé, le nombre des termes de la progression proposée élant 7, supposons qu'on demande combien il ya de ces termes qui ne sont pas divisibles par 8.

Si » est un re de 4, il est clair que le nombre des termes

divisibles par 0 sera & ; donc le nombre des termes non-divisibles étant

nommé ÿ, On aura p=n—ÿ=n(s—;).

Si » n’est pas un multiple de 0, la formule précédente désignera , à une fraction près, le nombre des termes non-divisibles par 4. Mais pour avoir une formule exacte dans tous les cas, observons que les termes divisibles par 8 forment la suite A(B—6)—C, A(28—4 )—C , A(59—F)—C, etc., jusqu’à un terme Æ40—40"—C , aussi approché qu'il est possible de Ær—C, et plus petit que MG

Désignons à l'ordinaire pan Æ (TS) l'entier le plus grand conte-

ñ 6 ; nu dans . ; cet entier sera la valeur de Æ; donc le nombre des

sine + à termes divisibles par 8 dans la progression proposée sera E e . Ÿs

et par conséquent-le nombre des termes non-divisibles est

Jen E (ES),

, 6° Lorsque nest divisible par 0, l’entier contenu dans = + este, quel

que soit &, puisque & est positif et 8. Donc alors on aura.

TER 3 , Comme ci-dessus.

(417) Soïent maintenant 8 et À deux nombres premiers non-diviseurs de: À, et soit proposé de trouver combien, dans la même progres sion , il y a de termes qui ne sont divisibles ni par 8 ni par À. . Désignons en général par A° le nombre positif et Rte que A;

qui rend /A°+ C divisible par À ; l'expression Æ (=

=) désignera

lé nombre des termes divisibles par 8 dans Ja Po proposée ,; et

E (+ A0 Ÿ le nombre des termes divisibles par À. Si on rétr anche l'un

et l’autre. du nombre. a Zn, UE restera n—E( Er Sa — E (= RE j

Mais de-cette manière on retrancherait deux fois les termes divisibles. par À ; pour ne les retrancher qu’une fois, ainsi que la question l'exige, il faut ajouter. à la quantité pr écédente le HOBER des termes divisibles

par OA, lequel est Æ (CH). On aura ainsi le nombre demandé

5 Les EE : =) + E (He) —B (2, À

Dans le cas où est divisible par 8A, cette formule devient

(418) En général soïent 8, À, &...d , ©, tant de nombres premiers qu'on voudra (2 excepté) dont aucun ne divise 4, et soit proposé de trouver combien > dans la progression 4—C, 24—C,....nd4—C, il ya de termes qui ne sont “divisibles par aucun de ces Abe ; il faun PALDBUErS deux cas : |

"Si » est un multiple du produit &. La ; le nombre demandé

4x4 : THÉORIE DES NOMBRES.

s'osme D6 eat) Lsa (et).

Cette même formule donnera en-général un résultat approché pour toute valeur de 7; mais l'approximation pourrait devenir fautive si le produit ee Lo LE Ne à une puissance très-éleyée de ».

°, Quel que soit 7, on obtiendra toujours la solution exacte, au moyen de la formule :

FR REC PEE HE Cr d ç (HU) ouest)

dans laquelle ÎE (== us =) exprime, la somme des cAue E +,

E (= =), etc., dus aux simples nombres 8 à, etc.; fE (ER n (BA)° £(® + cu nr) Er)

la somme des entiers E( etc. dus eux

produits deux à deux de ces nombres, et si de suite; ces quantités devant être formées dans toutes les combinaïsons possibles et avec les’ mêmes signes que les termes de’ même dénomination dans le pra

duit développé z (x +) 2)... (: 12).

Il faut observer cependant que dans la formule (b') es termes ne doivent étre continués que tant que les déneminateurs A n’excèdent pas An —C, dernier terme de la ‘suite proposée; car lorsque A surpasse An — C ; le nombre A° qui rend ÆA°+4- € divisible par A, est

plus petit que A — 7; ainsi on a E (<S) — 0.

Dans le cas où » est un multiple du produit 0Ay...4e—Q, chaque

terme E ——- Re ——) de la formule (b’) se réduit à D et on retombe exac-

tement sur La. formule (a').

En général si on a —#XQ<+m, la valeur de y sera composée 1°. de la partie (O1) (A—1)...(@— 1 qui répondà la valeur = ; 2°. de la partie qui irépond à la valeur 7m, et qui est donnée par ka formule (h°).

(419) Dans le cas particulier où l’on considère la progression des nombres impairs 1, 3, 5...2n—1, ona =), C=1, etla valeur * de A° qui rend 24° ia I divisible par À > est en général A =; (A—1),

QUATRIÈME PARTIE. à 415 ce qui permet de former immédiatement tous les termes de la for mule (b’), chacun étant HE (HE),

Soit proposé, par exemple, de trouver combien, dans es 100 pres mers termes de ‘la progression 1, 3, 5, 7, 9, etc., il y a de termes qui ne sont divisibles par aucan des nombres premiers 3, 5, 7, ri ; la formule générale donnera

= eee Ce) oi 4 249 cs

= 2 (2) (2) 2 (D) ODA HE LE a (=

+E (27 . /138 ne

On me va pas plus loin, parce que les autres produits formés avec les facteurs 3, 5, 7, 14, Date: 199, dernier terme dé'la suite pros posée. Faisant donc les réductions, /on äüra pm 43. ‘ !

Ba: formule Cp ae (ut) donne pour le même :cas:.4.,,4

2,:4 6: 43 5 Æ 100.7. ER 7 — ce qui s'écarte peu de là vérités

(420) Examinons die ao ie ao la suite des Aanbres impairs 1,3; 5,7 jusqu'à 2n—1=4, et désignons, pour abrégér, pr FE () le nombre des termes qui restent de cette progression, après avoir Sup-

primé, ceux qui sont divisibles par-quelqu'un des te es RARES successifs 3,5, 7,.11,,.0.. Nous: distinguerons deuxcas/:

.. Si l'on 20 ou >4/4, tous les. termes dont il s'agit. seront. se ne es,pr emiers ; supposons donc que.par À (a ; a) on, désigne, combien’ak y,a de mombres fe Apr : C} PSE a, Yunet, d autre inclusivement, ‘6n aura. é.

ons s$ #0 JE EN Co où S x me 11 fe Ê ea à A

Quant äu nombre V(o, a), ilse trouvera où par pr Table, où à par

PA ar

la formule approchée

a Er) Fe No, a)=1+ loga—% logo—c?

es laquelle e — 1,68366. ; Sion a ©o<W/4, HPBEIONS &', w", ete. les nombres À PREMIERE) qui ds &, depuis © jusqu'à ÿ/a; A HDES en outre d', 4", a”, ec, les

PE entiers impairs les plus grands contenus dans les fractions +, +,

a + À Qu: , u/ ze» etc. Parmi les termes dont le nombre est représenté par T(2) :

il y a d’abord tous les nombres Premiers de &°à 4, lesquels avec le premier terme 1, qui est toujours du nombre des restans, font un nombre V(o', a) +1 ou V(w, a). Viennent ensuite les nombres qui résultent du produit de &’ par chacun des nombres premiers de &w' à 4, leur nombre ést V (w', a’); ainsi de’suite: On aura donc

T (= Nos 0 +N (a, #)+N (o', a) + etc.

Cette quantité s’évalue aisément àu moyen d'une Table de nombres premiers suffisamment ‘étendue. Car: en commençant par *les «derniers termes et connaissant, par exemple, la valeur de V(w', a’), on en déduit N(«’, a) — N(o", a) + N(a’, a); Yexpression N(a”, a) désignant: combien il ya de nombres premiers depuis a” jure à a” inclusivement,.ou ce nombre augmenté d'une unité, s1 a" n’estpas premier.

(421) Pour donner une application de cés formules ; cherchons la va-

fée de T(— ee

143, 5.. ee 1, qui ne sont divisibles 5 aucun des nombres pre-

muers 3, Tÿ Tly 19:

Je trouve d’abord que de‘13 à 125r'il y a 199 Hébes: premiers , ce qui. donne N(i5; 1251) = 199; je divise ensuite: 1251 par les

nombres premiers 173 19) 23, 20, 31, compris de 13 à V/1251; les quotiens-impairs qui en résultent sont 73, 65, 53, 43, 39. Or à l'aide

de la Table*on trouve V(31, 39) — 2, V(29, 43) =—2+-N(39;.45)5, N (25, 55) =5 HN (45, 55)=8, M(19, 65) = 8 V5, 65) rx NN (17, 75)= 11 HN (65, 75) — 15. La somme de ces nombres est 41 ;

donc 7° () = 199 +41 240.

, C'est-à-dire , le nombre de térmes de la progression

Se TT DE et er more ere nt TPE re tm

La formule d'approximation (a) donne dans le même cas...

T. T) — 626% 0,5836— 240. Mais le résultat n’en est pas toujours

aussi exact; par exemple , cette même formule donnerait.......

T GES = 10658X0,28344 = 3015, tandis que d vraie valeur de cette quantité est 2987.

(422) La quantité T(£ ) ; Ou en général P(2), relative à une progression quelconque 4— C, 24—C...n4—C, et en supposant des diviseurs premiers GUeICOAURES 8, A, m...4, ©, peut se ramener à d’autres quantités de la même espèce, ns s lesquelles la série des diviseurs serait moins étendue.

En effet la valeur de Pt) donnée par la formule (h’), est... 4 RE (Er Gr ED )— ere ÿ on y remarque d’abord

une suite de termes qui ne contiennent pas w, et dont la somme peut

être représentée par P 6) ,; Ce qui suppose que la suite des diviseurs

sont en général —Æ (=) + fE (CES etc. Considérons un

ET ; comme le nombre # doitrendre Aa C divisible par wA, si l'on fait a—ko+6, 6 étant positif et plus petit que w, le terme Æ (2) deviendra EÆ (ER).

Soit encore z+6—ne+7, y étant positifet <o, on aura.’ E Lane = '6, ess — À (+. Quant au nombre k, pour

voir ce quil signifie, il faut substituer la valeur 4—4œ+6 dans la

‘appelé w°; faisant donc 6, puis ELLE

= C', la quantité k de-

‘ra satisfaire à l'équation

ea de sorte qu’ on aura encore 4—A°,

Si on réunit maintenant tous les à termes Æ RE avec les signes

qui leur conviennent , la somme sera représentée par — P' e m) Fe ( ) étant le be de termes qui restent de la progression A—C",

24— C',..nA—C", après en avoir retranché tous ceux qui sont divisibles par quelqu'un des nombres premiers 8, À, pe. sa On aura

donc enfin POP OSE) er C0)

formule qui sert x déterminer la quantité P (= ) au moyen de deux

autres quantités semblables dans JéSqeMes il y a un nombre premier de moins à considérer.

Le nombre C' étant en général différent de €, la-progression 4—C;.

24—C", etc. est différente de la progression donnée; mais elles ont l’une et l’autre la même raison Z. C’est pourquoi nous avons distingué

La un accent la quantité P’ é ) relative à cette nouvelle progression.

On voit d’ailleurs que C’ se trouve immédiatement par la valeur = EE , ainsi que # par la formule ñ ÆE(TS),

(425) Les deux progressions dont nous venons de parler se réduisent à une seule lorsqu'on a 4—2, C—1, ou lorsqu'ils’agit. de la progression 1, 5, 5:..(22—:1). Alors on a w°—2:(o—1), C=:1,

=EÆE na) , et la formule de réduction devient