MÉTHODES ET RECHERCHES - DIVERSES

S I. Theorèmes sur les puissances des nombres , : 340

L'aire d’un triangle rectangle en nombres entiers ne sauraït être égale à un quarré, zbid.

La somme de deux biquarrés ne peut être un quarré, 343 La formule x+.2yt ne peut être un quarré, | 344 Aucun nombre triangulaire, excepté 1, n’est égal à un biquarré, 345 La somme ou la différence de deux cubes ne peut être un cube, ibid. Elle ne peut non plus être double d’un cube, 347 Aucun nombre triangulaire, excepté 1, n'est égal à un cube, 348

S IL: T'héorèmes concernant la résolution en nombres entiers de l'équation

x —b — ay, 349 Condition de possibilité et réduction de l’équation lorsque a est un nombre premier, ibid.

Résolution de l'équation æ* — 1 — ay, lorsque & est un nombre premier, et z un diviseur de a—1, ###950 Résolution de l’équation x°*+ 1—ay; dans les mèmes cas, 353 Résolution de l’équation x —b— «ay, dans les mêmes cas, 355 Résolution générale de la même équation, 357 S' III. Résolution de l'équation x° + a = 2"y, 358 S IV. Méthode pour trouver le diviseur quadratique qui renferme le pro duit de plusieurs diviseurs quadratiques donnés, 361 Formule pour avoir le produit de deux diviseurs quadratiques donnés , 562 Formule pour avoir le produit de deux diviseurs quadratiques semblables, 365

Diverses formes dont est susceptible le produit de plusieurs diyiseurs quadratiques

TABLE DES MATIÈRES. xx)

donnés, pag. 367 Formule pour avoir la puissance n d’un diviseur quadratique donné, 369

$ V. Résolution en nombres entiers de l'équation Ly° +Myz + Nz°=bn,

Il étant le produit de plusieurs indéterminées ou de leurs puissances, 374

Après avoir dégagé le.second membre du facteur constant b, on fait voir comment la résolution de cette équation se déduit: des déyeloppemens donnés dans le K précédent, 375

Exemples divers, 375 —379

S VI. Démonstration d'une proprieté relative aux diviseurs quadratiques

de la formule © + au°, a étant un nombre premier 8n + 1, 380

Après quelques propositions subsidiaires, on prouve que l'équation U°— PY2 + - 2QYZ + RZ?, dans laquelle PR — Q°=— à, n’est susceptible que de deux solutions, : lesquelles se réduisent à une seule, lorsque l'équation proposée est de la forme

U— 9ÿ° + oyz+s(a +1), 383 De là on conclut que le nombre. des diviseurs quadratiques 47 + 1 de la formule

— au?, surpasse toujours d’une unité le nombre des diviseurs quadratiques 4n + 3 de la même formule | 385

$ VIL. Démonstration du théorème contenant la loi de réciprocité qui existe entre deux nombres premiers quelconques , 386

$ VIII. D'une loi très-remarquable observée dans l’'énumération des nombres | premiers ,

Comparaison de la formule avec les T'ables, e ibid. Valeur moyenne et probable de la différence entre deux nombres premiers consé—

cutifs, 395 Sommation de quelques suites qui dépendent de la loi des nombres premiers 522300 Essai sur la démonstration de la formule trouvée par induction 308

S IX. Démonstration de divers théorèmes sur Les progressions arithiné-

- tiques , 399 Si on désigne par 7 le terme de rang (k—1) dans la suite des nombres premiers 3,5,7,11, etc., je dis que sur 7 termes consécutifs d’une progression arithmétique

quelconque, il y en aura toujours au moins un qui ne sera divisible par ancun terme pris dans une suite de k nombres premiers quelconques, 4c4, Il en résulte ce toute probre nos ar ct , dont le. pret terme et la raison

SX, où l’on prouve que tout diviseur nue dela Là formulé + Nu, contient au moins un nombre premier à N et plus petit que N, 407

. Méthodes pour trouver combien ; dans une progression arithmétique quelconque, il y a de termes qui ne sont divisibles par aucun des nombres premiers compris dans une suite donnée, . 412

x; TABLE DES MATIÈRES:

Formule, générale" qui satisfait dans tous, les cas, 2 “pag. 414 Algorithme pour simplifier le:calcul de la formule générale, 418 Formules pour. Ja comparaison, des diverses progressions, 420

Une progression quelconque et la simple progression des nombres impairs peuvent être disposées terme à terme , desmanière que les termes correspondans soient tous deux premiers, ou tous deux! non-premiers # un même produit Q 2a

S XII. Méthodes pour compléter la résolution en nombres entiers des

équations indeterminees du second degré, 42%

On ramène généralement l'équation ay + byz-E cz + dy + {2-8 = 0 à la forme ay” + by/2/# cz H : on donne ensuite une méthode générale et exempte de tâtonnement pour déduire des valeurs de y’ et z’ celles de y et zen nombres entiers, 426

Le succès de la méthode précédente étant fondé sur ce que les fractions à faire dis paraître ont pour dénominateur bb — 4uc, on se propose plus généralement de déterminer l'exposant n, tel qu'en faisant (9 + 4/4)" — F4 G 4/4, la qüantité AF + yG + y soit divisible par un nombre premier quelcoñque », 427

On détermine ensuite aan Ja valeur du même cut telle queaF 1 uG+»

$ XIII. Méthode de Fermat pour la résolution de l'équation y = a # bxcx® + dxŸ ext ez nombres rationnels, 431

Si l'équation proposée est telle que a ou e soit un quarré positif, ou si on en connaît, üne solution, on donne la méthode d’avoir successivement d’autres solutions, ibid.

Application à deux problèmes particuliers , 433

Usage de analyse indéterminée dans la réso lution de l'équation x*'—1=0,

n étant un nombre premier,

Ayant fait X— — Re le polynome X’ne peut être décomposé en facteurs ration-

nels, 439 Connexion entre la résolution de l'équation X = o et celle de l'équation indéterminée LT 1 = AY; 443

Formation des périodes dans lesquelles se. distribuent les racines de l'équation X =; équations subsidiaires qui servent : à trouver la somme des racines comprises dans chaque période, 445.— 459

Développement de la solution es 1— 10, F 460

Développement du cas où n—17, 462 En général il résulte de cette théorie que si l’on décompose n—1 en ses factèurs

premiers a”"bfe?, etc. ; la résolution de l'équation X— 0 se réduira à celle de + équar tions. du degré a, 6 du degré b, etc. 455 On, peut toujours trouver deux polynomes F et Z,, tels que XF n%% 468

TABLE DES MATIÈRES: -xxif Théorèmes relatifs à la résolution de l'équation X=o, dans le cas de n=— 3m+-1,. et dans celui de n—4m+i, ; pag. 472 La résolntion des équations auxiliaires $e réduit toujours à celle des équations à deux termes de même degré. On en donne un exemple dans la résolution de l'équation æ— 1 —O, ce qui conduit au même résultat qu'a donné Vandermonde dans les Mémoires de l’Académie, année 1771, 473