PREMIÈRE PARTIE

La valeur ainsi corrigée de x étant repr ésentée de nouveau par æ+6y—1:, si on la substitue dans les fonctions et F°, onen déduira semblablement une seconde valeur corrigée, au moyen ‘dé laquelle le nouveau résultat PQ y/— 1 sera encore: diminué dans le rapport 1-7 à 1; et on continuera ainsi indéfiniment jusqu'à ce.que Æ(x) se réduise à une quantité très s-peute, auquel Cas, on pourra faire Hs Te et l’approximation deviendra très-rapide.

Il faut bien observer que par la nature des quantités imaginaires, la diminution progressive de Æ(n7) ne pourra être sujette à aucune limite ; ‘en effet, quand ‘même.on aurait M= 0 et N = 0, c’est-à-dire

dF' 7 = 0, la substitution de x — «x +6 y— 1 étant faite dans les fonc-

ddk dF 4 tions —— de > 5 ag» etc., on parvien a nécessairement à un terme. qui

ne 's’évanouira pas. Alors on aura un résullat de la forme

F(a+ Ci +0)=P+ Qy/i bo (T EF Yi), où l’on pourra faire (TT + Vy—3)=—-n(P+Q y— 1). Pour

déduire de là la valeur de w, soient déterminés r et & de manière qu’on , : ” 4 TE P:+ Q ÿ/—1

ait r(COS D ÿ/— 1sinm) Are de on aura donc...

= r(cosu+4/—1sinx), d'où résulte © — ; (cos + Me PA 1 Sin 7)

Ainsi en faisant & = a +6 4/—=31-+0, 0nvaurasà RENE pes

F(x)= (1 =) (P+Q éra29

Donc en diminuant continuellement ob) par des opérations semblables répétées convenablement, ikest clair qu'on parviendra à-une valeur de F'(&) aussi petite qu on voudra, et alors. la valeur de x sert connue. *

Il est démontré ainsi d'une manière tout-à-la-fois simple et directe, qu une valeur de ide la forme 4-6 ÿ/—1 peut'toujours satisfaire à l'équation proposée Æ oi — 0 ; et cetté valeur se réduit : à une FUME tesue lorsqu'on a 6— PARNEE

Mais en sal x. doit! étre süpposée de la forme &æ 46 /— 1x1, ce qui fournit une nouvelle démonstration du théorème concernant la forme des racines imaginaires dés équations ; démonstration qui,a lieu pour toutes-sortes d'équations desprianes où transcendantes.

$ XV. Résolution ennombres entiers “ léquation iidéterminée 4 + MoN + sus 2, .RVAi= EE.

(120) Nice: supposerons ne cette équation a-été préparée de da’ manière indiquée n° 75, et qu’en conséquence, on peut considérer y et z comme premiers entre eux, ainsi que 3 et 77. Cela pose, on pourra faire semblablement y —0:-+ Au, 0 étant un nombre. compris entre :— + 4H et +57; substituant cette: valeur dans Néatanpn proposée, et - divisänt tout par H, on aura DE Te Net 4 296 ES CT TM Dei

+ AL + (n—1) M9 + ete.) zu

+ pr —— = Mr “nb Hz ut

te elc: —

Maïs 2 “ H étant premiers entre eux , cette équation à ne ‘peut subsister,

LO5 LME VEN re F moins que RER PR SEE ne soit un nombre entier; C’est

: Li

la Condition qui sert à déterminer 8. On essaiera donc successivement pour @-tous- les nombres entiers Compris depuis — 1/7 jusqu'a +27; et: sil n’en ests aucun : qui reude ZA" MB ENG + etc. divisible par ÆL, onsen -conclura aÿec certitude que l'équation proposée n'est. pas AU en nombres entiers; mais sion trouve un. ou plusieurs nombres qui satisfont à cette condition, on aura à résoudre ultérieurement, pour Chaque valeur de 8, la transformée en z et. w, quisera de la forme x QE Dan CT He Ha 3;

et il est évident que chaque solution de celle-ci en nombres entiers en donnera une de la proposée.

Tout se réduit par conséquent à résoudre üne équation de mênié

forme que léquation PRRCIEES mais dans laquelle le second membre ==cE 1.