PREMIÈRE PARTIE

La même chose aurait lieu à l'égard des quantités 6, si on faisait leur développement au moyen de l'équation dont elles sont 1e racines réelles. Mais comme cette équation ést pour l'ordinaire d'un degré trop élevé, il conviendra mieux de faire ce développement par le moyen d’une va-

leur approchée de 6, et on substituera au lieu de 4 ; les fractions con-

vergentes qui en résultent (n° 114). D'ailleurs on.ya voir que le déve-

loppement de ces quantités ne ue être prolongé que jusqu’ à une certaine limite.

R£rmarnque Ill.

(126) Les opérations indiquées sont les mêmes, soit que le minimum soit déja déterminé, comme il l’est quand on se propose de résoudre l'équation af + bu LH ettu... ,Lku"= +1, soit qu'on cherche simplement quelle est la moindre valeur dont le premier membre de cette équation est susceptible. Dans le premier cas, on sent bien que le problème ne sera pas toujours possible. Dans le second, il n’y a autre chose à faire que de chercher dans plusieurs séries de nombres connus quel est le plus petit.

Mais dans les deux cas , comme l'opération du développements étend à l'infini, et que passé le second degré on ne connaît aucune loi à laquelle soient assujétis les quotiens et les transformées successives , il est clair qu’on n'aura déterminé le minimum de la fonction at"+-bl'u...+-ku" que dans l’hypothèse que £ et x n’excèdent pas les plus grands termes des fractions conyergentes calculées. On ne pourra donc assurer qu'un 7ninimum pareil ou même plus petit (s'il n’est pas déja 1) ne puisse.avoir lieu au moyen des fractions convergentes ultérieures dont les termes sont plus grands. En effet, on ne voit rien qui empêche que même avec de très-grandes valeurs de p et qg, la fonction ap"+ Rp ete. ne se réduise à l’unité ou à un nombre fort petit; de sorte qe à cet égard il ne paraît pas qu’on puisse assigner de limite.

Nous observerons cependant que cette grandeur indéfinie des nombres p et g ne peut concerner les fractions convergentes qui résultent du développement de la partie réelle 6 d’une racine imaginaire 6 »4/—1. Car un facteur tel que (p—Ëg) + y°q° ne peut diminuer que jusqu’à un certain point, savoir, tant que la diminution de la partie (p—Ég)" est plus considérable que l'augmentation de l'autre partie ÿ°g*; mais bientôt après ces facteurs doïvent augmenter rapidement. On voit par cette

raison , qu'il n’est pas nécessaire.de chercher-les équations dont 6, 6”, etc. sont tés racines; et qu'on-peut se contenter, comme nous l'avons déja dit, d’une vous appr ochée de ces quantités.

(ram): nee que P'soit une fraction convergente-assez approchée

de la raciné à, pour a la différence PR soit beaucoup plus petite

que la différence entre la racine # et chacune des autres racines ou par-

ües de racines 4’, &”..,6, 6’, etc.; alors si l’on fait pour abréger, { à

L=(a—«x) (x ke a") He (x—E + y) (EST A etc.

on aura-à très-peu près F(p ; g)=— ag"—"( ile Soit z le Lois complet qui répond à la fraction convergente Ë Q0 aura PMR

donc ms q) RAD

Den cètte formule, a£ étant une quantité Constante, on voit que pour que F(p; g) soit un nombre: donné, il faut que le quotient z : Soit en général proportionnel à 7".

Ainsi, par exemple, si On veut que F(p, q) se réduise à 1, <omme Cela est nécessaire dans les équations que nous nous sommes proposées , il faut qu'on ait 3—aLg"* à peu près. Telle est la gran-

‘deur des quotiens auxquels on reconnaitra les fractions convergentes qui

Satisfont à la condiuon du minimum F(p, g)=E1, Cette formule sera

surtoûüt utile, si le développement d'une racine se fait non par la mé- ‘thode des’ transformées successives, mais par le moyen d'une. valeur ‘approchée de cette racine (n° 112).

À niesüre que l'opération du développement avance, la valeur de q

augmente, et par conséquent celle de 3 (car on suppose ici 752), de

sorte qu'il devient de moins en moins probable qu'on trouvera le quotient 3 nécessaire pour le minimum. Cependant si la racine & est trèspeu différente d’une ou de plusieurs autres racines a’, &”, etc. ou des

“quantités 6, 6’, etc. , alors la limite Z pourra être extrêmement petite, -etil ne faudra plus un quotient aussi considérable 3 pour répondre au “minimum de F(p, q). Gette remarque s'accorde avec les propriétés qué

nous avons déjà exposées (n° 109 et 110).

Supposons en second lieu que= soit l'une des.fractions convergentes

PR TR mt ee DRSENE EN

PREMIÈRE PARTIE. 163 vers la quantité 6; supposons en même temps que la différence entre

g® 6 soit beaucoup plus petite que y, et aussi beaucoup plus petite

qu'aucune des quantités &, &', «"...6", C'; etc. Cela posé, si l’on fait pour abréger,

A—(6— à)(6É—a)(6—a")...[(6—6) +7y"] etc., on aura à très-peu près F(p, 4) = ag"y"A. FoRe si on veut que...

F(p, 9) ="%x1, il faudra qu'on ait g"— het = ainsi g ne peut sur-

& , = x passer = 32 d'où Von voit. que le #7inimum ee ne pourra avoir lieu,

à l’aide des racines imaginaires, que dans des cas très-limités,. lorsque y ou A seront tres-petits, c’est-à-dire lorsqu'il y aura des racines presqu’égales. En même temps on a la limite du dénominateur 9, audelà de laquelle ilest inutile de prolonger le développement de la quantité 6, ainsi que l'essai des fractions convergentes qui en résultent.

Nous ayons déja donné dans le paragraphe précédent, des exemples de la résolution des équations indéterminées homogènes dont,le second membre E 1. nous nouscontenterons d'ajouter un nouvel exemple où une solution est donnée par la racine réelle, et une par les racines imaginaires.

Ex E M p L r:

(128) Soit proposé de trouver le rininmum de la fonction 7 — s108u 565tu— O4,

je considère l'équation 7x°—110x° + 565x— 0941 — 0, et je trouve , après quelques essais, qu'elle a une racine réelle entre. 3 et4, et deux racines imaginaires peu différentes entre elles. Voici le BÉNeORPER cp: dela racine réelle en fraction continue :

47 +945 — 472470 | 1 SEE ‘ 7 —472—47—0 | 2 AREAS — 853 +372 + 423+7—0 1 i12529 Z°— 1593 — 2183—85—0 | 140 10 4

103472 —84587423—16588971:—8123689—0 | 819 |806478 : 240219 ‘ etc. Etre 2 etc.

l'etc. |

On voit par les premiers termes des transformées, que le #7irimum 1 a lieu lorsque £—15 et —4, de sorte que ces valeurs satisfont à l'équation

7é—r10ûu+ D65tu* — 9h st

Dans le reste de l'opération, on ne trouve plus de transformées dont le prémier terme -ait pour coefficient 1, et ainsi on est certain que la première racine ne fournit plus d’autre solution de l’équation précédente , à moins de supposer le nombre w beaucoup plus grand que 819% 240219; mais par cette grandeur même, il paraît bien peu probable que l’opération prolongée fournisse de nouvelles valeurs de £ et w. Il reste à développer en fraction continue la partie réelle des racines imaginaires. Or comme l'équation n’est que du troisième degré, si on appelle a la racine réelle dont nous venons de trouver des valeurs approchées , la partie réelle 6 des racines imaginaires sera 6 — 22 — 14; substituant la valeur connue de æ, et développant le résultat en fraction continue, on aura les quotiens et les fractions convergentes vers 6 comme il suit :

Quotienss., 52,055; T5 3 23 1 3 5 6 335 54 AP

Fract. converg. TRE DE etc.

DRE SR Re ge er en NO 2