PREMIÈRE PARTIE

» formule semblable où le coeflicient moyen soit moimdre que chacun » des extrêmes, où aumoius n’excède pas le plus petit des deux. »

Supposons 29 >p, et dans le cas où l'on aurait à-la-fois 295 p, et 24 > r, soit p le moindre des deux nombres p et.r, abstraction faite de leurs signes; nous ferons 7 —9—m3, 7» étant un coefhcient indéterminé, et la substitution donnera cetté transformée

pYY —(pn—2q) 7"3 + (pm —2qm + r) 3°.

On peut prendre l’indéterminée »#, de manière que 2pm = 2g soit plus En > que 7 P peüt quep, ou égal à p; il faut pour cela que 72 soit l’entier le plus proche, en plus où en moins, de la fraction donnée 2 g° . Cela posé, fai-

sant pn—q—=q", pré —2qm#r== 1, la transformée sera

PJ —2472+ re, et l'on aura Pr— qq AT ; €t 2q "ap; le signe << n’excluant pas l'égalité.

Puisqu on a ÉLraR 24>p et 2g-<p, ail s'ensuitqu'on aura <4;, ce qui estl’objetprincipal de cette première opération. Maintenant si dans cette transformée le coefhicient29", quoique <p, est encore > 7‘, on procédéra semblablement, et on obtiendra une nouÿelle transformée dans laquelle le coefficient moyen que j Lie Bi sx sera 27. Or une suite de nombres entiers décroissans gs gg; g', etc. ne saurait. aller à

l'infini: ainsi en contintiant les mêmes opérations, on parviendra née cessairement à üne transformée dans laquelle il n’y aura plus lieu à rée duction ultérieure, et qui sera par conséquent telle, que le coefficient moyen ne surpasse aucun des extrèmes, Cette transformée satisfera au problème proposé; ses indéterminées seront encore des nombres pre< miers entre eux, et la quantité analogue à Er sera de même valeur et de nême signe que dans la formule proposée; car ces deux. conditions sont toujours observées dans le passage d’une transformée à l’autre, comme nous avons démontré.

Soit prise pour exémple la formule 357172722102"; comme l'en-

S est 2, On fera ÿ=—7y— 23, ce qui donngéra

tier le plus proëhe de ? =

la transformée .

secs