SEX ES
"PREMIÈRE PARTIE. 139 à-la-fois deux racines positives et plus grandes que l’unité) sont'toutes négatives et plus petites que l’unité; en effet, si on désigne par x; celle des autres racines de la proposéé à’ laquelle répond une autre ras cine de la transformée, désignée semblablement: par 3, on aura
PLIS Ein rs PI —=
OR CS ent pet Cpq°—=—p°q)xi TT pq Étar PCP=—qi)
Or. on a pa = p GE I , €t comme P Ya en augmentant, ainsi que
P — Xi; puisque ? x n’est pas une fraction convergente Vers x, “il est
clair que la valeur de 3, approchera d'autant plus de Fe que p sera plus
grand. Ce résultat a lieu également pour toute racine de la transformée autre que 3; d’où l’on voit que-toutes ces racines tendent contnuelle- Las p° 2 P »
ment à, étre égales entre, elles, et à avoir pour valeur : quantité négative, et plus petite.que: l'unité. …, 525, ai
me: 10) D'un autre cote, on sait (n° 11) que Fe quantité F est égale à la fraction Continue:
Fe Te
tomposee des quotiéns qui précèdent & dans l’ordre rétrograde, jusqu'au premier æ& inclusivement. Donc tandis qu'une racine 3 de la iransformée Z= 0} donne ‘dans son développement les quotiens x, mu", etc., toutes si autres racines. dela même transformée donnent dans leur développement les quotiens précédens n°, 1°, u°®, etc. dans l’ordre inverse, Ces racines sont done en eflet d'autant plus près de l'égalité, qu'il y a un plus grand'intervalle entre la proposée et la transformée dont il s'agit. Mais quelque approchée que soit cette égalité 5 elle ne devient’ jamais vigoureuse, et on peut toujours développer séparément les différentes väléurs de 3, correspondantes ‘aux valeurs analogues de x,.
Car si on reforme ka fraction À
, au moyen des quotiens qui la com
posent, en cette sorte , H D ee Cru. :
Toto unes ds ue
si ensuite on metæ—x, à la place de «, il est clair que la fraction con- 4 À p°—q°x; Pt —Q°2
tinue. deviendra ==, et qu ainsi ON aura —3, —= : pq Pga
valeur exacte de —3, développée. en HSE continue sera:
donc la
TR 4 doser Re LA FRS
Il ne s'agit plus que de substituer à la place de x, sa ‘valeur exprimée aussi en fraction continue: Pour cela ; il: y a différens cas à examiner.
Si Tr est nee et que sa valeur développée commence ainsi
1 = Le Gi , alors il est clair que la jonction des deux 71 + etc. z fractions continues se fera sans difficulté, et donnera
7% + (22e ni
CHE ——— ÈS tatin hr ete:
2°. Si la valeur de x, est positive et moindre que «,. ôn fera
TE — és ce qui donnera ax; = 4— a 1e 0 :4Dans J 1 ——— —12HY
le cas où a—a,=—1, il faut remonter au quotient, qui Res Cr
et on aura GR Ert
Se É Ù 3°. Sila valeur de x, est positive-et-plus grade-que «, 1l faudra encore remonter au quotient 6, et on aura
6 NE Comet = ——,
ST a bn our ES bars
PREMIÈRE PARTIE. 145 Soit. d'abord 4, — «x, cette valeur se réduit à 6—; et on se conduira à l'égard de 6— 7, comme on l'a fait pour a —x. Soit ensuite 4 —d,;,=—=—727, On aura
nc
De là on voit que dans tous les cas la substitution de la valeur de x, peut se faire dans la fraction continue égale à z,, sans occasionnier d'autre changement que sur quelques-uns des dernièrs termes de: la suite g°, m®....6,«æ, ou sur quelques-uns des premiers de la suite ct, Cr D etc. venant du développement de x. D'ailleurs la suite infinie «,, 6, y., etc. (sauf peut-être quelques premiers termes ) sera également comprise dans le développement de la racine 3,. Donc une racine quelconque de la transformée offre toujours dans son développement en fraction continue les mêmes quotiens qué la racine correspondante de la proposée; sauf lès premiers termes qui sont différens, tant à cause dé la partie u°, mŸ, etc, qui est propre à la transformée, qu’à cause de la jonction des deux fractions continues qui peut opérer un changement dans, les premiers termes.
(xx) Pour rendre ces résultats encore plus sensibles; ,reprenons l'exemple F, où léquation proposée est x°—x°— 2% + 1 —0, et considérons une de $es transformées , ‘telle’ que
la racine positive et plus grande que l'unité sera donnée par les quotiens qui naissent dela continuation :du développement, et qui sont Bi 1, 65:10, re ras F5 :0f 25 1 18,11, 153;setc,:; : de sorte qu’on aufa pour cette prémnvre racine, ÿ
> Fr
Pour avoir les déux autres racines de la même équation, il faut 3 Conformément à ce que nous avons dit, prendre
mn D 1
et substituér au lieu de +, successivement les deux autres racines de l'équation proposée. La racine négative étant celle dont la’ substitution est la plus facile, nous prendrons d'abord sä valeur développée,
qui est —%=1+> Hors ere d’où résultera, —# =- AT 0 1 j | de 5 mure ee ” 20 = 4 ‘
Prenons ensuite la froisième racine positive
DOTE Se 20 + etc.
r si on fait, pour abréger, — HS 1, On aura la troisième racine de
la transformée
Pour faire disparaître l'irrégularité dans cette valeur, 1l. faut changer ainsi les derniers termes de la fraction continue :
18% PR DU ee VRÈSE ; 3y+2 2 ARE Y Donc on aura, sans aucun terme négatif, < 2% =;% 1 ; Re de 20+- ,1 Lx dinars
A SE ETC x = SEE —————— : = RTC ER ME TT Er. EST s RESTE PQ PR ME CS 1 Ur ve — Re ne ep dan 7 à
si
PREMIÈRE PARTIE: + 143 les quotiens -suivans étant comme dans la première racine 1, 6, 10, 5, 2, 2» 1323 23 1 10, 100 LEIC:
Au reste, si on applique cette théorie aux équations du second degré, et qu'on cons l'équation transformée qui donne la valeur du quoüent-complet dans une période éloignée, on trouvera que la seconde racine de cette transformée est exprimée par les quotiens précédens pris dans l’ordre inverse; d’où il suit qué la période qui a lieu dans le développement de cette seconde racine, est la même que celle de la première , mais prise dans l'ordre inverse. Résultat entièrement conforme avec ce que nous avons déjà trouvé pour les équations du second degré
(SX).
(112) Quoiqu'on aitsupposé dans ce qui précède, que les coefficiens de l'équation proposée sont des nombres entiers, cette Condition n’est pas cependant absolument nécessaire, et on peut, au besoïn, convertir en: fraction continue la racine de touté équation proposée’, s6it algébrique, soit même transcendante. Pour cela, il faut chercher, par une méthode quelconque, la: valeur approchée de la racine dont il s’agit, puis convertir cette valeur en fraction continue, en ayant soin d'arrêter le développement et le calcul des fractions convergenties au point où'on
présume que l'exactitude doit cesser. ST la fraction 2 qe a laquelle on s’arrête , est une fraction convergente, il faut se Re que la différence de. cette fraction .ayec x doit être moindre que D et ainsi le degré
d’approximation dela valeur de æ étant supposé connu, on.connaître la limite de 7: Au reste, une approximation ultérieure servirait à redresser l’erreur , s’il y en avait.
Supposons donc qu'en vertu de la première approximation, ona trouvé les quotiens et les fractions convergentes vers «x comme il suit :
QubHENS Rs. ein ds Ce Cyril Fract. converg:... =, se ea se ESS 654 € q°
Pour continuer le développement, on prendra l'équation proposée F(x)—=0, et on substituera dans le premier membre, au lieu de x,
la valeur AE æ. On suppose que w ést une correction assez petite
pour qu’on puisse négliger les puissances de « supérieures à la pre<
mière, et alors en faisant PF, le résultat de la substitution sera
F:(E) +0 (=, d’où l'on tire | fa (6) Le NE)
Soit maintenant z Me quotient-complet qui répond à P g> On aura»...
ce ER ®, cé qui donnera, en substituant la valeur de»,
F'(E et —p°4) : an) #r(3) Si l'équation. est algébrique , et-qu’on ait F 2 (x) = ax" Dax" HR or, RE F3 (x) = nax + (ni) bat 2 (n— 2) ox" + etc.
“il en résultera
DES - PORTE PQ Rap + (nr) bp q + (ne) cp" q" etc. q Gp pq + pig + + kg" ce qui revient à la formule du n° 102..
.… En général, il est à remarquer que la valeur de z donnera par son développement divers quotiens w, uw’, m”, etc. qui feront suite avec les quotiens déjà trouvés, et permettront de continuer le Calcul des
. fractions convergentes jusqu'à ce qué l'erreur de la première approximation soit réduite à son quarré. Et s’il arrivait que la valeur de z ne fût pas positive et plus grande que l'unité, ce serait une preuve qu'un ou plusieurs des quotiens précédens °, u°, etc. sont fautifs, et doivent être corrigés au moyen de la valeur de 3. Alors on réduirait en une
seule fraction HS et si la somme était positive.et plus grande que
Vunité, il ny aurait que le dernier quotient w° à changer. Dans le cas
contraire, 1l faudrait substituer la valeur de 3 dans u°° = LEON ; Z
même dans p°° e + ,> ainsi en rétrogradant, jusqu'à ce qu'on ue =
® PREMIÈRE PARTIE. 145 parvint à un résultat positif et plus grand que l’anité. Cette valeur étant. développée en fraction continue, donnerait à-la-fois les quotiens qu'on doit substituer aux quotiens ‘défectueux et quelques-uns de ceux qui les suivent, selon le degré de la première approximation.
Il est clair que par des opérations semblables, réitérées autant qu’il est nécessaire, on peut parvenir à développer en fraction continue, et jusqu'à un nombre de quotiens quelconque, toute racine d’une équation proposée, de quelque nature qu’elle soit.
(113) Quant à la méthode pour obtenir la première approximation, on peut proposer comme l’une des plus simples et des plus convenahles pour cet objet, la méthode de Daniel Bernoulli, fondée sur la théorie des suites récurrentes, et dont Euler a donné une exposition détaillée dans son Zntrod. in Analys. Inf. Cap. XVII. Cependant comme cette méthode est sujette à quelques difficultés dans les applications, il ne sera pas inutile de la présenter ici avec une modification qui peut faire disparaître une grande partie de ces difficultés. |
Soit 22 ax 2E bat LE cx$ etc.—0, une équation proposée dont les racines sont æ, 6, >, d', etc. ; si on prend pour 3 une variable quelconque ; on aura léoriéon identique
1H as + br cs etc. — (1 — az) Sr ( Editor
d’où résulte, par. la ÉSrenuauon, cette autre.équation pareïllement identique : 3
—a— 2bz—5cz"— etc. a
