PREMIÈRE PARTIE

aura pour déterminer ?, l'équation

sin” Gang) 2 {= DE singsin"=1( m1) DES

Or, après quelques essais, on reconnaitra bientôt entre quels déprés voisins tombe l'angle ®; ensuite, par les fausses positions , on achevéra de déterminer @ avec toute l’exactitude que les tables comportent, c’està-dire , ordinairement avec six ou sept chiffres. @ étant connu , r le AE, ainsi On connaïtra la racine imaginaire r (cos ® Æk/—=1 sing) assez exactement pour la plupart des applications.

(i 17) Prenons pour exemple l'équation D LS 1—0; en faisant

CE — (cos PE ÿ—1 sin®), on aura = Lea

n30 7 °t l'équation pour dé-

terminer ®, sera rs sinf, 49 RE Snrsw. 39 Si l'on fait ® — 30°, le-premier membre se réduira à 3, ainsi l’erreur =:+ 5; si l'on fait @ — 31°, le premier membre sera 0,921, ce qui donne l'erreur =— 0.079: De là on trouve @ = 30° 56° à-peu-près. Soit donc @ — 30° 36°, le premier membre aura pour logarithme 9:999955 , et l'erreur,sera-par conséquent de -— 67 unités, décimales. du sixième ordre. Faisant @g— 30° 55’, l'erreur logarithmique devient 1394; de Ix'où tire la -vraie® valeur ce @ approchée autant que le permettent des tables à six décimales, i PT DD MAD see

doric REA fa raciné “cherchéé

(118) Considérons maintenant l'équation générale ax" Sn ASE DRE RE 0;

si on substitue la valeur LE ee Le Ven sin), et qu’ on té pour abréger

LP ar cos nQ + br" cos ee 1)® Husi ss. -hrcosp re = ar sinn@ hide Sin. (72 — 1)2Æssbsthrsinoes |:

le résultat de la substitution sera P 4: Q 4/== r to, desorte qu'on aufà pour déterminer r et Îes. deux équations Pi 0; fs — 0. Mais comme la résolution effective.de ces équations n'est Désethle que dans un petit nombre de, ças qui ne s'étendent guère au-delx du théorème de Côtes al faut se borner à les résoudre “par approximation... :

. Supposons. donc qu'après quelques tentatives on a trouvé des is “de @ ets" qui. rendent Pet © très-petites ; pour avoir des valeurs plus approchées, « on désignera celles-ci par @ + do ,r + dr; 4 faudra donc que la substitution de r «+ dr et @ + dp à la place de ret@, dans les fonctions P et Q, rende ces fonctions égales à zéro. Or en négligeant

les puissances, de dr et do. supérieures à a première, la quantité P devient en général par }: substitution dont ils Faite P ee FR. de. >

êt on a’les coefficiens + 4

Fe — nar* COS nQ +(a— GP cos (n— 1)® He. pe cos®, ste er när" siû de ai LOT 20m sin (n— i) Paire pri suigs De méme ; la hastite Q devenant Q+ 7 = tr Ce F2 ;oma ji

riè = ru sine 4 Db sin(na)e: de hr ne; fi re == :näricos np as 1)" cos (nr — 1): sy +. fr y

Donc ” suffit de prendre deux auxiliaires LA et N rss fe + TR

M=\nar. cos 9, Éd 1). bre cos (n— 1)®. Lu + kr cos? , … N — nar sinn® + (a — 1) br in QG 1)®. Ra rsine, » ï

et on aura pour déterminer dr.et dy, les Le étions:

eo à LQHNE+MR =;

d’où l’on tire TL :

SL 0 0: dr PH ON) y PNE QU Tr MM+ENN? RE MM NN° On <orinaifia ainsi les, valeuts br riaite de r'et g-quisontr (x SR et®+ dD, où il faut observer tue hvaleur de dgdonnée par la formule

2PREMIDRE PARTIE TT 15m est exprimée’ en parties du rayon, et que pour la réduire en minutes ou secondes, il faut la multiplier par le nombre de minutes ou de secondes contenues dans Le rayon. Enfin on peut rendre ces formules encore plus commodes pour le calcul trigonométrique , en prenant des: Ie À et 4 "et des nombres F et G ; d'après les valeurs

P. P vers -Mat (op EE RCE

; #, «GE N mg Trsing 7 cop ?

d’où Fésulte!

F TT Ce DER dE sn (à—#) D'ailleurs il est bon de remarquer que les quantités M et N se fhnent disénent par le moyen: des mêmes termes qui servent à Php les valeurs de P et Q, car tandis qu’on à

PE A+B+C+DEet.;

les termes successifs 4,B, etc. étant ar” cos n® , brr— cos (nr — T1) g,etc., la valeur de AZ est exprimée par la suite é"

nA + (rer a) B (né 2) CE (+ 5)D + ete.

La valeur.de Æ se forme de méme à l'aide des termes qui composent Q. Ayant trouvé par. cette méthode des valeurs plus approchées deret CE on peut s’en servir comme d'une première approximation pour en trouver de nouvelles qui soient plus approchées encore, et ainsi de suite jusqu’à ce qu'on oblienne tout le Hegré d’exactitude dont les als sont sus- FAIRE

.-(xro) Il. est indispencable pour. l'usage. dela TeÉEhpAE edit à pes une première valeur approchée de la racine imaginaire que l’on cherche : Or jusqu’à -présent on n’a point de méthode générale et praticable’ ‘qui-conduise.à ce but; c'est pourquoi j'espère que les Analystes verront avec plaisir celle que je vais proposer, dont l'usage est nl, sample ; et qui ne semble sujette à aucune exception:

Représentons l'équation ? à résoudre par F(x)—0 , et Sapyaseus qu'on fasse x—a+ei/—: , æ et 6 étant des quantités réelles quelconques , mais qu'il convient de prendre moindres que la limite des racines réelles déterminée comme si l'équation en avait ou pouvait en avoir. :

Cette valeur hÿpothétique:de x étant substituée dans F(x), supposons dû il en résulte F(x) = P.+ Q: vis; P erQ étant réels. Supposons

a x encore qu'ayant fait = — he, .0n substitue la même valeur de x dans

la fonction F'et su on ait pour résultat Æ"(x) = M + N y—5. lon prend une indéterminée © réelle ou imaginaire, mais sn par rapport à 4/(&°+- 6%), il est clairiqu’en faisantæ x +6y/—:1+e,

et rejetant les puissances supérieures de w, on aura F(aHE VIE 0) =P +Q Yi + 0o(MEN y—;3).

Maintenant @ sr à volonté, on pourra faire

o(M+ENV—r)=—2(P+Q ds);

n étant une fraction positive. plus ou moins petite, dont la quantité pourra être fixée postérieurement. On aura. ainsi

PMHQN\ . ; + (OM—PN\.

Cren) Ve Cr)

quantité moindre, dans la proportion de 1—nà1:, que le “résultat obtenu en supposant x —a+6y/— 1. Quant à 7, il peut être pris à volonté, de manière cependant que © soit toujours assez petit par rapport à y/(a* es ). Si P et © étaient déjà très-petits par rapport à M et N, on pourrait prendre n=—=1, et la seconde valeur approchée a + 6 /—:1—+o s'accorderait avec celle qu’on trouve par la méthode ordinaire (n° 118), en supposant que æ + 6 ÿ/— 1 est une première valeur approchée : de x! Mais lorsque ? et Q ne seront ‘pas très-petits par rapport à Met V, on ne prendra pour 7 qu’une quantité moindre que Funite, et assez petite pour que « soit contenu plusieurs fois dans œ és 6 te —1,ce qui laisse FER de latitude dans Je choix (1).

a) Quand on compare en SHMHerS deux quantités imaginaires telles queæ +6 f/—1, # y ÿ/—1, la comparaison doit s'entendre seulement des quantités réelles 4/(x? Le y/Cu2 +»), qui leur serviraient de facteurs, si elles étaient réduites à la forme

r (cos® + ÿ/—:1 sine).