PREMIÈRE PARTIE

On doit supposer que le premier membre de l'équation proposée

(ayant même.d’y appliquer aucune réduction) n’est divisible‘par aucun

facteur rationnel; car s'il pouvait se partager én deux facteurs dé cette

sorte, lun du degré +, l'autre du degré n—m, l'équation proposée se. .décomposerait, en deux autres de la forme

Ly" + My" 3 EN y" re + etc. =+ L'or EE My 3 + N'y etc. =

# étant un diviseur de Æ ,:de sorte qu'alors le problème deviendrait entièrement déterminé. <

Il s'ensuit évidemment de cette supposition, que le premier membre az" ba" 'ucz"u*tetc. de la transformée, n’est point non plus décomposable en facteurs rationnels. Donc il n'y aura aucunes valeurs. de x et 3 en nombres entiers qui pourront rendre ce premier membre égal. à zéro; et ainsi la valeur = 1 est absolument la plus petite de toutes celles qu'il peut recevoir en substituant pour y et 3 des nombres entiers. quelconques positifs où négatifs.

(121). Cela posé, nous allons chercher en général quelles doivent être les valeurs de 6 et 4 pour que la fonction. homogène

LA EEE CET. ut soit la das petite AM Pour céla ; Imaginons qu’en FT. Péquætion déterminée

DRE le Laon cs. +4 on trouve les facteurs simples réels x, x— «x, x—4", etc. etles facteurs doubles imaginaires (x 6Y 4394, (x — CP 74 etc. ; alors la fonction. proposée al" bin + cl—u? + EG: que de. désigne par Fe, ü), sera égale : au produit

a(t D) es u)(t—a"u). . (= A y ) (— Cu PR 67) etc. ;

Supposons que .les: valeurs de # et qui répondent au minimum de cette * fonction soient t=p, u=—q, ensorte que ce minimum SO

F(ps Dæa(p—ag) (pd). (pr) ete.

Il faudra donc qu'en prenant pour £ et x des valeurs en nombres entiers différentes de p et g (au moïns jusqu'à une: certaine limité) ; onait

156: THÉORIE DES NOMBRES, F(p,4q)<EF(L, a). C'est cé quine pourrait avoir lieu ; ‘si chaque facs teur-de. F4, u). était égal'ou plus peut que le dé correspondant de A(p3 q). Donc il. y aura au, moins un facteur de Æ(4, u) qui sera plus grand que le facteur correspondant de F{p, q). Ce facteur sert, ou l'un des’ facteurs simples PSE , où l'un des facteurs OR ima= ginaires. Dares <> ! - 1

1°. Soit 1 — au le sis AS plus grand: que son correspondant und te les nombres £ ét u ont été ‘pris à volonté , et qu'on

pEuR supposér par conséquent que = difière très-peu def ce ilen résulte que: Ds : doit ske une fraction, Réancoshée de 4, et on. peut même

conjecturer de là que? 9 P doit être pris des fractions convergentes Vers :

la racine C2 Pa: effet; si à £ ; E sont trois fractions consécutives con vérgentes ers a, HT a été démontré n° 8; que quels que ‘soient Les ADS Letu, pourvu” seulement que, 4 soit moindre que g'; la-quaré tité {— au sera toujours plus grande que p—aq, ce qui satisferait à à la sopaton observée. s

"Soit, (C— Eu) Hy %R° ‘facteur double irfaginairé “plus grand que son correspondant ( DE G$ ES 455 nous supposerons qu'on a pris u<L I; alors il faudra à plus forte. raison ques t— Eu soit plus grand

-que HEC Or c'est. ce qui aura leu, si est. l'une des fractions con

vergentes vers la quantité 6 ; partie réelle de la racine ‘imaginaire ns PME D

jré e Fe “ , fn - * Here LT: ST "ADN Er. Merise L'S PS LV RE

10(159 RS ‘à la considération du premier cas, etsu osons qu'on ( )R ons P pp qu'<

ait pris {==p°, ==, F étant là fraction SRRPR qui précede q et qui, est donnée. par le développement de celle-ci en fraction” con-

nue, Il faudra donc que P° ag, soit “plus grand que D—àq) ou

“que RE soit plus grande que J'unité 5 mais d'ailleurs cette quantité

F peut être négative. ou positive. é

sais d'abord = 7, on en déduira. dE eme ; donc > à

cause “Ré: Ÿ posilif et plus grand que l'unité ; Ê et seront deux frac=

ES ER PR = A e E S SCORT ER SE E ERE R SSSE NERRNS AR n m e ÉDR E

PREMIÈRE PARVIE. + 357 tions consécutives convergenies vers &, et y sera le quotient-complet qui répond à Ja seconde.

En second lieu, soit Per — on aura Lee Le 7 “mais. il 4 | Peq +9 D ?

faut Snbvisen ce cas en déux autres, selon. que est SE ou 2. Si Von à y7>>2,.0n, fera y —:1-+3,;:5 étant > 1, et on aura.

Les ; donc ie E seront encore deux ‘fractions consécu- 92 q— Cr RAR

tives ARE nt vers æ, et 3 sera le quotient-complet qui JT Re à la Fe

(cp

Dans ces premiers cas, qui présentent déjà une grande latitude ; ; il

est doné prouvé , d’une manière directe et fort simple, que +. “est ‘une

fraction convergénté vers Ja racine «. - q . F 1

Il reste à examinér le dernier cas où l’on a y < 2: Soitalors y =1 +55

3 élant toujours > 1, on aura

rte a (pps + p (pp) +1)EP, no 15e)

fret GA +9 TQ=PDEFD+ :

donc Es È EE seront deux fractions consécutives convérgentes vers.æ (x); et le quotient-complet” qui répond à là dernière sera : +5, Las plus grande queta. : | oéc21

Il faudrait que le quotient fit éoûlemÈnt. 1 plus ane re < pos

ee L'füt la fraction conVersente qui ‘suit es 3; etpuisqu onaz#1>2,

il s'ensuit. que dans ce dérnier cas SF né peut plus être une’ fraction

: — p° convergenté Vers & ; :mais:au MOINS puisque À “er. : en.est une, et que

la différence entre À et = a. n’est que 10 > On voit que? x esttou-

jours une valeur fort approchée de la raëiné à.

M à > On suppose pit p°>p*} et en ‘elfet le développement de en fraction-continue donne une fuite de quotiens dont le dernier peut être supposé à volonté plus grand que l'unité ou égal.à l'unité. Or si on le prend plus grand que l'unité, p ne sera pas moindre que 2p°-p°, et ainsi on aura p—p° >p°.

Z, trois fractions. consécutives convergentes vers &; et parce que 4

tombe entre @® et ®",1l.est clair qu'on aura (n° 8) p—4g>n—«9. Mais en faisant {=7T, u—® ; il faut qu'on ait F(x, ®) > F(p,9q),

puisque celle-ci est un minimum; donc il y aura dans la valeur de

Er €) LE autre facteur a—4«© plus grand que le dress cordent p—q.

Or de ce que ee est plus grand que l'unité , et peut être d’ailleurs

positif ou négatif, on conclura comme ci-dessus que” estune fraction

__ PNGHDE+T (q—8)G+F)+9 posiuf et =>1; de là résulte, en substituant les valeurs de 7 et ®,

convergente vers 4’, ou qu'a ‘au moins on a & — ; 3 étant

gr = PGI) pps, pr Fp p(su) Ep" ; PGI) +9 gg Gr)" 00 © (car on suppose toujours p—°p°+p®). Donc : La seront deux fractions consécutives convergentes vers æ’, et la fraction suivante sera p°Ci+p°) + p°° Sà pk p QCHA) Hg q°k+q?

tombe entre g° et g°k +4, il s'ensuit qu’on aura p° 5 < Pr tgs Le même raisonnement s'applique aux autres racines a’,a",-etc. et même aux quantités 6, 6, 6", etc.; il en résulte pour Een gé-

# étant l’entier compris dans 3. Et puisque g

néralé, que la fraction ne qui répond.au minimum de la fonction pro-

posée; doit être comprise parmi les fractions convergentes vers l’une des racines &, #4’, «", ou vers l’une des quantités 6, 6’, 6", etc. Car si elle n’est pas comprise, il faudra que les conditions suivantes soient réunies.

1°. Que la quantité - —

zq° . : PES ke . relative à une racine déterminée &, soit

comprise entre = 1 et + 2.

AE pi S" qe se (9 2°, Que toutes les quantités analogues p LT jen etc. À — = Fe (0e Pr cl P--21 +-"pc4q Ge etc. relatives aux autres racines, Soient plus petites que l'unité.

. » . 1,» . 7? o ge Mais-cela posé , il parait impossible que la quantité

composée du produit de tous les facteurs

qui, est

Page pi aq. pire.ag (p°— Cp)" +79

FE y np nier 7 re ST STE - etc.

pag? Pa pq EN ET ?

RIRE ARE RE 5 PE ER SRE TER EE RU RE" "UE DRE is on HSE dns] à

PREMIÈRE PARTIE. 159 soit plus grande que l'unité, comme elle doit l'être, si Æ(p:, 9) est un mintmun.

‘ En effet, use la différence entre 2 et Ê n'est que F4 ét que Fe est une fraction convergénte vérs.æ, il suffit que parmi de racines æ°, a", etc. et les quantités 6, 6’, etc. il ÿen ait une ou d'un signé contraire

de #, ou dont la différence avec & soit sensiblement plus grandé-que eu alors si & est'cette racine ,‘le facteur BE sera à peu-près get ainsi sera moindre que :;'et si 6 est'une quantité assez différente de #, lefacteur Cp°=6g2) +79" (> LD se réduira encore à très-peu pres à ét sera par (p—6g)" +%q P ip < P conséquent plus petit que = re Donc dans la valeur de Rd, in aurait qu'un facteur plus grand que l'unité; mais moindre qué 2; tandis que tous les autres facteurs seraïent plus petits que ae ; et que parmi ceux-ci'il s'en trouverait au moins un plus petit que +, ou même plus

2 F (p.97) | TA petit que 4; donc cette quantité EN serait plus petite que l'unité ;

ce qui est contraire à la supposition faite que F'(p, g) est un minimum.

Donc enfin (1) la fraction 2 est'toujours une fraction convergente vers q J 8 | lune des quantités ;'æ, #', 4"... 6,6... etc. (125). Là condition.qu'on vient de démontrer , ne déterminé point encoïe le minimum qu'on cherche ,*elle indique seulement un ordre de quantités parmi lesquelles il faut cherchérila fraction ? 3 Rropre à donner

cé minimum. Voici en Conséquence le procéde qu’il Due suivre. Développez en fraction continue successivement chacune des racines Se æ de l'équation ax” + x"! +... PE k * Développer de même chacune des parties’ réelles @ dés racines imapiaires de la même équation.

(1) On’ trouyécette proposition dans les additions à l'Algèbre d'Euler , n° 28 mais le savant auteur n’est point entré dans le détail de la démonstration: Il en a donné ne pour lé cas où le minimum est 1, dans lés Mém. de Berlin an. 1768; mais il y a quelque différence dans l'énoncé ,-en ce qui concerne les'quantités. 6, 6’,.etc, -

Prenez successivement pour : toutes les fractions convergentes qui ré-

sultent de ces diverses: opérations ; et Substituez les valeurs dep et g dans la fonction proposée. Vous aurez autant de résultats qui chacun dans son genre sont une sorte de minimum; le plus petit de tous ces résultats, ‘ou le munimun minimorum, Sera donc ‘Celui “et s'agissait de déterminer, | |

REemArRQUE -I, #

G 24). Si la racine réellé æ, ou "ae partie à 48e e d'une racine imaginaire est négative, on fera son développement en fraction continue , comme si elle était positive ; mais’ ensuite on affectera chaque fraction convergente du Signe — ayant de la prendre pour F

Ici se présente Ja question de savoir lequel des deux térmes p'et q

sera pris négativement. Cette question est facile à résoudre: si l'expo:

sant ? de l'équation proposée est un nombre pair, il-est indifférent de faire porter le signe — sur l’un ou sur.l’autre des deux termes p et get la quantité ap* + bp ig etc. restera absolument la méme. Si au contraire ÉRDOER n est impair , ‘la quantité ap° + bp q etc. conservera la même valeur, mais changera de signe, ‘lorsqu'au lieu de prendre p positif et .g négaüf, on prendra p négatif et g positif; ou en général lorsqu'on changera à-la-fois le signe de. p et celui de g. + De là on voit que dans le cas de: »impair, l'équation ap"+-bp"=1q.. + kg" = +, est-toujours résoluble en même fan que =: LT sp Ne du ES