PREMIÈRE PARTIE
Or en prenant successivement pour = ces diverses fractions conver-
gentes, on trouve que les valeurs t=—6, u—1, donnent encore le minimum 1, et fournissent ainsi une seconde solution de l'équation indéterminée 7 — 11044 etc. — 1. Il serait inutile de prendre pour
t é TE ms = d'autres fractions convergentes, parce que la limite trouvée ci-dessus
1 Y x \ ie Va donne à très-peu près 9=1.
Te . = :
SERRES dE PROPRIÉTÉS GÉNÉRALES DES NOMBRES.
. $ I: Téorèmes sur les nombres premiers.
(129) Taéonëme. « S; e est un nombre premier , et ÆV un nombre » quelconque non divisible par®, je dis que la quantité N°? — ; sera
Te—1
L L = entiere» (1).
» divisible par c, de sorte qu’on aura Soit x un nombre entier quelconque, si'on considère la formule connue
(+ x) = 1 + cx +
C1 C.Cr 1.2 1.2
D D ee CAE Xt,
il est aisé de voir que tous les termes de cette suite, à l'exception du premier et du dernier, sont divisibles par c. En effet, soit M le coefñ-
, CCI, U-=42..0.7:. Cm 1 cient de x", on aura Ma PET ‘où MÉLSE5;
M—=C,.C—1.c—2,..c—m+t; et puisque le second membre est divisible par c, il faut que le premier le soit aussi. Mais l’exposant », dans les termes dont il s’agit, ne surpasse pas c— 1 ; donc c , qui est supposé un nombre premier, ne peut diviser le produit 1.2.3... m; donc il divise nécessairement M pour toute valeur de »2 depuis r jusqu’à c — 1. Donc la quantité (1 + x) — 1 — x° est divisible par c, quel que
soit l’entier x.
Soit maintenant 1 + x — À , la quantité précédente deviendra.,,
(1) Ce théorème, l’un des principaux de la #héorie des nombres , est dû à Fermat ; il a été démontré par Euler dans divers endroits des Mémoires de Pétersbourg, et notamment dans le ‘Tome I des Moy: commentari.
mm
SECONDE PARTIE. :. © 167 Ni (N — 1) — 1% et puisqu'elle-est divisible par-c , si on -oimet les multiples de e, on aura M1 = (N—a), où N—N—=(N—i)— (N— 1): Mais en mettant V—rà la place de N ,: et négligeant toujours les multiples de c, on aura semblablement (NW — 1) —(N—1) = EN —2) —(N—2). Continuant ainside restes-égaux.en restes égaux, on parviendra nécessairementau reste (]V — NY —(N —N), lequel est évidemment zéro. Donc tous les restes précédens le sont; donc N°— N est divisible par c.
Mais IV: — IN est le produit de par JV: — 1 , donc puisque est supposé non divisible par cl faudra que V7: — 1 soit divisible par c; ce qu'il fallait démontrer.
Corollaire: Lorsque c est un nombre premier, on satisfera. à Leur
