PREMIÈRE PARTIE, Gi

$S VIII. Réduction de la formule Ly°+Myz + N:° à l'expression la plus siriple.

(53) Dans cette formule, on suppose que les coefliciens Z, M, N sont des nombres donnés (tels cependant qu'ils ne puissent être divisés tous trois par un même nombre); les quantités y et 3, au contraire, sont des indéterminées auxquelles on peut attribuer toutes les valeurs possibles en nombres entiers positifs et négatifs, avec cette seule res= triction que y et 3 soient premiers entre eux. Il y aura donc toujours uneinfinité de nombres représentés par la même formule Ly°ÆMyzNs; z°; mais en général, cette formule est susceptible de différentes formes qui toutes renferment les mêmes nombres, "et il s'agit maintenant de déterminer l’expression la plus simple de toutes ces formes.

Nous considérerons d’abord le cas où M est un nombre pair, parce que c’est celui qui présente le plus d'applications | nous indiquerons ensuite les résultats analogues qui ont lieu lorsque AZ est impair.

Soit donc proposée la formule py°+ 2972 12°, dans laquelle p, 7; r Sont des nombres donnés; si on veut transformer cette formule en ane semblable qui n’en diffère que par les coefficiens, il faudra supposer

F=SJY + ms OU + nr, | y’ etz étant de nouvelles mdéterminées. Cela posé la substitution de ces valeurs donne le transformée PY® + 29 V8 + r'3*, dont les coefli-

ciens sont P=rf" + 24/8 + 78° d = pfn-E j(Jn-+ gm) +-rgn = pr +-2qmnt re.

Or pour que les coefficiens f, 2, m, nr, ne restreignent pas l'étendue

des indéterminées y ets, dans la te pr oposée, il faut que ie va leurs de y’ et 7 exprimées en yet 3, savoir

ny m2 Res y

fn— mg? DE TT fn mg ? #

soient des.entiers, indépendamment de toute valeur particulière de y et de 3; il faut donc pour cela qu’on ait fn — mg —=Æ%1. De là on voit qu’on peut prendre arbitrairement deux coefficiens tels que f etg, pourvu

. . 0 À . mm .

qu'ils soient premiers entre eux; ensuite on prendra pour — la fraction LA

convergente qui précède À dans le développement de celle-ci en frac-

tion continue; par ce moyen, la condition fn— mg "#1 sera remplie, et on aura la certitude que tout nombre compris dans la formule PT° + 2973 + r2°, l’est également dans sa transformée PY"+2q Ve +Htzt, et réciproquement. D'ailleurs ayant supposé y et 3 premiers entre eux, il faudra que y’ et z’ le soïent aussi, car si y’ et z° avaient un commun PARTS @ , les nombres y et z (d’après les valeurs I= fy + ms,

D. nor ) seraient aussi divisibles par 8; ce qui est contre la Le

Nous obsérverons de plus, que les valeurs trouvées pour p', g, donnent pr—q'g =(pr—qq)(fn—meg) = pr—gq; d'où il suit que «la quantité pr—gq et son analogue pr/—q'j" dans la transformée, » sont égales et de même signe. »

Cette quantité pr — g° est celle qui détermine la nature de la formule PY° + 2q73--r3",eu égard aux deux facteurs «y + 63, 97 + ds dont on peut imaginer qu’elle est.composée. Si ces facteurs sont imaginaires, la quantité pr—q* sera positive: s'ils sont ou égaux, ou rationnels, la quantité pr—g* sera égale à zéro, ou à un quarré négatif: enfin s'ils sont réels, mais irrationnels, la quantité pr—g° sera égale à un nombre négatif et non quarré. C’est ce qui se voit, en mettant la formule...

PY°" + 2qr3 + rz° sous la forme:

SCAN 95 20/(q°— pr] pr + g5—2V/(q° pr. Nous examinerons séparément ces différens cas; mais il faut,avant tout;

résoudre le problème général qui suit (x) :

(54) « Étant donnée la formule indéterminée py° + 2qy3 + rz*, dans » laquelle le coefficient moyen 29 excède l’un ou l’autre des coefficiens » extrêmes p et r, ou tous les deux, transformer cette formule en une

(1) La solution de ce problème, l’un des plus importans de l'analyse indéterminée, est due à Lagrange. Voyez les Mémoires de Berlin, année 1773.

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