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Ps AN || à | à à!
trois autres polÿnomes où 4, b, c, d, e seront les mêmes. Au moyen de ces quatre équations jointes à l'équation o—1+a+b+c+d+e, on pourra déterminer les valeurs des cinq racines a, b, c, d, e; et dans cette solution on ne suppose connues que la valeur de À, et celle de 7 d’après l'équation à deux termes 7°=— Y, où F7 est une quantité donnée de la forme M+ Ny/— x.
Mais la multiplicité des racmes tirées de chacune des équations 7°=#"", puis combinées entre elles , pourrait donner lieu à quelqu'embarras. Pour éviter toute indétermination , examinons particulièrement les polynomes formés comme il vient d’être dit, savoir ,
T'= a + DR cRt + 4R + eR,
T'= à + DR + cR — dR: + eR!,
T'= à + OR + CR + dR® + eR“.
Si on développe les produits 77", TT", on trouvera les résultats très-simples 7°7"= 11, T7" = 11; d’où résulte T'=> ee — T3 il suflit donc de connaître 7' et 7”, et alors on formera les équations
a+b+te+d+e,
ee.
T' = a + DR + ch + dR + et, T'= a + bR+ cRt + dR + ei, F=a+0R+ cR + dR +eR", . = à + DRE CR + dR® + eR".
Ajoutant ensemble ces équations et réduisant, on aura enfin 11 11 a 2 op 1 + 7
(488) Il faut maintenant dans l'équation
TS = — 11 (26 + 20R — 15R? + 1088), substituer pour À l’une des racines imaginaires de équation R5 — 1 —0. : = 92k7 ; Soit donc a ——, Æ étant l’un des nombres .1, 2, 3, 4; on aura
cos Da 1 ,SIN Dt—O, COS Ad — COS &, sin {t:——sinæ, COS 34—CO524, sin 34 — — sin2e ; et les auatre racines imaginaires de l'équation
CINQUIÈME PARTIE. 477 R5— 1 —ÿo seront GE R = cos a + y—: R— cos22 + y—1 R5— cos24 — y/— 1 sin2a, Ri= cos à — y— 1 sin «.
sin«, sm22 ,
De plus, leur somme étant — 1, il faudra qu'on ait . | O — 1 + 20054 “+ 2C052&, équation qui a lieu sans déterminer la valeur de 4. Cela posé ; la substitution de là valeur de À dans celle de 7°, donne TES (— 16 25cos2a + (25 sin 24 — 20sina4) /— 1).
Soit p cos 8 — — 16 + 25 cos2æ et psin® — 25sin24 — 20sinæ, on
: 3 . . Là , e Le ‘trouvera p°— 1551 — 11°, ou p=— 11°; ainsi l'angle @ étant déterminé par les équations — 16 + 25cos 24
3 95 sin 24 — 20 sin & COS Q = — "5, SnQ = ————
: 5 ; tee on aura 7%=— 11° (cos ® + ÿ/— 1 sin@), d’où résulte
1 115 ( cos Ê + V—1 sin? ).
(489) La valeur de 7” se déduit de celle de T', en mettant simple-
ment À? à la place de R, ou 24 à la place de &; ainsi faisant
— 16 + 25 cos4x __ 925 sin{a — 90 sin2æ
/ / C ==" ———— : 05? 11 Vi 2 ® Tr 11/11 2
on aura 1 g g :
, I 1 (cos LH 1 sin &). | Donc par la substitution de ces valeurs , on obtiendra enfin pr ? 2.
Da — 14 2 p/11 COS = + COS =);
mais il reste X fixer le choïx des racines dans l'usage de cette solution. + Et d’abord on peut prendre: pour « celle qu'on voudra des quaire
ge. an nee à nn on +
tte obus ei ré ni
és L: rl
és PARC nt ne ce a PE à var
pe
valeurs ? . ; LA Es de; ; Car si à la place de & on met 24, 54, 4a , les valeurs de cos o et ‘cos g" restent les mêmes , ou s’échangent entre
SRE è : Ente 27 elles ; ainsi on peut se borner à faire à — — — 72°, ce qui donne
cosa—œ—}%?+}?4y5, cos2oa——#—7? 1,5; il en résultera __ —89—054/5 : 5 — 89 +254/5 RÉ Re NET TA AT RE ® 186° 48° 38/67, ®'—= 105° 6° 53"00,
Di, 97 21,497, +9 20° 37° 18'6o.
Comme on peut prendre @ + 2i7 au lieu de @, il est clair que:le terme
cos aura Cinq taleurs différentes, savoir,
COS, cos (2 + , cos (E + #5 : cos (2+ , cos (+
De même ue aura cinq valeurs différentes , et il faudra savoir la
quelle de ces cinq valeurs doit être joimte à une de COS £; pour en
déduire la valeur de la racine 4, ou plutôt l’une des valeurs de 4. Car on voit bien que a peut représenter indifféremment celle qu'on voudra des cinq racines 4,b,c,d,e, et qu'ainsi la mème formule qui donne a, doit donner en même temps les quatre autres racines b, c, d, e.
(490) Il ne faudrait qu un petit nombre d'essais pour 45 la cor-
respondance qui doit avoir lieu entre 1és valeurs de cos à et celles de cos . Mais pour éviter tout tätonnement , reprenons les formules
TT = à + RS À CRS L dRs + eR®, TP = d + VRE CRE JR RS.
En les multipliant. entre elles, on devra trouver un produit indépendant des racines a, b, c, d, e. En effet, on aura
