EY

Has + be ete — PT QUE = 125 SE ete.

Soit A+ Bs+ Cr + Ds... Ma LE Nz" etc. la série qui vient ‘du développement du premier membre, on aura, d'après la loi ‘connue des suites récurrentes ,

=— 4 — — a À — ob

C—=—aB—bA—53c

D=—aC—0B—cA—44

E =—aD—bC—cB— dA—5e

etc.

Il faut par conséquent que la suite ainsi trouvée 4 + B3+ Cz° -E etc:

soit RUE Se avec’ celle Ré Fee du ‘second membre... es 22 etc. Or on à D a + ts de “etc., et les aufres paie partielles eee LE résultats: semblables ; donc en, réunissant tous ces résultats ; Où aura

nn nel) pi pue LE état ñ BELLE ES EE Lee CHÈRE SRE Lee.

re fes je Fe | 2 er £L >:

et. en général. Ve a +65 y" + + + etc.

Ées formules sont celles qui servent à trouver la somme des puissances dés racines d’une équation donnée; mais il est évident qu'elles sont applicables aussi à la résolution approchée des équations ; Car si æ estla plus grande des racines, et que exposant x soit sufisamment grand,

on aura à fort peu près Me a": on aurait, par la mème “CL

N ee —a4"T", donc la racine cherchée ae

Donc pour avoir par “approKimation la plus grande racine de l’équa-

tion proposée, il faut calculer les: coefliciens successifs 4, 8, C, D....M, N.... par la loi générale des suites récurrentes; puis où dre de dérniér coëfficient trouvé par ‘Tavant-dernier , et le résultat sera la valeur de la racine demandée: valeur d’autant plus approchée , que l'opération aura été poussée pie loi, et LE ÿ aura plus d'mégalité entre les racines:

: El est aisé, paf une enr ; de faire ensorte qu'une racine quelconque devienne la plusgrandédesracines , ainsi cette méthode peut servir à trouver indistinctement toutes les racines, Dansumgrand:nombre de cas l’approximation sera plus rapide par cette voie que par aucune autre connue; quelquefois elle sera lente , quelquefois aussi les résultats seront absolument fautifs; mais il est facile de prévoir et d'éviter ces inconvéniens, si l'on a une prémière notion de one re= lative et de la nature des râcines.- -

(114) Appliquons ces méthodes à l'équation +°—3x° +1 —0; pour avoir la valeur”approchée de la plus grande-racine, äl faudra dévelop-

TP PSE TO OT ON SENS MU à Lion roue conan. NÉE )

diet PARTIE. *47 per en série la fraction = RÉ — < ————;, ce qui donnera. Fo als Gos “19835703 5-1 hrs 47 2537+156052+-301743 etc. En s'arrêtan

ainsi ‘aus dixième teriñe, On aura fa racine cherchée D us

Maintenant Si On développe celte valeur, en fraction continue, on aura les quotiens 2, 1, 7, 53,2, 5, 1, 2, 6; et pour juger jusqu'à quel point ils peuvent étre exacts, on FAR semblablement la frac ‘13605 lion, 28 qu'on aurait eue en s'arrétant au neuvième terme;,il résulte de celle-ci les quotiens 2, 1, 7,3, 2, 5; d'où il paraît qu'on peut regarder. comme. exacts les quotiens 2, 1, .7,:3,.2, 3. Au moyen de ceux-ci.on caleulera les fractions convergentes comme il suit :

Gadtienter ET a TS SE,

WPL a "5 45 ‘42 167-578 Fract. CONTE nan Su TAG OITES 8 199

Oo =

Pour. continuer le calcul de ces fractions d'après la méthode du n° 1124

faisons & BE Le Ds et soit ses 3 le quotient complet qui

ponte à cetté désire fraction ; nous aurons, en observant que pr — ne F = meù = py

srl Bpe — se ÉCA d : Be 1 em ee

ERP TS +! PPT TT 139897.

Cette valeur FR Dose et plus grande que l'unité > il s'ensuit que tous les quotiens déjà employés, sont exacts; et pour avoir ceux qui viennent à la suite, il faut développer la. valeur, de :3.en fraction continue; ce qui donneta Les. nouveaux quotiens 1,7, 63,11 »4 316 43 3, etc. de ‘sorte que l'opération du développement. se continuera ainsi. to Ë

Quotiens isa saessde.sesee 15: és GR LI (Te pe 167 . 573: 740 1313 8618 96111 104729 $ Fractions converg. .... 815 700 1 À 3216 D 2008025887? B6%7a ? ete:

“Onis’ ärréte "à cette ait) parce que’ 156572 à autant de chiffres que

de lquarré -de{ 190, "et que la fraction suivanté pourrait n'être Plus, du nombre des fractions convergentes.

ge em) où Ÿ

(: 15) Les méthodes qu'o on vient d'exposer ne, concernent que les ‘acines réelles des équations. À l'égard des racines imaginaires, il peut

être utile aussi d'en avoir. une expression approchée indéfiniment, et Panalyse indéterminée offre des cas où l’on a besoin de convertir en fraction continue la partie réelle de ces racines. Nous saisirons cette occasion de présenter quelques vués nouvelles sur l’approximation des racines imaginaires , objet jusqu'à présent assez négligé des Analystes.

On'sait que toute racine imaginaire d’une équation peut être représentée par & +6 y/— 1, «œ et € étant des quantités réelles ; on sait aussi que la quantité & peut être déterminée directement par une équa-

tion du degré ? Lee) 1) Ft étant le degré de l'équation proposée. Ayant 5 8 q propo: Y

trouvé! , iln’est “éd dificile d'avoir 6; car comme l'équation proposée doit être divisible pär-x°— 24x + «462, si on exécute la division et que le reste soit 4x 4-28, il faudra qu'on aït À —0 et B—o, équations au moyen desquelles on pourra avoir une valeur rationnelle de €* en fonction de «. Tout se réduit donc à trouver la valeur de « par l'équation dont elle dépend, et qui résulte de latcombinaison des équations A0 et P—0; mais dès que » surpasse 4 , le degré de cette équation, devient trop élevé pour qu elle soit de quelqu’ utilité dans la pratique , et il faut absolument recourir à d’autresmoyens pour avoir les valeurs approchées de æ et 6. Or quels que soient & et 6,-on peut toujours supposer a=rcosp,E6—=r sin®, Ce qui Races æ=—r(cos pH /—4sin@), et en général x" = r" (cos mp + |/—1 sinm@). Ces formules dont l'emploi a été indiqué par Euler, sont pr opres à simplifier beaucoup dans certains cas la recherche des racines imaginaires.

(116) Soit d'abord a égétér ax" + bx He—0, à laquelle peut se réduire toute équation à trois tèrmés (car on ne suppose pas que mn soit um nombre entiér ). Si on met au lieu de x ‘lavaleur r (CS ( TE WT. 1 sin 9)» l'équation proposée se us enlces deux autres -